一类分数阶生态毒理学模型的定性分析

高正晖

（广东科技学院（松山湖校区）通识教育学院，广东 东莞 523330）

0 引言

研究环境污染对生物种群的影响是属于生态毒理学（Ecotoxicology）[1]的范畴，Ecotoxicology这一词汇是由Truhaut在1969年创造的，它是由毒理学（Toxicology）与生态学（Ecology）结合而成，是毒理学向生态学领域的发展.毒理学通常是研究毒素对生物个体的影响，而生态毒理学则是研究释放在环境中的毒素对生物种群、群落、乃至生态系统的影响.研究污染环境中种群的生存状况及其变化规律也随之成为数学生态学领域中的热点问题，在20世纪80年代，T.G.Hallam及其同事[2-4]假设种群的增长率线性地依赖种群对毒素的吸收率，建立了环境中的毒素对单种群影响的基本生态毒理学模型：

其中x（t）表示t时刻种群的密度，Ce（t）表示t时刻环境中的毒素浓度，r表示无污染时种群的内票增长率，K表示环境容纳量，r1Ce表示种群由于吸收了环境中污染物的浓度以后而导致种群减少的剂量反应函数，hCe表示由于生物转移、挥发、细菌的退化和死亡以及其他等因素所引起的污染物浓度的减少，u*为外界向环境的毒素输入率.

分数阶微积分（Fractional calculus）[9-17]是数学分析的一个领域，它主要研究任意阶积分和导数的理论及其应用，是传统的整数阶微积分的推广，分数阶微分方程是含有非整数阶导数的方程.近年来，分数阶微积分及分数阶微分方程理论在物理、化学、生物、环境科学、控制、工程以及金融等许多领域的广泛应用已引起了相当大的影响，吸引了越来越多的学者关注.因为分数阶微分方程比整数阶方程更精确的描述了客观世界，因此对于分数阶微分方程的研究，不但具有重要的理论价值，而且还有十分广泛的应用价值，这些应用极大的促进了分数阶微分方程理论的发展.

如今，分数阶生态毒理学模型是一个前沿研究课题，若将系统（M″）中的整数阶导数用分数阶导数替代，就得到了分数阶生态毒理学模型：

在这篇文章中，我们的目的是借助数学手段，建立环境中的毒素对单种群影响的分数阶生态毒理学的数学模型（M），应用分数阶微积分及分数阶微分方程理论，并结合微分方程的定性与稳定性分析方法，给出分数阶生态毒理学模型（M）在平衡点的稳定性的判定条件.

1 预备知识与引理

本节中我们给出了本文要用到的分数阶微积分算子的定义和引理，令C[0，T]，T＞0是定义在[0，T]上的所有连续函数的集合.

2 分数阶生态毒理学模型（M）的平衡点与稳定性分析

3 结论