渗透函数思想 触摸数学本质

从锦

[摘 要]函数思想是数学思想方法之一，具有重要的数学价值和教育价值。文章基于一线教师的实践经验，致力于研究函数思想在教学中的渗透，阐述了什么是函数思想、函数思想的价值是什么、函数思想的渗透路径有哪些等问题。

[关键词]函数思想;数学本质;探索;融合;表征

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）32-0004-02

数学思想是人们对数学知识经验的体验、反思、感悟及升华的思维成果，蕴含着深刻的智力价值、方法价值以及应用价值。数学课程标准指出，要结合有关知识的教学适时渗透函数思想，以加深小学生对数学知识的理解和掌握。我国中科院院士、数学家张景中也提出：“小学生学的数学很初等、很简单。尽管简单，里面却蕴含着一些深刻的数学思想。最重要的，首推函数思想。”由此可见，函数思想在数学思想中具有基础性和支撑性的作用。小学数学教学中，教师虽然不用讲函数概念，但要渗透变量和函数思想。那么，什么是函数思想？其基本内涵是什么？又有怎样的价值意义？小学数学教学中如何让学生感悟并形成函数思想？笔者进行了深入学习和思考。

一、厘清：函数思想的基本内涵

何谓函数？17世纪德国数学家莱布尼茨开始使用Function一词，随后出现了函数的解析定义、变量定义、对应定义等，此处不再赘述。在我国，初中、高中、大学关于函数的定义都有所不同，但所反映的数学本质却是相同的：函数是研究定量与变量、静止与运动等数量关系的一种思维方法，蕴含着普遍联系和运动变化的哲学观点。

何谓函数思想？从哲学视角看，函数思想是刻画事物运动、变化发展的辩证思维工具，并用定量方法研究事物之间的数量关系。函数思想也是函数观点的集中反映，在变化的“过程”中寻找不变的“规律（关系）”是函数的核心。

二、审视：函数思想的价值分析

1.函数思想有利于挖掘知识的本质

小学数学知识的学习过程就是从现象走进本质，从直观走向抽象的过程。在此过程中，学生用运动和变化的观点探索和发现一系列数学规律和数学关系，能够更加透彻地理解数学知识，把握数学本质，从而发展理性精神和辩证思维能力。

2.函数思想有利于发展学生的思维

“数学是思维的体操”，数学教学是思维活动的教学。函数思想是学生数学学习的一种思维方式，也是一种行为方式。学生通过感知和探索数学知识中的规律和关系，并运用规律和关系分析问题、解决问题，进而发展探究性思维、辩证性思维，不断提升思维品质。

3.函数思想有利于促进未来的学习

小学阶段，学生长期在常量范围内计算和思考，容易造成思维定式。而函数思想能让学生学会用数学的方法描述变量之间的关系，丰富学生对变量与变量之间关系的经验，为后续函数知识的学习打下良好的基础。

三、探寻：函数思想的渗透路径

函数思想在小学数学中无处不在，从广义的角度来讲，小学数学中的公式、法则、性质、规律、数量关系等都蕴含着函数思想，因此，教师要激发学生在“变”中把握“不变”，进而触摸数学知识的本质。

1.规律探索：感知变化模式

“探索规律”是渗透函数思想的一个重要内容，在第一学段，学生要能够发现给定的事物（图形、简单的数列）中隐含的简单规律;在第二学段，学生要能够探究给定的事物中隐含的简单规律或变化趋势。

（1）在数的规律中感知

学生在探索数的规律中，要能够感知等差变化、等比变化、和一定的变化、积一定的变化等简单的模式。如一年级下册的 “百数表”，可以从不同的维度探索变化规律，通过横着、竖着、斜着观察，发现不同的等差变化模式;通过观察每行或每列相邻的两个数，或每两行、每两列相邻的四个数，发现差为10的变化模式，进而在不同的变化模式中感知数的排列规律。

（2）在形的规律中感知

学生在探索形的规律中，要能够感知递推、周期等变化模式，并沟通其与数的规律的联系。如一年级上册“根据排列规律画满10个”，学生要在每种图形个数的不同变化中感知递推模式。又如，四年级上册的周期问题，学生要感受到每组图形呈周期性反复出现其实就是每个图形所在位置的等差变化，从而在形的规律探索中清晰感受到变化规律。

（3）在算的规律中感知

在加减乘除的运算中，学生不仅要掌握各种运算法则，还要能够探索运算中的各种规律。比如乘法运算，要在编口诀、背口诀的过程中发现“一个因数不变，积随着另一个因数的变化而变化”。四年级上册专门设置了“积的变化规律和积不变的规律”，学生要能够从倍数的角度来认识积的变化规律：兩数相乘，一个因数不变，另一个因数乘或除以几，商就乘或除以几。

2.多元表征：体验对应关系

函数反映的是变量之间的关系，需要用数字以外的符号来表示，常见的有列表法、图像法和解析法三种方法。教师要在第一学段的教学中关注语言描述和列表法，在第二学段的教学中关注图像法和解析法。

（1）在列表法中体验

表格作为学生发现规律的重要工具，在小学数学教材中的地位十分突出。在规律探索、公式推导、图形变化规律的探索、数量关系的寻找等内容当中，可以借助列表法分析变化规律、挖掘知识本质。如长方形的面积公式“长方形的面积=长×宽”实际上是一个二元一次函数的关系式，为了让学生深刻理解“长方形的面积由长、宽共同决定”，可以让学生估一估、算一算、列一列，观察和分析表格后归纳出长方形的面积公式。

（2）在解析法中体验

一般函数的解析式都是用字母来表示的。从用数表示数到用字母表示数是一个漫长的过程，学生需要在活动中积累丰富的符号化经验。如一、二年级学生要能够用“□”“○”等符号表示未知数（此时表示的还是确定的数）;三年级学生要能够用长和宽的文字式表示出长方形的周长和面积;四年级学生要能够用字母表示一些运算律;五年级正式学习用字母表示数后，学生要能够用字母表示未知数列方程、用字母表示计算公式、用字母表示正反比例的概念等。这些都是函数解析式的雏形。

（3）在图像法中体验

图像有利于学生理解变量之间的关系，它具有直观性，让变量之间的关系和变化情况能够看得见。四年级的折线统计图是学生第一次遇到函数图像，学生要能够透过统计图直观形象地看出变量变化的过程;六年级正比例的图像的教学中，教师要引导学生感受两个量之间的变化是连续的（任意两点之间还有无数个点对应的两个数值），感受到变量的取值范围的价值。当然，小学数学中的函数图形与真正的函数图形是有差别的，只有第一象限的图像的横轴和纵轴单位长度不统一，但并不影响学生观察变化规律。

3.着眼融合：接近函数本质

函数思想在小学阶段的渗透是呈螺旋上升态势的，而小学生的整体建构能力是比较弱的，导致他们对函数思想的感悟不清晰、不深刻。为此，可以将函数思想与生活、游戏、其他学科有机融合，不断接近函数本质。

（1）与生活融合

變化是永恒的，一切事物都在发生着变化，如物价的变化、温度的变化、季节的变化、年龄的变化、体重的变化等。教师要引导学生从生活中这些熟悉的素材入手，从数学的角度研究这些变量和变量之间的变化关系，从看似杂乱的数据中发现规律，从而充分感知函数思想，深刻认识事物变化的本质，更好地认识现实世界，预测未来。

（2）与游戏融合

数学与游戏的关系源远流长，很多数学知识就存在于游戏当中，很多游戏当中也蕴含着丰富的函数思想。比如有名的“世界末日问题”，学生可以边玩“汉诺塔”边探索，把挪动的次数写成数表，进而发现2n-1的模型。这样学生不但在趣味游戏中快乐学习，还在潜移默化中感受着游戏问题当中的“变”与 “不变”。

（3）与学科融合

其他学科中的很多知识内容也反映了变量和变量的关系，如科学学科中的杠杆平衡原理，反映了质量和距离之间的变化关系;体育学科中的体重指数（BMI），反映了体重与身高之间的变化关系。教师要引导学生从数学的角度研究这些变量和变量之间的关系，在变与不变中触摸学科知识的本质，在数学与其他学科的融合中激起函数思想的火花。

函数思想不仅是解决问题的一种基本思想，更是认识世界的一种思维方式。小学阶段的函数思想的主要教学形态是“渗透”，因此，教师应站在整体的高度综合考虑，有机结合教学内容，引导学生由浅入深、由表及里地感悟函数思想，学会用运动变化的观点看生活、看世界。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 张景中.感悟小学数学思想的力量[J].人民教育，2007（18）：32-35.

[2] 克莱因.古今数学思想[M].张理京，张锦炎，江泽涵，译.上海：上海科学技术出版社，2013.

[3] 刘加霞.函数思想在小学数学教学中的渗透（下）[J].小学教学数学版，2008（3）：40-42.

（责编 金 铃）