混态不确定性关系的实验检验*

王双，李军利，王慧，孟芳霞，乔从丰

(1 中国科学院大学材料科学与光电技术学院， 北京 100049； 2 中国科学院大学物理科学学院， 北京 100049)

海森堡在用光探测电子位置的假想实验中引入不确定原理的概念，论述了典型的正则量x和p仅能在一个特定的不确定度下才能被同时测定[1]。人们最熟悉的不确定关系式[2]是如下形式

(1)

其中:方差ΔX2=〈X2〉-〈X〉2表征可观测量的不确定度，[X,Y]=XY-YX是对易子。此后，熵不确定关系也得到了迅速发展[3]。熵作为一种不确定性的度量，具有在算符本征值重新标记下保持不变的特性。熵不确定关系的典型形式[4]为

(2)

pX⊕pYs,

(3)

式中向量s仅依赖于可观测量X和Y。控制不等式pq的含义是时等号成立。上标↓表示将向量的分量按降序排列。

对于不同类型的不确定关系，如方差、熵或控制不等式，新的更优形式仍然是量子信息理论中的热点问题[10]。尽管已有很多研究，但是新形式的不确定关系多数未针对混合态进行优化。对于量子比特系统(两维量子系统)，有如下适用于任何混态系统且完整描述不确定性大小的方差型不确定关系[11]

(p2-1+ΔX2)(p2-1+ΔY2)

(4)

这里p2=2Tr[ρ2]-1∈[0,1]表征密度矩阵ρ的纯度，g=Tr[XY]/2。在熵不确定关系中，量子记忆辅助的不确定关系使方程(2)具有如下适用于混态的改进形式[12]

(5)

其中S(ρ)≡-Tr[ρlogρ]是密度矩阵ρ的冯诺依曼熵。对于多个可观测量或高维系统，式(5)可被进一步改进[13-14]。但是这些改进在量子比特系统时退化至方程(5)[10]。不同于方差和熵不确定关系，直和形式的控制不等式型不确定关系最优边界在理论上被证明是存在的[9]。在量子比特系统中，最优边界有如下形式[9]

pX⊕pYs(ρ)=λ2s↓+λ1s↑.

(6)

这里λ1≤λ2是密度矩阵ρ的2个本征值，上标↑表示对向量分量进行升序排列。

实验方面，文献[15]在自发参量下转换(spontaneous parametric down conversion, SPDC)的单光子源系统中，验证了下限依赖于被测量子态及其正交态的一种较为紧致的方差型不确定关系。基于相同单光子技术，人们在量子比特系统[16-17]或者高维系统[18]中检验了多个可观测量下的改进型不确定关系，以及同时包含上下限的不确定关系[19]。利用熵函数[20]和洛伦兹曲线[21]等，控制不等式型不确定关系也在SPDC光源下进行了验证。金刚石色心是另一种单光子源，可以被用作量子比特或量子三态(qutrit)系统。在该系统中，人们对基于量子比特系统的三可观测量的方差型不确定关系[22]和适用于多个可观测量的熵不确定关系[23]进行了验证。不同于单量子系统，我们利用相干光源对方差不确定关系和控制不等式型不确定关系同时进行实验验证[24]。

尽管在纯态的实验研究上已有众多实验，但文献中未见专门针对混态的不确定关系的实验研究。只在最近，文献[25]利用中子自旋混态对类似于式(4)的方差型不确定关系和相关的熵不确定关系进行了验证。本文展示一个利用相干光检验混态下控制不等式型不确定关系的实验研究。我们使用分束器对两束波长不同的相干光合束，从而获得指定混度下的偏振混态密度矩阵。通过对该混态系统的斯托克斯(Stokes)参量的测量，实验验证了直和控制不等式型不确定关系在混态下是最优的。

1 理论预测

(7)

(8)

在偏振态ρ下泡利算符的期望值为

(9)

考虑如下2个可观测量X和Z：

(10)

(11)

(12)

类似地，可以得到其他可观察量的测量概率分布。对于式(10)、式(11)的可观测值Z和X(θ)，控制不等式型不确定关系为

pZ⊕pX(θ)s(ρ)=λ2s↓+λ1s↑.

(13)

(14)

其中S(θ)=cosθS1+sinθS2。这是我们将要实验验证的不确定关系(6)的等价表示。

2 实验过程

实验装置如图 1 所示，808 nm的相干光功率为0.36 mW，780 nm的相干光功率根据目标态在0.36～1.44 mW之间调节。两束光从两路经过波片组(半波片H1/H2、偏振片P1/P2和1/4波片Q1/Q2)以进行偏振态的制备。其中半波片和1/4波片的波长范围是(800±25) nm，极化片的波长范围是600～1 100 nm。功率计对780和808 nm的光响应效率分别为5.46和5.9 mA/W，对两种波长的相干光的实际使用功率均小于2 mW，光响应效率造成的影响可忽略不计。

图1 实验光路图Fig.1 Experimental setup

808 nm相干光制备为|ψ〉=cosα|H〉+sinα|V〉，780 nm相干光制备为|ψ⊥〉(〈ψ⊥|ψ〉=0)。两束相干光在50/50分束器中合束。在输出端口，探测器光强之间有以下关系

ID=Iω1+Iω2,

(15)

ID(X)=Iω1|〈x|ψ〉|2+Iω2|〈x|ψ⊥〉|2.

(16)

其中：Iωi是光束i在探测器处的光强，而|x〉是探测器之前的偏振片的透光方向，参见图1。利用Iω1+Iω2=Tr[Iω1|ψ〉〈ψ|+Iω2|ψ⊥〉〈ψ⊥|]，式(16)可以自然地导出

(17)

其中ρ≡(Iω1|ψ〉〈ψ|+Iω2|ψ⊥〉〈ψ⊥|)/ID是一个归一化偏振态，而px即为相应偏振测量概率。于是获得如下偏振混态：

ρ(λ1,α)=ρ=λ1|ψ〉〈ψ|+λ2|ψ⊥〉〈ψ⊥|.

(18)

此处λ1=Iω1/ID，λ1+λ2=1。注意，这里并不能通过对2个独立光源的偏振态|ψ〉 和|ψ⊥〉分别测量，然后将测量所得概率分布以权重λ1和λ2相加的形式来获得混态下不确定关系的测定。这是因为，分开的独立测量将是对2个不同希尔伯特空间中的物理量进行的，它们之间没有相应的对易关系。

图2 混态测试结果Fig.2 Test results of mixed states

3 实验结果分析

(19)

图3 可观测量Z和在偏振混态下的控制不等式型不确定关系的实验测量Fig.3 Experimental measurement of the majorization uncertainty relation of observables Z and in polarization mixed states

4 总结

本文利用相干光制备的量子比特系统对混态情况下的控制不等式型不确定关系进行实验验证。通过将两束不同频率的相干态光进行合束，提出制备指定偏振混态的简易方法，并对其进行实验验证。通过所得偏振混态对不相容物理量进行实验测量，通过测量概率分布矢量洛伦兹曲线的方式实验验证控制不等式型不确定关系。实验结果表明，在各种混度的偏振态下，由格理论所得的控制不等式型量子不确定关系的边界都是最优的，即混态控制不等式型关系的最优性首次在量子比特系统得到了实验证实。由于准经典光学中混态易于制备，我们的实验还为在更一般的(非纯态)量子系统中进一步检验广义测量(positive operator-valued measure，POVM)的不相容性、量子互文性等量子特性提供了基础。随着激光技术的飞速发展，用相干光对非经典效应进行实验测试必将进一步加深对量子不确定关系的理解及其在高精度测量中的应用。