在指数函数的应用教学中培养学生数学建模能力教学案例

田庆丰

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。

数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。

在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。学生能够在实际情境中发现和提出问题;能够针对问题建立数学模型;能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型;能够提升应用能力，增强创新意识。

教学目标

1.利用函数图象及数据表格，比较一次函数与指数函数增长差异;（重点）

2.结合实例体会直线上升，指数爆炸，不同增长的函数模型的意义;

3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题. （难点）

教学过程

（一）问题描述：

假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元;

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问，你会选择哪种投资方案？

（二）问题分析：

依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？

（三）模型假设模型建立

如何建立日回报效益与天数的函数模型？

设第x天所得回报是y元，则

方案一可以用函数 y=40 （xN） 进行描述;

方案二可以用函数 y=10x （xN） 进行描述;

方案三可以用函数 y= （xN） 进行描述.

（四）模型分析求解评价

三个函数模型的增减性如何？

要對三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？

方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.

可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的，从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多，在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少，在第5～8天，方案二最多;第9天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.

下面再看累计的回报数：

结论：投资1～6天，应选择方案一;投资7天，应选择方案一或方案二;投资8 ～ 10天，应选择方案二;投资11天（含11天）以上，应选择方案三.

（五）课堂练习

1.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么下轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机。现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？

（解析：10×204=1 600 000）

2.以v0 m/s的速度竖直向上运动的物体，t s后的高度h m满足h=v0t-4.9t2，速度v m/s满足v=v0-9.8t.现以75 m/s的速度向上发射一发子弹，问子弹保持在100 m 以上的 高度有多少秒？在此过程中，子弹速度大小的范围是多少？

（解析：子弹保持在100米以上高度的时间是12.35秒，在此过程中，子弹速度大小范围是v[0，60.496））.

3.A、B两城相距100 km，某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站D 给A、B两城供气. 已知D地距A城x km，为保证城市安全，天燃气站距两城市的距离均不得少于10km.已知建设费用y （万元）与A、B两地的供气距离（km）的平方和成正比，当天燃气站D距A城的距离为40 km时， 建设费用为1 300万元.（供气距离指天燃气站距到城市的距离）（1）把建设费用y（万元）表示成供气距离x （km）的函数，并求定义域;（2）天燃气供气站建在距A城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？

当x=50时，y有最小值为1 250万元.

所以当供气站建在距A城50km， 建设费用最小，最小值1 250万元.

学生体验：通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美.

教学反思：数学建模研究，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达建模过程和建模结果的能力，增强学生应用数学的意识和数学实践的能力.教师要注意对于学生建模的指导，包括对于实际问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决建模中出现的一些问题.