人工智能时代的初等数学研究

彭翕成 曹洪洋

【摘 要】基于使用工具的不同，文章将初等数学研究划分为“石器时代”“农业时代”“智能时代”三个阶段，智能时代需要智能工具，智能工具的产生取决于数学现代化的实现，其中数学机械化研究是实现数学现代化的关键。基于目前的数学机械化研究成果，结合中学数学的实际需求，文章列举了丰富的实例，涉及平面几何、不等式、三角函数等内容，充分展示人工智能在探索数学结论、自动命题等方面的应用。

【关键词】人工智能;初等数学;数学机械化;自动命题

【作者简介】彭翕成，博士，数学科普作家，主要从事数学文化传播和数学教育技术的普及;曹洪洋，主要从事计算机辅助数学探索研究。

一、研究背景

1950年，图灵在论文《计算机器与智能》中提出“机器能否像人一样思考？”的问题[1]，引起较大反响。1956年，麦卡锡、香农、明斯基等科学家在美国发起举行达特茅斯会议，首次提出“人工智能”，希望能模仿或扩展人类学习以及其他方面的智能，发展类人智能机器，标志着一门新兴学科正式诞生[2]。之后几十年，人工智能发展起起落落[3]，有过发展繁荣，也曾遭遇瓶颈，但最终于近年大放异彩。继1997年超级计算机深蓝战胜国际象棋世界冠军之后，2016年，阿尔法围棋（AlphaGo）击败人类围棋世界冠军，人机博弈举世瞩目。因此，有专家称，人工智能时代已经到来。

2017年至2019年，人工智能连续三年被写入我国《政府工作报告》。为抓住人工智能发展机遇，国务院印发《新一代人工智能发展规划》，系统部署了我国人工智能发展的总体思路、战略目标、主要任务及保障措施，在2030年抢占人工智能全球制高点。不仅在中国，美国、英国、日本、德国、韩国等国家也将人工智能上升为国家战略，出台了相关战略、计划[4-5]。

人工智能包含但不限于以下课题：自然语言理解、数据库的智能检索、博弈、机器人学、自动程序设计、智能解答等。本文研究属于智能解答领域的分支，主要研究利用计算机自动命题以及解题。

解题研究是数学教学中重要的组成部分。现在的考试繁多，题目需求量大，而且要求试题要有新意，对命题人要求很高，如果用计算机自动命题，可不受已有题目的干扰，创新性强。用计算机解题还可以与已有题库网站形成互补，能解决题库中没有的题目。对于题库已有的题目，计算机解答系统也可生成解答，通过对照检验，检测原有解答是否正确，还可以给学习者提供多种解答思路。这一研究成果如果能应用推广，必将为教师教学提供有效的帮助，同时也为智能批改、学习诊断等研究打好基础。

目前人工智能的研究力量主要来自高校、科研院所及一些大的计算机企业，而初等数学的研究力量主要是中学数学教师，这两者交集较少，因此有必要在这两者之间搭建沟通的桥梁，使得先进成果得到更好的应用。

二、初等數学研究的三个时代

初等数学研究历史漫长，但从研究手段来说，却没有太大变化。随着计算机的出现，特别是近年来智能技术的发展，研究手段也得到了很大的发展。根据研究手段的变化，笔者认为，可将初等数学研究的历史分为三个时代，或者是三个阶段。

（一）赤手空拳的“石器时代”

在很长的一段时间，数学研究被认为只需一张纸、一支笔就够了，能不能做出有用的科研成果，关键取决于研究者下了多少功夫。由于使用的工具十分有限，因此创新极不容易。这一阶段我们称为 “石器时代”，其特点是几乎没有工具辅助。

（二）机器辅助的“农业时代”

计算机出现后，自然被用于数学研究。在初等数学研究中，几何画板、超级画板、网络画板、Geogebra等工具的应用越来越普遍。绘制几何图形是这些软件的基本功能之一，其通过绘制图形测量相关数据，拖动点或参数发现变化中的不变量，从而得出结论。实践表明，类似动态几何软件的出现，较之前的研究效率得到很大的提高，发现一些新结论也比以前更容易[6]。这一阶段我们称为 “农业时代”，其特点是应用了一些辅助工具帮助人们进行数学研究，但研究的效率还不是很高，成果出产较慢。

（三）批量生产的“智能时代”

科技的发展日新月异，特别是以阿尔法围棋（AlphaGo）为代表的智能技术举世瞩目[7]。能不能将这些新技术应用于中学数学研究成为人们关注的焦点。这一新的阶段我们称为“智能时代”，其特点是使用智能工具，提高了研究效率，扩展了研究深度和广度。而要真正实现这一目标，智能工具只是负责具体执行，根本原动力在于努力实现数学现代化。

三、数学机械化或算法数学

什么是数学现代化，怎样实现数学现代化，这是每个数学工作者应该关注的问题。数学家吴文俊院士曾提出一个令人深思的问题：农业和工业这样的体力劳动能机械化，数学研究这样的脑力劳动，能否机械化？[8]所谓机械化，吴文俊院士认为无非就是刻板化和规格化。由于简单刻板，因而可以让机器来实现，又由于往往需要反复千百万次，超出了人力的可能，因而又必须借助机器来实现。

吴文俊院士进一步指出，数学机械化在中小学课堂就接触过，在小学用纸笔进行的加减乘除四则运算，就完全是机械化的，正因为如此，才有可能在17世纪巴斯喀利用齿轮转动制造成加法机器，之后莱布尼茨又把它改进成乘法机器。而到现代，四则运算已可以在电子计算机上实现。如果没有小学那种已经成为机械化的算法，这些都是不可能实现的。又如几何定理证明，添加辅助线往往是一种很高超的艺术，但出现了解析几何，证明定理就有些机械化而容易入手。虽然这些都还算不上真正的机械化或半机械化，但提高了机械化的程度，在机械化的道路上迈进了一大步，在历史上成为数学进展的划时代标志[8]。

吴文俊院士认为，贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想，一是公理化思想，另一是机械化思想[8]。著名数学教育家弗赖登塔尔也有类似的观点，他认为，对于数学教育说来，数学可分为思辨数学和算法数学。算法中有思辨，思辨中有算法，但两者又各有特点和不同。在算法数学中，问题解决有较明确的步骤和法则可循;而在思辨数学中，解决问题只能根据一般的逻辑法则对问题中出现的数量关系与空间形式的特点去做具体的分析。例如用算术方法解四则应用题是思辨数学，而用列方程解四则应用题是算法数学;用综合法解平面几何是思辨数学，而解析几何与向量几何是算法数学。思辨数学更富有技巧，学习它需要更高的机智，从而也培养机智;算法数学是思辨数学的结晶，是从反复的技巧使用中凝成的法则（这种凝成，往往是一种高超的数学思想的产物），使用这些法则可以少花脑力，因而也容易为更多的人所掌握，同时解决问题更具有普遍性。一般地说，算法数学一旦形成，相关的思辨数学便被抛弃。例如一个人一旦掌握了代数法解应用题的方法后，相应的算术法自然被抛弃[9]。目前，数学机械化的研究已经取得一些成果，上文提到的超级画板便是其中的成果之一。下面笔者通过例子说明智能技术在初等数学教学中的应用。

四、智能技术在初等数学教学中的应用

初等数学分支很多，下文将从平面几何、代数恒等式（含不等式）、三角几何公式、三角不等式等方面分别举例介绍智能技术的应用。具体来说，就是面对若干已知条件，如何深入挖掘信息，推理出更深层的结论;或者面对已有命题，能否仿照其形式，构造出更多类似结论，再从中选取正确命题输出。

（一）深入挖掘已有条件得出新结论

例1 （2002年四川省初中数学竞赛题）如图1，圆O是△ABC的外接圆，过A的切线与直线BC交于P，过A作AD⊥PO于D。求证：BD·CP=BP·CD。

该题难度不大，图形也简单，可看作是两个常见基本模型的组合：直角三角形斜边高线模型、切割线模型。但组合起来内涵丰富，远不是两个基本模型性质的简单相加。

如果将BD·CP=BP·CD看成一条线段比例信息，排除AD·OA=AD·OB（化简后是OA=OB，此类信息应归于线段相等信息），那么图中大概有多少条比例信息？估计很少有人会选择20条以上。

需要指出的是，超级画板具备智能解答功能，只不过知道的人不多，应用较少。而网络画板、Geogebra等工具也在不断地增加智能推理功能。在吴文俊、张景中两位院士的帶领下，我国在几何定理机器证明领域处于世界领先位置。笔者在广泛吸收已有成果的基础上，开发了一款能够自动发现几何结论的软件——几何神算。使用几何神算搜索，不到一秒钟就能得到几十条信息，列举如下。

线段比例信息：

DOAO=BDBP=ADAP=AOOP=CDCP，

BDAD=ADCD=ABAC=BPAP=APCP，DOCD=BDDP=AOCP，

DOAD=ADDP=AOAP，

DOBD=AOBP=CDDP，

BDAO=BPOP=DPCP，

AOCD=BPDP=OPCP，

ADAO=DPAP=APOP。

角度相等信息：

∠DPB=∠DCO=∠DBO，

∠OCA=∠CAO，

∠OAD=∠APD，

∠DCA=∠DAB，

∠BOD=∠BCD，

∠CAD=∠ABD，

∠ODC=∠OBC=∠BDP=∠BCO，

∠OAB=∠ABO，

∠BCA=∠BAP，

∠DOA=∠DAP，

90°=∠PDA=∠OAP=∠ADO，

∠PBA=∠CAP，

∠COB=∠CDB，

∠BDA=∠ADC，

∠PBD=∠COD，

∠PBO=∠ODB=∠CDP。

三角形相似信息：

△ADB∽△CDA，

△BAP∽△ACP，

△OAD∽△APD∽△OPA，

△OCP∽△ODC∽△BDP，

△CDP∽△OBP∽△ODB。

该题中的结论，例如线段比例、角度相等、三角形相似信息数量之多，远远超出我们的想象。因此，这是一道较好的开放题，教师可让学生自己探索。特别是近年来，考试题型提倡多选题、多空题，由于受到思维的限制，有时候人们很难对问题有全面的认识，因此有必要借助智能技术进行教学和学习。该题简略分析如下。

由OC2=OA2=OD·OP，即OCOD=OPOC，∠DOC=∠COP，于是△DOC∽△COP，∠OCD=∠OPC。

由PB·PC=PA2=PD·PO，得B、C、O、D四点共圆，于是△PBD∽△POC;

由△PBD∽△POC，得∠DBP=∠DOC，结合∠OCD=∠BPD，于是△DBP∽△DOC，得DBDO=DPDC，即DB·DC=DO·DP=AD2，ADDB=DCAD。

由△PBD∽△POC，得∠DBP=∠DOC，∠BDA=∠ADC，结合ADDB=DCAD，于是△ADB∽△CDA。

由∠POB=∠BOD，∠OPB=∠OBD，得△OPB∽△OBD。

根据以上所得的相似关系，以及角度相等、相等比例线段，不难得出△BAP∽△ACP，△OAD∽△APD∽△OPA，△OCP∽△ODC∽△BDP，△CDP∽△OBP∽△ODB。根据相似关系，可写出大量线段成比例。

例1是基于已有条件生成结论。几何题如此，代数题能否实行？下面笔者通过例2继续进行研究。

例2 已知a+b+c=1，a2+b2+c2=1，你能探索出哪些结论？

分析：不妨设abc=k1，ab+ac+bc=k2，a3+b3+c3=k3，a4+b4+c4=k4，a5+b5+c5=k5，a6+b6+c6=k6，a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）=k7，a3b2+b3c2+c3a2=k8，使用符号计算中的消元算法，能得到以下结论。

{k2，-5k4+4k5+1，k4+4k8-1，4k3-3k4-1，4k1-k4+1，3k8-k7，3k1+k7，

3k5+5k7-3，-3k12-6k1+k6-1，-3k1+k3-1，3k4+4k7-3}=0。

其中k2=0，意味着ab+ac+bc=0，以此类推。

计算机得出这些结论之后，还能进一步给出以下解释。

2（ab+bc+ca）+（a2+b2+c2-1）-（a+b+c-1）（1+a+b+c）=0（1），

2[4abc-（a4+b4+c4）+1]-（-2-a-a2-b-b2-2c+ac+bc）（a2+b2+c2-1）-（a+b+c-1）（a-a3+b+2ab+a2b+ab2-b3+2c+2ac+2bc-2abc+ac2+bc2-2c3）=0……（2），

基于上述恒等式，得出ab+bc+ca=0，4abc-（a4+b4+c4）+1=0。如果说（2）式太长，人们难以理解，那么（1）式可以帮助我们更好地理解。

例3 （2017年全国高考文科试题）已知a>0，b>0，a3+b3=2，证明：a+b≤2。

分析：因为（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab·（a+b）≤2+3（a+b）24（a+b）=2+3（a+b）34，所以（a+b）3≤8，a+b≤2。

机器生成恒等式：3（2-a-b）=（a-1）2（2+a）+（b-1）2（2+b）+（2-a3-b3）。

因为3（2-a-b）表示为若干非负项相加，所以所得结果必为非负，命题得证。恒等式证明简便快捷，为该题的解答带来新的启发。事实上，当学生给出恒等式证明时，其已经不自觉地运用了“多项式理想”“零点集”这些知识点，而不是简单地运用代数变形或者套用不等式定理。

（二）模仿已有命题得出新结论

S=12absinC是我们熟悉的三角形面积公式。该公式可看成由三个部分组成：系数12，线段的二次方ab，角度的函数sinC。能不能让计算机根据这些特征，尝试生成另外的三角形面积公式？经过研究发现，这完全可以实现。凭借计算机高速的计算能力，在一两分钟内可尝试百万次，计算机输出结果如下。其中设△ABC的面积为S，三边长为a、b、c，三个角为A、B、C，外接圆半径为R，内切圆半径为r。

（1）S=ab+bc+ca2（1sinA+1sinB+1sinC）;

（2）S=（a+b+c2）2tanA2tanB2tanC2;

（3）S=2ab+2bc+2ca-a2-b2-c24（tanA2+tanB2+tanC2）;

（4）S=a2+b2+c24（cotA+cotB+cotC）;

（5）S=a（b+c）sinBsinC2（sinB+sinC）;

（6）S=14（b2sin2A+a2sin2B）;

（7）S=18（a+b-c）（a-b+c）（-1+cotA4）（1+cotA4）tanA4;

（8）S=14（a+b-c）（a-b+c）cotA2;

（9）S=-14（a2-b2-c2）tanA;

（10）S=12（a+b+c）r（cot2Acot2B+cot2Bcot2C+cot2Ccot2A）;

（11）S=R（acosA+bcosB-ccosAcosB）;

（12）S=rR（sinA+sinB+sinC）;

（13）S=12R2（sin2A+sin2B+sin2C）;

（14）S=r2cotA2cotB2cotC2;

（15）S=r2（cotA2+cotB2+cotC2）。

以上关系式的证明并不难，但要是在没有提示的情况下，让学生独立发现，也不容易。即便能发现一两个关系式，也很难发现这么多。也就是说，在不借助计算机的情况下，一次性得到这么多式子是不容易的。在这些面积关系式中，还有其他关系，譬如结合第（14）和（15）式子，可得cotA2cotB2cotC2=cotA2+cotB2+cotC2。

能仿写得到等式，能否仿写得到不等式？以下通过例4进行研究。

例4（《数学通讯》2020年第8期问题征解459）在△ABC中，证明：sinA2cosB-C2+sinB2cosC-A2+sinC2cosA-B2≥32。

计算机模仿题目可自动生成若干表达式，并从中选取11个表达式，分别设为ti，并根据大小生成如图2所示的关系图。图中的箭头是表示较小者指向较大者（含相等），譬如例4就是32→t4≤sinA2secB-C2+sinB2secC-A2+sinC2secA-B2→t5。其中，

sinA2tanB-C2+sinB2tanC-A2+sinC2tanA-B2→t1，

tanA2tanB-C2+tanA-B2tanC2+tanB2tanC-A2→t2，

0→t3，

32→t4，

sinA2secB-C2+sinB2secC-A2+sinC2secA-B2→t5，

2→t6，

cosA2tanB-C2+cosB2tanC-A2+cosC2tanA-B2→t7，

tanA2secB-C2+tanB2secC-A2+tanC2secA-B2→t8，

cosA2secB-C2+cosB2secC-A2+cosC2secA-B2→t9，

cotA2tanB-C2+cotB2tanC-A2+cotC2tanA-B2→t10，

cotA2secB-C2+cotB2secC-A2+cotC2secA-B2→t11。

五、结语

随着计算机的发展，人工智能在某些领域产生了深刻的影响。但人工智能应用于中小学教育，仍处于起步阶段，有待于进一步探索。

从宏观上来说，随着教育部相关课程标准的制定，全国各地也出版了人工智能与教育应用的教材，其内容五花八门。在中小学阶段，进行人工智能相关研究，有助于学生应对智能时代的变革和挑战，也是国家培养高科技人才的迫切需要。笔者认为，对于条件比较好的学校，可以尝试开设机器人、无人机等课程。而对于条件一般的学校，考虑到师资力量、学生课时、升学压力等因素，建议学校可将人工智能的研究与具体的中小学学科教学研究结合起来，譬如尝试与数学学科结合起来，有助于培养学生的计算思维，这样花费的时间少，但取得的效果可能更加明显。

从微观上说，人工智能教育应用的时代还没有真正来临。虽然人工智能已经有一些研究，也有希望应用于教学，但离实际落地还有一定距离。以应用于初等数学研究而言，本文所述只是众多应用中的几个小案例而已，所述智能技术只是统称，目前大多数还是以算法形式散落在学术期刊，并没有形成可直接使用的软件。要将这些算法一个个编程实现，开发为可供中小学老师简单操作的软件，还有很长的路要走。如果能将人工智能数学应用做成

典型，加强科学规范管理，形成体系化、结构化的案例集和资源库，然后以点带面，带动其他学科，将有助于推进人工智能在中小学教育应用和发展。

参考文献：

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（责任编辑：陆顺演）