题中悟道 模型备考——2021年数学新高考全国Ⅰ卷数列解答题分析

>>>李 翠

数列是高中数学的重点内容，是考查考生逻辑推理和数学运算核心素养的重要载体。课程标准要求学生“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式，能在具体问题情境中发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”。纵观这几年高考数列解答题，难度中等，大稳定、小创新。本文以2021 年新高考全国Ⅰ卷数列解答题为例，分析考生存在的问题并提出备考建议。

一、原题再现

（1）记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；

（2）求{an}的前20项和.

分析：第一问通过求特殊的两项b1，b2，再求数列{bn}的通项公式，降低了试题的难度，也体现出数列中从特殊到一般的推理方法；第二问，根据数列的特点进行分组求和，或者通过递推关系将奇数项转化为偶数项再求和。

解析：（1）由题设可得b1=a2=a1+1=2，b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.

又a2k+2=a2k+1+1，a2k+1=a2k+2（k ∈N*）.

故a2k+2=a2k+3，即bn+1=bn+3，即bn+1-bn=3.

所以{bn}是首项为2，公差为3 的等差数列，故bn=2+（n-1）×3=3n-1.

（2）方法一：设{an}的前20 项和为S20，则S20=a1+a2+a3+…+a20，

因为a1=a2-1，a3=a4-1，…，a19=a20-1，

所以S20=2（a2+a4+…+a18+a20）-10

方法二：由（1）知数列{an} 的奇数项与偶数项都是以3 为公差的等差数列.

设数列{an}的前20 项和为S20，则

二、考生存在的问题

从考生答题的情况看并不理想，仍然存在较大的问题，主要表现在以下几个方面。

1.对定义理解不准确

注重性质解题，不注重基本量运算，眼高手低。

2.解题过程不规范，缺少必要的计算步骤和转化依据

3.逻辑推理的素养有待提升

不清楚求通项的关键在于通过递推关系寻找数列的特征、判断数列的类型，从而求出通项。

4.计算能力不高

三、备考建议

1.强化对数列定义、基础知识和基本方法的练习与巩固，用好教材。

2.熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n 项和公式，适当加强通过递推关系式和列举法观察规律的题目的训练。

3.加强新定义数列问题的研究，总结利用归纳猜想进一步求数列通项的解题规律。

4. 熟练掌握“累加法”“累乘法”“构造法”求数列的通项，“倒序相加法”“ 错位相减法”“ 裂项相消法”求数列前n 项和的解题方法，掌握利用递推关系求数列通项的题目特征及相应的求解方法。

5.数列解答题是容易得分的大题，主要考查数列的基本概念、基本量运算、基本方法的运用以及简单不等式的放缩等，建议在备考中加强常规方法的训练。