利用相似求物体的高度

刘斯文

利用相似求物体的高度是中考的考点之一，相对于图形变换和综合问题中的相似，这种题型的解题技巧性更强，需要同学们掌握正确的解题方法和技巧，并与生活经验相结合. 现将中考题的三种题型总结如下，希望能給同学们带来帮助.

一、利用光线构造相似三角形

例1（2021·浙江·绍兴）如图1，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO=5 m，树影AC=3 m，树AB与路灯O的水平距离AP=4.5 m，则树的高度AB长是（ ）.

A. 2 m B. 3 m          C. [32] m          D. [103] m

解析：利用相似三角形的性质求解即可.

∵AB[⫽]OP，

∴△CAB∽△CPO，

∴[ABPO=ACPC]，

∴[AB5=33+4.5]，

∴AB=2 m.

故选A.

点评：测量不能到达顶部的物体的高度时，通常利用“相似三角形的对应边的比相等”和“在同一时刻物高与影长的比相等”来解决.

二、利用标杆构造相似三角形

例2（2021·河北）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法. 如图2所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水边缘点C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6 m，BD=1 m，BE=0.2 m，那么AC为 m.

解析：根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

∵BD⊥AB，AC⊥AB，

∴BD[⫽]AC，

∴△ACE∽△BDE，

∴[ACBD=AEBE]，

∴[AC1=1.6-0.20.2]，

∴AC=7 m.

故填7.

点评：直接测量井深有一定困难，在井口利用标杆构造相似三角形，将井下测量问题转移到地面上，从而使得测量变得简单易行.

三、利用镜子反射构造相似三角形

例3 如图3，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC=2 m，BD=2.1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE.

解析：首先根据题意得到△GDC∽△EOC和△FBA∽△EOA，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可.

∵GD⊥CD，FB⊥OD，OE⊥OD，

∴GD[⫽]FB[⫽]OE，

∴△GDC∽△EOC，△FBA∽△EOA，

令OE=a，AO=b，CB=x，

则由△GDC∽△EOC得[GDEO=CDOC]，

即[1.6a=2.1-x2+b]，

整理得3.2 + 1.6b=2.1a - ax①，

由△FBA∽△EOA得[FBEO=ABOA]，

即[1.6a=2-xb]，

整理得1.6b=2a - ax②，

将②代入①得：

3.2 + 2a - ax=2.1a - ax，

∴a=32，

即OE=32 m.

答：楼的高度OE为32 m.

点评：本题应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用“相似三角形对应边的比相等”即可解答.

综上，利用相似求物体的高度属于数学建模的题型，生活中应用比较广泛，其核心思想是利用光线、标杆和镜面来构造相似，再利用相似三角形的判定定理和性质定理解决问题.