融入MATLAB软件的线性代数教学探索

2021-11-19刘倩

中国教育技术装备 2021年2期

刘倩

设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其四个顶点分别为（0，0），（1，0），（1，1），（0，1），则

。再设A为二阶方阵，分别令，则Aix=yi。其中y1的绘图语句如下：

运行程序即可以得到yi的值，同时得到图1所示图像。

对比第一幅变换之前的图像（a），很容易发现矩阵A1使原图对纵轴生成镜像（b），矩阵A2使原图在横轴方向膨胀（c），矩陣A3使原图在纵轴方向压缩（d），矩阵A4使原图向右方剪切变形（e），矩阵A5使原图沿逆时针方向旋转（f）。同时可以启发学生通过计算矩阵Ai行列式的值，加深对行列式几何意义的理解。

以往笔者在课堂上介绍矩阵的特征值概念时，会向学生说明其几何意义就是该变换在原图形的特征向量方向上的放大量，或许会在黑板上画上二维的平面示意图予以解释。在学习MATLAB软件后，笔者了解到eigshow语句可以动态演示矩阵的特征向量和特征值。设运行eigshow（A），得到图2所示演示窗口。其中绿色的x表示原坐标系中的单位向量，用鼠标左键点住x并拖动它围绕原点转动，图中同时出现以蓝色表示的Ax向量。当两个向量处在同一条直线上时（包括正向和反向），就是相应特征值的几何表现。

以上两例在课堂上给学生呈现的视觉效果是传统黑板加粉笔无法比拟的，既可以加深学生对课程内容的透彻理解，也可以大大激发其学习兴趣。

2）结合学生专业特点，引入实际问题求解。工科学生的后续专业课程中，电路、理论力学、材料力学、数值计算方法、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、自动控制原理、机械振动、机器人学等十多门课程都需要用矩阵建模和解题。要满足这些后续课程的要求，学生应该会做不低于六阶的复数矩阵运算，解六元以上的代数方程组，会解六阶三元以上的超定方程组。然而，现有的线性代数课程都解决不了这些问题，唯一的方法就是引入计算机和软件工具[3]。

笔者之前教的是交通工程专业的学生，在课堂上不仅可以列举相关专业实例，还可以通过MATLAB软件轻松求解，比如下面这个关于交通流量分析的问题：

某城市有两组单行道，构成一个包含四个节点A，B，C，D的十字路口。在交通繁忙时段，汽车从外部进出此十字路口的流量（每小时的车流数）如图3所示。现在要求计算每两个节点之间路段上的交通流量x1，x2，x3，x4。

假设在每个节点处流入量等于流出量，由此得到以下四个节点的流通方程：

节点A：x1+450=x2+610

节点B：x2+520=x3+480

节点C：x3+390=x4+600

节点D：x4+640=x1+310

整理得方程组形式：。

设在MATLAB软件中直接调用，得到最简行阶梯形矩阵。这个结果说明x4为自由变量，方程解不唯一。如果要准确了解交通流量情况，还应该再给出其他信息。

3 实践小结与不足

通过教学实践环节，看到将MATLAB软件引入线性代数课堂教学能够丰富课堂内容，调动学生学习积极性，开阔学生视野，从而有效解决学生学而不知用的困惑。但目前的教学改革还存在不足之处需要解决：

1）限于学时，没有安排学生集中上机学习的时间，只听不练会让学习效果打折扣;