最早的数目观念

吴文俊

数目观念是在人们长期实践的基础上逐渐形成的.最初形成的无疑应是基数而不是序数.

原始社会的人对数目的认识，从“一”和“多”开始，后来才逐渐对“二”“三”有了认识，但只是作为一些物体的个数而反映在人的头脑中.因此，最初的数目都和具体对象联系在一起，如一只羊、两根木棒等.在通常情况下，人们可以通过手指、石子等简单的方式“数”出物体的个数.

数目观念的发展经过了一个漫长的过程，由一、二等到十几、几十个数目可能要上万年甚至几万年.旧石器时代的人在骨器、石器上刻划数字.在石器上不易留下较细小的刻痕，但是陶器则便于反映数目.从出土的文物中我们就可以发现，在许多方面反映出新石器时代以后人们对数目的认识.如河姆渡出土的大量骨耜有两个穿绳的孔，半坡出土的尖底陶器有两个耳，由此图1河姆渡陶器上的四叶纹可判断，当时人们一定知道“二”.在许多地方出土的陶器是三个足的，当时人们不仅知道这样做的陶器具有稳定性，而且应该知道“三”这个数目.在河姆渡出土的陶器上刻有四叶纹（如图1）.虽然这是孤例，但结合当时河姆渡人的整体认知水平来看，完全能认识“四”，而且所知的数目要比这大得多.在半坡出土的一些陶器上有排列整齐的点，由一个到八个（如图2），可以说这是“八”的反映.

计（或记）数的方法有许多种，有记载的有两种.一是结绳，一是刻划.《易·系辞》上说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”.至于这两种方法起源于何时，我们很难找到准确的答案.有些古籍上说，从轩辕（黄帝）到伏羲、神农等的很长一段历史时期都是“民结绳而用之”，或说伏羲“结绳而治”.三国时虞翻在所著《易九家义》中引东汉郑玄的话说“事大，大结其绳;事小，小结其绳.结之多少，随物众寡”，这里把结绳的用法和表示数目的意思说得比较清楚.这些记载虽然很晚，但是在原始社会结绳无疑是普遍使用的记数方法，而且延续了很长时间，甚至直到很晚以后还有些民族仍在使用.可是结绳用的材料麻、毛、草等都不易长期保存，所以现在想找到四、五千年以前原始社会的结绳实物无法办到.

刻划与结绳完全不同，刻划所用的材料骨、石、陶器等都能长期保存，甚至几万年都没有问题.目前所见的早期的刻划记数实物主要是骨质的.根据考古发现，可以说明中国对数目的认识相当早.1963年在山西朔县峙峪村北出土了约二万八千年前的许多兽骨，其中不少的骨片上留有数目不等的刻划，五以内的斜纹较多，这表明当时人们已经知道这些简单的数目并能运用.其中一个刻划的“普氏小羚羊”图上的角是两个，而不是一个或三个.经显微观察发现：普氏小羚羊腹下另加了四道浅划，表示羚羊的腿是四个而不是一个.这也许是早期运用数目的实例之一吧.

在北京房山县周口店有一万多年前的旧石器时代遗址，考古学者把那处遗址命名为山顶洞“. 山顶洞人”对数目的认识也有较高水平.在那处遗址中出土了四个骨管，可能是刻划记数的实物标本.这四个骨管上都有横向磨制的符号，形状多是圆点，有两个长圆形（如图3）.其中有一个长圆形围着骨管半圈，展开成平面，就是个长条.和骨管A相对的两个侧面分别有一个圆点和两个圆点，共三个圆点;和骨管 B 相对的两个侧面，一面有三个圆点，另一面有两个圆点，共五个圆点;和骨管C相对的两个侧面，一面有两个圆点，一面有一个，在另外一个侧面有一个长圆点，共四个点;骨管D只有一个长条形符号.从这些符号的排列方式，可以初步推测出“山顶洞人”对于数目的观念.他们用一个圆点表示一，两个圆点并列表示二，三个圆点并列表示三;把五个圆点排成两排，合起来是五个，是表示二加三等于五;一个加两个等于三个.长圆形可能表示“十”.如果把这些骨管都展开成平面，上面的符号排列就像图 4 那样，它们应分别代表“三”“五”“十”和“十三”，是一种十进制思想。

根据上述情况来看，旧石器时代末期的刻划记数反映出当时的人们已经有了较高的数学水平.

到了新石器时代，人们的数学水平又有了提高，表现在不断有新的记数方法出现.青海乐都柳湾的刻痕记数就是其中之一.

1974 年至 1978 年，在青海乐都县柳湾发掘了1500座新石器时代末期基葬，共出土3万余件各种文化遗物，这些文化遗物属于马厂、半山、齐家和辛店四种文化类型.在前两种文化中出土了许多带刻口的小骨片：半山类型的一批1000多枚，其中带刻口的一类为长方形，大小差不多，长约2～2.4厘米，宽约0.5～1厘米，厚约0.1厘米.在长边上有的一边有刻口，有的两边有刻口，少者有1个刻口，多者有8个刻口，有两件的正面还刻有“×”形纹.器形整齐规则，磨制精致（如图5）.

马厂类型的长方形带刻口的骨片共48枚，均长2.3厘米，分三型：在一条长边上有一个刻口;在一条长边上有一个刻口，另一条长边上有两个刻口;在两条长边上分别各有两个和三个刻口（如图6）.

这些骨片的用途是什么呢？有人认为马厂类型的这些骨片大约是用作记事、记数或通讯联络的.这种说法是有道理的，但还应作进一步的解释.每一个刻口都表示“一”，五个刻口累加起来就是“五”，……用累加的方法可以表示较大的数，例如1+3+5=9.马厂类型刻口骨片中涉及的最大数为五.半山类型的刻口骨片最大数为八，每个骨片所能表示的数均不超十，与十进制相符.我们有理由认为，那时已有了加法运算和十进制，如果和旧石器时代末期的数学水平相比较，这个认识是理所当然的.

对于柳湾出土的刻口骨片，还有另一种理解，就是作为交换用的原始货币，刻口是“面值”.墓主人保存的具有“面值”的骨片相当于一笔财富，很可能是用某些物品交换回来的.这样理解，同样有记数（或计数）的意义，就像现代人所理解的钱数那样.至于带“×”形刻划的骨片，也许是表示“大面值”，这尚需进一步研究.

原始社会的人对数目的认识还表现在符号记数方面.符号记数和刻划记数是两回事，后者比前者原始，但毫无疑问，前者是从后者演变来的.就是说把某些刻划固定下来，有的稍加改造就变成数字符号了.这个演变过程是从什么时代开始的，持续了多长时间，现在还不能肯定地回答.从目前已掌握的情况来看，大约开始于旧石器时代末和新石器时代初（即約1万年前后），新石器时代前期就应当有固定的数字符号，到新石器时代中期已经演变完了，再往后就是数字符号本身的变化，与原来的刻划完全分离.

在西安半坡、姜寨到青海柳湾、山东城子崖等新石器时代中晚期遗址中出土的物品上的数学符号，最后基本上和后来甲骨文中的数目字相衔接，从中我们大体上能看出字形演变的过程.

在半坡出土的陶器上有许多刻划符号，其中被辨认出来的数字符号有“×”（五）、“A”（六）、“+”（七）、“）（”（八）、“1”（十）和“”（二十）等六个.在姜寨出土的陶器上也有数字符号，比半坡多“—”（一）和“Ⅲ”（三十），而少“）（”（八）.虽然这些数字符号不连续（如九尚未被辨认出来），但是我们可以根据推理补上一些，如下：

这套数字是十进制的.由于这些符号没有连接在一起，所以是否有非十的倍数的两位数就无法断定.由此推之，当时人们肯定知道如十一、二十四等数目，很可能是分两次记录，即如“|一”“”等.后来演变成合书.

柳湾出土的彩陶上有彩绘符号，其中有的应是数目字（图7）.从个数来看，比半坡、姜寨的要多些，有些字形也有变化，有的数目有好几种写法.大于九的数字明显增加，很可能有了十位数与个位数的合书.但有些符号的意义还不很明确，在下面的表中把这些符号的数字加上问号“？”.

和柳湾同时代的山东城子崖、上海马桥等新石器时代末期的遗址所出土的陶器上都有数字符号.马桥的陶器符号中有“”“+”和“|”，分别是五、七和十，五的这种写法是首次出现在马桥陶器上的数字符号，较为重要.在城子崖出土的虽然只有相当于七、十、十二、二十和三十等五个数目的符号，但是在写法上更为明确，如图8.

通过上述事实，可以大体上看出一些数目字的演变过程.演变的原因大致有两个：其一是为了简化;其二是避免混淆.最初的数目用刻划方法表示，要刻好多划，如六就要刻六划，九要刻九划，……太麻烦，人们必须要改变，因而从五起就不用一道一道地去刻，而是改用两划、把排列方向改变，这就有×、A、+、）（、九，简单多了.合书也是一种简化.当“=”与“||”，“”与“|”、“=”与“”，“×”与“+”等中的某个符号独立出现在一个陶片上，而这陶片又无法判断上下（即器口和器底）时，便不能分清它是哪一个数字，所以就在“×”的上下加横而变为“”，在“|”“||”“”底下加横，而变为“”“”“”，写快了就成为“”“”“”.这样一来，就不会出现混淆了，不过对“—”与“|”仍然没有办法严格区别，这个问题直到西周时期才解决.

数目字的出现和演变时期，和一些与数学有关的历史传说基本相符.流传最广的是“隶首造数”说，据记载：“黄帝时隶首作数”“隶首，黄帝之臣，一说隶首善算者也……”又有记载说：“自伏羲画八卦，由数起，至黄帝、尧、舜而大备.”这里的传说人物伏羲、黄帝、隶首、尧、舜等的时代都在新石器时代中晚期，伏羲最早，相当于仰韶文化时期;其余则属于马家窑、齐家、大汶口等文化时期，与柳湾、城子崖等遺址的时代一致.李俨认为伏羲“是历史传说中最先知算的人物”.伏羲的传说活动地点在今甘肃省天水市一带，那里有后人修的伏羲庙.天水县西北秦安县大地湾新石器遗址初步反映出来的高文化水平，与有关伏羲的传说正好相吻合.还有一种传说：垂（亦作垂）是黄帝时代（又有说是尧时代）人，“为规矩、准绳，使天下仿焉”.这个传说和前述对图形的绘制和已具备的几何知识相一致.

根据上述事实，我们认为有关早期数学的传说，不是无稽之谈.至于是否真有那些人物，这是无关紧要的，可以将其理解为那个时代有关数学发展的人物的象征.

——摘自《中国数学史大系·第一卷》