贝叶斯参数随机反演方法的基本原理研究

杜红，刘存弟

【摘要】 文章基于贝叶斯参数随机反演方法，介绍了其基本原理，并主要分析了常用的DREAM（ZS）法、BUS法和aBUS法，最后对比分析了这三种常用方法的优缺点，希望通过此次研究可以给相关专业人员提供有价值的参考。

【关键词】 贝叶斯方法;基本原理;对比

【DOI编码】 10.3969/j.issn.1674-4977.2021.06.027

Research on the Basic Principles of Bayesian Parameters Random Inversion Method

DU Hong1，LIU Cun-di2

（1.Ordos Vocational College，Ordos 017000，China;

2.Inner Mongolia xinhengji Steel Structure Engineering Co.，Ltd.，Baotou 014010，China）

Abstract： Based on the Bayesian parameter random inversion method，the article introduces its basic principles，and mainly analyzes the DREAM（ZS），BUS and aBUS，and finally compares and analyzes the advantages and disadvantages of the three commonly used methods，it is hoped that this study can provide relevant professionals with valuable references.

Key words： Bayesian method;basic principle;comparison

贝叶斯参数随机反演方法是计算验证岩土边坡稳定性的常用方法，该方法具有较强的系统性及综合性。但是，目前大部分的研究均忽略了参数空间变异性及非平稳分布特征的影响作用，因此，还需加深对贝叶斯更新及参数随机反演方法的研究。

1 贝叶斯基本原理

贝叶斯参数随机反演方法是通过融合试验数据、观测信息及工程经验等多源信息来降低参数不确定性，并准确估计参数的后延概率密度函数的一种验算方法。计算公式如下：

[PD（x）=aL（x）p（x）] （1）

式中：[PD（x）]为的后验概率密度函数，其中，[x=（x1，x2，…xn）T]，n为随机参数总数;[a]为常数，[a=1-∞∞L（x）p（x）dx];[L（x）]为似然函数模型;[p（x）]代表参数x的先验概率密度函数。

2 常用的贝叶斯参数随机反演方法

2.1 DREAM（ZS）法

DREAM（ZS）法是自适应差分金华蒙特卡洛方法的简称，为了打破DREAM法中反演参数和平行链数数目多才能满足计算精度的局限，在2012年由Laloy与Vrugt在过去状态抽样的基础上，提出了自适应差分进化Metropolis法，也就是DREAM（ZS）法，此法不仅可以像DREAM法一样进行自适應随机抽样，而且计算收敛时只需很少的马氏链。

2.2 BUS法

BUS法即贝叶斯更新方法，主要是以定义一个场地信息实效区域[ΩY]，把参数反演问题转化为结构可靠度来求解，具体公式为：

[ΩY=u-cL（x）≤0] （2）

式中：u为均匀分布的随机变量u～U（0，1）;c为似然函数乘子，为了保障随机抽取的样本都能在目标范围内，则[cL（x）≤1.0];x为输入随机向量X模拟值，[x=（x1，x2，…xn）T]。

2.3 aBUS法

aBUS法即自适应贝叶斯更新法。为了突破BUS方法中验算子集模拟驱动变量F受限于c值的局限，在2017年，由DiazDela等基于取驱动变量Y对数，提出了自适应贝叶斯更新法（即aBUS法），这种情况下计算场地信息失效区域[ΩY]的公式为：

[ΩY=ln[L（x）u]>-lnc] （3）

3 DREAM（ZS）、BUS和aBUS方法理论对比

3.1 随机样本产生方式

DREAM（ZS）方法可以实现多条链同时进行计算，并结合马氏链的当前位置及过去状态，通过自适应方法实现随机抽样，有效确保了结果的平衡性及遍历性。BUS方法及aBUS方法均是利用蒙特卡罗模拟法来随机生成子集模拟第一层的样本，在条件概率的基础上，自适应产生单调阈值序列，且整个计算过程均是通过改进M-H算法来生成条件样本。

3.2 收敛判据

1）DREAM（ZS）方法：开始计算之前，需先计算出马氏链长度T，再结合Geiman准则来对诊断R值进行判断计算收敛，以确定是否存在收敛。若R<1.2，则说明收敛，且马氏链上的全部样本估计参数均后验分布;否则，应不断增大马氏链长度T直至收敛。

2）BUS方法：需先确定定义目标失效事件F={Y<0}，当计算子集模拟阈值b<0后，则说明收敛，再对这一层的失效样本估计参数后验分布进行统计。

3）aBUA方法：既能够根据驱动变量Y的CDF函数P{Y>b}随阈值b的变化特征定性对收敛进行判定，也能够结合内部子集模拟计算出P（Bm）<10-8定量对收敛进行判断。

3.3 模型证据

从后验概率分布计算公式[PD（x）=L（x）p（x）/PE]可以看出，能够利用模型证据[PE]计算出参数x的后验分布。同时，[PE]的作用不只限于此，还能够对各种模型进行优化选择，比如，计算模型的[PE]值越大，则说明此模型的出现概率越大。

1）在DREAM（ZS）方法中模型证据的表达式为：

[PE=e1NMCMCi=1NMCMCln[L（xi）]1NMCMCi=1NMCMCln[PD（xi）p（xi）]] （4）

式中：NMCMC表示DREAM（ZS）法中后验统计样本的总数;[L（xi）]表示第i组样本[xi]对应似然函数值;[PD（xi）]是[xi]的后验概率分布;[p（xi）]是[xi]的先验概率分布。

2）BUS方法计算模型证据的表达式为：

[PE=cP（Y<0）] （5）

式中：c表示似然乘子值，基于[ci=1max{c-1i=1[L（xi，k），k=1，2，…Nl]}]计算;[P（Y<0）]表示目标失效事件发生概率，基于[P（Y≤0）=P（ΩV）=P（ΩV1）i=2mP（ΩViΩVi-1]计算。

3）aBUS方法的模型证据计算公式为：

[PE=ebP（Y>b）] （6）

公式（6）中：[P（Y>b）]代表的是目标失效事件的发生概率，可通过公式（2）来确定。

总结上述分析结果，可以得出BUS方法与aBUS方法的計算模型证据[PE]均要比DREAM（ZS）方法简单的多，且计算收敛之后都可以直接获得。

3.4 后验失效概率计算

1）DREAM（ZS）方法：根据公式[P（V/Y）=k=1NSI[G（xk）≤0]NS]可对NMCMC组后验统计样本的边坡后验失效概率进行计算。

2）BUS方法和aBUS方法：基于取得的目标失效区域样本，对新的边坡失效区域进行定义，用失效样本作为种子样本，再使用子集模拟方法对边坡失效概率进行更新。由此可见，BUS方法与aBUS方法需要基于失效样本，重新采用一轮新的子集模拟才能计算边坡失效概率，这无形中增大了计算的工作量及编程难度。

4 总结

综上所述，通过总结对比DREAM（ZS）、BUS和aBUS三种方法得出：对于低维问题，应用DREAM（ZS）法在收敛速度、计算效率及精度等方面更具优势;对于高维问题，BUS法、aBUS法均可，但是BUS法要先明确c值才可以进行子集模拟计算，若取的c值不合理，则会影响整个计算的结果。而aBUS法则有效解决了Y值依赖于c值的问题，且计算精度更高，更适合应用于高维问题中似然函数计算量较小的情况。由此可见，在应用贝叶斯参数随机反演法进行岩土边坡稳定性计算时，应根据实际情况选择合适的方法，提高计算效率及精度。

【参考文献】

[1] 冯俊丰，林芳逗，赵为华.分位数贝叶斯组变量选择及其在变点检测中应用[J].数理统计与管理，2021（7）：1-16.

[2] 刘辉，李静，曾昭发，等.基于贝叶斯理论面波频散曲线随机反演[J].物探与化探，2021（4）：951-960.

【作者简介】

杜红，女，1986年出生，讲师，硕士，研究方向为边坡。