辅助角公式几何推证和工程实例应用
2021-11-20李金泰韩焱曹洪张俊康
李金泰 韩焱 曹洪 张俊康
【摘要】辅助角公式被广泛运用于工程力学计算，但其几何意义却鲜为人知.因此，本文采用几何变换法推证辅助角公式，提供一种在几何意义上的理解方法.同时，举例说明辅助角公式在工程实例中的应用.
【关键词】辅助角公式;几何推证;工程实例
一、引言
辅助角公式是李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，使用代数式可表达为：
asin x+bcos x=a2+b2sin x+arctanba （a>0），
asin x+bcos x=a2+b2cos x-arctanab （b>0）.
虽然该公式已被写入课本，但其几何意义却鲜为人知.
本文提供一种辅助角公式的几何推证方法和在几何意义上的理解方法，以供广大学者、同行们参考.同时，举例说明辅助角公式在工程实例中的应用.
二、几何推证及意义
（一）几何推证
如图1所示，有两个相似的直角三角形△ABC，△DEF，其中A，D重合.
设∠CBA=∠FED=x，BC=a，EF=b.
则AC=BCsin x=asin x，
DE=EFcos x=bcos x.
先将△DEF以D点为中心顺时针旋转90°，再将△DEF沿FD方向平移，使F点与B点重合，得到图2.
将线段DE向右平移，使D点与A点重合，得到线段AG，再连接CE，EG，就得到新的三角形△CEG，如图3所示.
易得∠CBE=90°，所以CE=a2+b2.
又DE=AG，所以CG=AC+AG=asin x+bcos x.
由于∠CEB=arctan BCEF=arctan ab，
∠BEG=π2-x.
所以CG=asin x+bcos x=CEsin ∠CEG=a2+b2·sin （∠CEB+∠BEG）
=a2+b2sin arctanab+π2-x
=a2+b2sin π2-arctanba+π2-x
=a2+b2sin π-arctanba-x
=a2+b2sin x+arctanba，
即asin x+bcos x=a2+b2sin （x+arctanba）.
又本证明中，BC必然大于0，所以a>0.
即可证明辅助角公式成立.
对asin x+bcos x=a2+b2cos x-arctanab（b>0）的证明亦然.
（二）几何意义
在此证明中，asin x+bcos x为一个斜边长为a的直角三角形ABC的∠ABC的对边和另外一个斜边长为b的与三角形ABC相似的直角三角形的∠DEF的邻边长度的和.该数值等于以a和b为直角边长的直角三角形的斜边长乘sin x+arctan ba，或者等于以a和b为直角边长的直角三角形的斜边长乘cos x-arctan ab.
在图3中，△ABC和△DEF是两个相似的直角三角形，其斜边长分别为a和b，∠ABC=∠DEF=x，则CG=AC+DE，EG=BD-AB，以CG和EG为直角边，可得到
另一个直角三角形，该三角形的斜边长为a2+b2，进
而可得代数表达式：（asin x+bcos x）2+（acos x-bsin x）2=a2+b2.
如图4所示，以将BC和EF为直角边的直角三角形斜边的中点为圆心作圆，可以发现新直角三角形CEG的直角顶点一定位于圆上.
该几何证明的特殊情況说明：
若这两个相似直角三角形，在一个锐角为x的前提下，一个三角形中该角的一个对边和另外一个三角形中该角的邻边相等，则可得到asin x+bcos x=a2+b2（a，b>0），
即当acos x=bsin x时，
asin x+bcos x=a2+b2（a，b>0）.
亦为tan x=ab时，asin x+bcos x=a2+b2（a，b>0）.
三、工程实例应用
（一）实例
计算汽车吊吊装时，在支腿最大反力计算部分会用到本辅助角公式.
当汽车吊被用在工程结构，如地下室顶板上拆卸塔式起重机时，需要考虑最不利的情况的结构安全，即将支腿最大反力和结构的安全承载力进行比较.其最大反力计算如下.
汽车吊在工作时，其计算模型可简化为图5、图6.
计算模型中，F=吊重，G=汽车吊自重+吊重，M=F×L，L=汽车吊的起重臂工作幅度，A为左、右支腿间距，B为前、后支腿间距，汽车吊回转中心位于4个支腿交叉连线的交点处.
各个支腿的反力分别为N1，N2，N3，N4，每个支腿的反力均由两部分组成，一是G[]4，二是各支腿平衡弯矩M在x，y轴的两个分量所产生的支反力.
当起重臂位于图5所示的位置时，起重臂与x轴的夹角为a，吊重F在x轴方向上的弯矩分量为M×cos a，分别由支腿1，2产生的支反力平衡;在y轴方向上的弯矩分量为M×sin a，分别由支腿2，3产生的支反力平衡.
又易知0≤a≤π，可得支腿2的支反力最大.
N2=G4+M×sin a2×A+M×cos a2×B，
故支腿最大反力即为N2取最大值的情况.
根据辅助角公式，asin x+bcos x=a2+b2·sin x+arctanba（a>0），
sinx+arctanba的最大值为1，则可得到
N2max=G4+M×sin a2×A+M×cos a2×B
=G4+M12×A2+12×B2.
这样就得到了最大的支腿反力.
然而，在实际操作中，不少的工程师会对N2max的取值产生迷惑.
（二）错误举例
在实际运用中容易出现“当a=45°时，可得N2max”这种经验取值.
错误分析：实际上，只有当左右支腿间距和前后支腿间距相等的时候，即A=B时，才会有a=45°时，N2取最大值.尽管多数汽车吊，左右支腿间距和前后支腿间距较为接近，但依旧很少有相等的情况，例如QY25K汽车吊，其前后支腿间距为5140 mm，而左右支腿间距为6000 mm.
尽管多数汽车吊左右支腿间距和前后支腿间距较为接近，这样当a=45°时，其支腿反力和最大支腿反力相近.但倘若，场地受限，汽车吊仅能半伸支腿而不能全伸支腿时，使用45°取值就会出现较大误差.
四、总结
辅助角公式其几何意义如下：
asin x+bcos x为一个斜边长为a的直角三角形的x度锐角的对边和另外一个斜边长为b的与之相似的三角形的x度角的邻边长度的和.该数值等于以a和b为直角边长的直角三角形的斜边长乘sin x+arctanba，或者等于以a和b为直角边长的直角三角形的斜边长乘cos x-arctanab.
辅助角公式在工程中的应用众多，汽车吊吊装时最大支腿反力的计算便可使用该公式分析，然而部分工程师并未深刻理解该公式，从而导致计算错误.
【参考文献】
[1]盛登，胡小平.三角函数中辅助角公式的新证法及其应用[J].中学数学教学参考，2017（33）：44-46.
