介观平行板电容器间带电微粒的透射问题*

吴仍来

(惠州学院电子信息与电气工程学院 广东 惠州 516007)

肖世发

(岭南师范学院物理科学与技术学院 广东 湛江 524048)

杨昌彪

(岭南师范学院附属中学 广东 湛江 524048)

1 引言

平行板电容器模型如图1所示.平行板电容器作为通交流阻直流的元器件，在电子线路以及生产和生活中应用非常普遍.在高中物理中，也经常碰到带电粒子在平行板电容器间运动的问题.平行板电容器之间充满均匀电场，处于其间的带电粒子可以认为受到一个稳恒力的作用，因此带电粒子的运动问题往往简化为匀加速和匀减速的运动.从经典力学的角度，当带电粒子的初始动能小于两极板间的电势差所带来的电势能U0，则带电粒子不能到达右边极板.但是经典力学只适用于宏观粒子低速运动问题的求解.随着进一步的学习，我们会逐渐接触到纳米器件，电容器作为基本元器件，其尺寸小到纳米量级时，带电粒子在其中的运动问题该如何求解，此时我们就需要引入量子力学方法[1,2].本文通过构建模型、构造势垒、量子理论求解的方法分析了带电粒子克服反向电场，穿透介观平行板电容器问题，探究了平行板电容器通交流阻直流的特性受量子隧穿效应的影响.

图1 平行板电容器模型

2 理论模型和求解

如图1所示，电容器的两平行板之间的距离为a，电压为V.考虑带电量为+q的粒子从电容器的左极板入射，U0=qV为入射粒子在电容器两极板上的电势能差值.两极板会给带电粒子施加与运动方向相反的电场力，阻碍带电粒子到达右极板.将粒子在整个一维空间的电势能分为3个区域：Ⅰ区(x<0)，Ⅱ区(0≤x≤a)，Ⅲ区(x>a)，根据图2所示的势垒分布图，电势能的空间分布函数可表示为

图2 平行板电容器势垒分布图

(1)

(2)

式中m为带电粒子的有效质量，ћ为普朗克常量，E为带电粒子的本征能量，Ψ(x)为本征波函数.

在Ⅰ区和Ⅲ区，带电粒子的波函数均满足

(3)

(4)

则Ⅰ区波函数的通解可表示为

ΨⅠ(x)=AⅠeikx+BⅠe-ikx

(5)

其中，AⅠ和BⅠ为待定系数，AⅠeikx表示带电粒子的入射波函数，B1e-ikx表示带电粒子的反射波函数.同理，Ⅲ区带电粒子的波函数可表示为

ΨⅢ(x)=AⅢeikx

(6)

上式中AⅢ为Ⅲ区波函数的待定系数，波函数只包含AⅢeikx表示穿透平行板电容器后，带电粒子在Ⅲ区不会再有反射，只能向右运动.

在Ⅱ区，带电粒子的波函数满足

(7)

(8)

上式为Airy方程[3,4]，其解为第一类艾里函数Ai(ξ)和第二类艾里函数Bi(ξ)的线性组合

ΨⅡ(ξ)=AⅡAi(ξ)+BⅡBi(ξ)

(9)

式中AⅡ和BⅡ为Ⅱ区带电粒子波函数的待定系数.

随后根据边界条件求待定系数间的关系.波函数有两个边界，分别在x=0，x=a处.在x=0处，根据波函数及其一阶导数连续，有

AⅠ+BⅠ=AⅡAi(ξⅠ)+BⅡBi(ξⅠ)

(10)

ikAⅠ-ikBⅠ=κAⅡAi′(ξⅠ)+κBⅡBi′(ξⅠ)

(11)

AⅢeika=AⅡAi(ξⅡ)+BⅡBi(ξⅡ)

(12)

ikAⅢeika=κAⅡAi′(ξⅡ)+κBⅡBi′(ξⅡ)

(13)

AⅠ+BⅠ=uAⅡ+σBⅡ

(14)

(15)

AⅢeika=cAⅡ+dBⅡ

(16)

(17)

利用ik乘以式(16)再减去式(17)得

(18)

上式中α=κc′-ikc，β=κc′-ikd.将式(18)代入式(17)得

(19)

上式中利用了艾里函数满足的朗斯基行列式

2ikAⅠ=(iku+κu′)AⅡ+(ikσ+κσ′)BⅡ

(20)

式(18)代入式(20)得

(21)

将式(19)代入式(21)得

(22)

整理式(22)可得

(23)

由式(23)可得带电粒子穿透电容器的透射系数

(24)

3 数值计算与分析

基于式(24)，下面通过数值求解画出透射系数随各种参数的变化情况.图3(a)给出透射系数随带电粒子能量的变化，其中两极板间电势能的差值为U0=1.0 eV固定不变，板间距离a=1 nm.从左到右4条曲线对应的粒子质量分别为me,10me,100me,1 000me，me表示电子的静止质量.各条曲线均表明即使带电粒子的入射能量小于两极板间的电势能，带电粒子也能克服反向电场力，穿透平行板电容器，平行板电容器通交流阻直流的效果在纳米尺度是不成立的.随着带电粒子的入射能量的增强，其透射系数会不断增加，当带电粒子的能量E大于U0的3倍，透射系数接近1，对应基本所有的带电粒子都能完全穿透平行板电容器.同时这里没有共振隧穿现象，这是因为电容器势垒不具有空间对称性.对比4条曲线，还可发现在同一个横坐标下，4条曲线的透射率大小不一样，说明即使带电粒子的动能不变，带电粒子的透射系数还是会受到粒子质量的影响.

图3 透射系数随各量的变化

图3(b)给出透射系数随粒子质量的变化，其中板间距离a=1 nm，粒子的能量E0=1.0 eV固定不变，从上到下6条曲线分别对应U0=0.4E0，0.6E0，0.8E0，E0，1.1E0，1.2E0.图中各条曲线显示，随着带电粒子的质量变大，粒子的透射系数会不断减小，直到趋近一个稳定的常数.该结果表明带电粒子的动量大小会影响其透射系数，粒子动能不变的情况下，随着粒子质量增加，其动量会减小，进而降低其透射几率.同时发现U0≥E0的粒子的透射系数会趋近于零，U0

图3(c)给出透射系数随两极板间势能差值U0的变化，其中带电粒子质量为me，粒子的入射能量E0=1.0 eV保持不变，从右到左4条曲线对应的电容器两极板间的距离分别为1 nm，2 nm，10 nm，100 nm.每条曲线均表明随着势能差值的增加，透射系数会不断减小，当势能差值大于带电粒子能量的3倍，透射系数接近零，对应基本没有带电粒子都能穿透平行板电容器.对比4条曲线，还可发现即使两极板间电势能的差值不变，当电容器两极板间的距离增加，带电粒子的透射系数还是会不断减小，此时对应电容器势垒的宽度变宽了，更难被跨越.当两极板间的距离非常大，达到100 nm，此时小于势垒能量的带电粒子基本不会发生透射.

图3(d)给出透射系数随两极板间距离a的变化，其中带电粒子质量为me，E0=1.0 eV，从上到下6条曲线分别对应U0=0.4E0，0.6E0，0.8E0，E0，1.1E0，1.2E0，每条曲线都显示随着两极板间的距离的变大，透射系数有减小的趋势.在透射系数减小的过程中，其实不是单调递减，而是会出现波浪形振荡的减小，这体现了微观粒子的波粒二象性.更具体的，可发现随着两极板间的距离的变大，U0≥E0的粒子的透射系数会趋近于零，U0

4结论

本文探讨带电粒子克服势垒穿透单个介观平行板电容器的问题，发现即使带电粒子的入射能量小于两极板间的电势能，带电粒子也能克服反向电场力，穿透平行板电容器.随着带电粒子的入射能量的增强，其透射系数会不断增加.在入射能量不变的情况下，增加反向电压、增加粒子质量、增加两极板间的距离等因素都会降低带电粒子的透射系数.上述结果表明量子隧穿效应对纳米元器件的性能影响很大,平行板电容器通交流阻直流的效果在纳米尺度是难以实现的，就算带电粒子的入射能量小于两极板间的电势能,也需电容器两极板的距离大于100 nm以上，此时其阻直流的效果才会比较明显.