钢桁腹-混凝土组合梁等效计算模型及自振频率研究

王高阳，胡世浩，唐寿洋

(兰州交通大学土木工程学院 甘肃 兰州 730070)

0 引言

随着我国桥梁建设事业飞速发展，各种新型结构桥梁大量涌现，钢混组合梁桥由于其造型优美，充分发挥了钢结构和混凝土结构各自的优点，得以在现代桥梁工程中广泛应用[1,2]。

钢桁腹-混凝土组合梁桥是一种用钢桁腹杆代替普通平钢腹板的新型钢混组合结构桥梁。目前，国内外对钢桁腹-混凝土组合梁桥的相关研究还处于探索阶段。国外学者对此类结构的研究主要集中在节点连接和整体承载力两个方面，韩国学者Kwang-Hoe Jung等[3]对5片不同节点类型的波形钢腹板混凝土组合试验梁和钢桁腹-混凝土组合试验梁进行了静载试验研究，分析了不同试验梁的整体承载力、使用性以及节点抗剪强度，并建议节点处连接件结构采用连续的排布方式。Machacek Josef等[4]对钢桁腹-混凝土组合梁的剪力键进行了试验研究。Ji-Hun Choi等[5]对多种节点连接形式下的钢桁腹-混凝土组合梁的扭转性能进行了试验研究。在桥梁建设方面，1985年，在法国建成了当今世界上第一座钢桁腹-混凝土组合梁桥——Arbios桥,之后又相继建成了多座钢桁腹-混凝土组合梁桥。国内学者对钢桁腹-混凝土组合结构梁的研究主要集中在空间力学分析和结构特点等方面，1999年陈开利[6]首次在国内介绍了法国的Boulonains桥。之后我国学者逐渐开始了对此类桥梁的研究，韦建刚[7]利用福建宁德岭兜混凝土拱桥为原型，进行了钢桁腹-混凝土组合拱桥的尝试设计，并通过有限元软件进行了受力分析。黄华琪[8]在研究钢桁腹-混凝土组合梁的截面惯性矩时，引入了顶底板混凝土与钢桁腹杆共同工作的截面系数K,将组合梁的截面惯性矩界定于符合平截面假设和仅考虑混凝土顶底板工作的两者之间，并给出了可模拟结构空间受力的空间梁格模型。王猛[9]利用Midas Civil软件对钢桁腹-混凝土组合结构进行了数值分析，提出了恒载作用下全桥都存在较为明显的剪滞效应。郑尚敏等[10]利用ANSYS软件系统分析了集中荷载和均布荷载下钢桁腹组合梁的剪力滞效应，并与波形钢腹板组合梁进行了对比分析，得出在不同工况荷载下，两种组合梁的剪力滞系数横向分布大致相同。王彤[11]利用剪切变形等效的原则，将钢桁腹杆等效为钢腹板，基于普通箱梁理论，建立了组合结构的基本微分方程和单元刚度方程，进而对组合结构的空间力学性能进行了理论分析。刘朵[12]对我国首座钢桁腹组合结构桥梁——南京绕越公路江山桥的设计与施工进行了介绍。张莹莹[13]对江山桥进行了缩尺节点模型荷载试验。分析了普通节点和新型节点的承载能力和破坏模式。雷聪[14]以钢桁腹-混凝土组合梁桥为研究对象，对其基本力学性能、挠度计算理论、横截面剪滞效应及偏载效应等进行了系统分析。刘祁杰[15]对变截面钢桁腹-混凝土组合连续刚构桥的力学性能进行了研究。张岩等[16]对钢桁腹-混凝土组合梁桥的结构性能和横向内力分布问题进行了研究。

钢桁腹-混凝土组合梁桥是一种性能优良的钢混组合梁桥，但因为其结构新颖，现阶段工程经验较少，在我国的桥梁建设中应用不多，相关研究相对较少，有必要对其展开深入的研究，特别是对其等效计算模型和动力性能的研究亟待深入，钢桁腹-混凝土组合梁结构由于腹板的不连续性，在计算力学性能时十分困难。本文从结构等效的理念入手，针对现阶段钢桁腹-混凝土组合梁结构建模计算复杂，一般采用的等效为薄壁箱梁的计算方法误差较大等问题，提出一种新的等效方法，将钢桁腹-混凝土组合梁等效为具有正交异性腹板的箱梁结构，建立了组合梁与等效箱梁的有限元模型，并利用薄壁箱梁的竖向振动和扭转振动频率计算理论公式分析了组合梁的扭转振动频率的等效计算方法误差和适用条件，根据组合梁与等效梁有限元模型，分析了箱梁高度、钢桁腹杆截面积、悬臂长度等结构参数对此类结构振动频率的影响程度。为以后此类桥梁工程实践应用和深入科学研究提供一定的参考依据。

1 工程背景

本文以我国首座钢桁腹-混凝土组合梁桥-南京绕越公路江山桥为工程背景进行研究，南京绕越公路江山桥的桥跨结构为两跨(35+35) m钢桁腹-混凝土组合梁，单箱单室等截面设计，钢腹杆采用Q345C钢管，外径351 mm，钢管厚度16 mm，水平倾角67°左右，钢桁腹杆与混凝土翼缘板节点处采用新型T-PBL节点构造，桥梁结构尺寸如图1、图2所示。取其中一跨钢桁腹-混凝土组合梁进行分析，暂不考虑体外预应力钢束的影响。

图1 组合梁横断面(单位：mm)

图2 组合梁纵断面(单位：mm)

2 组合结构等效原理

由于钢桁腹-混凝土组合梁的腹杆在纵桥向上的非连续性，给此类组合结构的研究应用和发展都造成了很大的困难，提出一种等效计算模型很有必要，现阶段常见的钢桁腹-混凝土组合梁的结构形式如图3所示。

图3 钢桁腹-混凝土组合梁示意图

钢桁腹杆梁腹结构在横桥向和纵桥向具有不同的力学特性[3]，基于结构等效的原理，可将钢桁腹杆在不同方向上的力学特性分别考虑，进而将钢桁腹杆等效为正交异性腹板结构(如图4)，之后可根据现有高等桥梁理论进行分析，能够有效降低计算难度，可在很大程度上减少计算量。

图4 钢桁腹杆等效正交异性腹板示意图

首先考虑钢桁腹杆组合梁横向的等效弹性模量Exx，此处有两种模拟方法，第一种方法为将钢桁腹杆等效为一块宽度与桁腹杆宽度相等，厚度与桁腹杆厚度也相等的矩形腹板，在此基础上用剪切变形相等的方法分析钢桁腹杆与矩形等效腹板的横向弹性模量比例关系；第二种方法为将钢桁腹杆等效为一块宽度相等，弹性模量相等的矩形腹板，也根据剪切变形相等的方法计算等效腹板的等效厚度，综合考虑两个计算方法的优劣性，后者更加简便实用。

文献[11]中将一根钢桁腹杆在等效时可视为与其宽度相等的一块矩形腹板，矩形腹板的厚度可以通过在相同作用力下钢桁腹杆和矩形腹板在横向上的变形相等来得出(如图5)。

图5 横向弹性模量计算示意图

由于单根钢桁腹杆的上下两个端部不在同一条竖向直线上，故此处利用剪切变形相等的原理，分别计算出其在相同剪力作用下的变形，假设长度为L的斜腹杆，其竖向高度为H，宽度为B，倾角为φ，在节间剪力V的作用下，钢桁腹杆节点N相对于节点M的位移为η1，则η1的近似解

式中：E0为钢桁腹杆钢材的弹性模量(Pa)；Ast为钢桁腹杆的截面积(m2)。

等效后边长为H和B的薄钢板在相同剪力V的作用下，设节点N相对于节点M的位移为η2，则

式中：G0为钢桁腹杆钢材的剪切模量(Pa)；te为等效后薄钢板的板厚(m)。

由结构等效腹板剪切变形相等的原理，即η1=η2，可得等效钢腹板的厚度为

此时等效钢腹板的横向有效剪切模量与钢桁腹杆的轴向弹性模量相同，即Exx=E0，等效腹板厚度由上述公式计算得出。

在纵向等效弹性模量Eyy的计算中，由于钢桁腹杆与相邻腹杆及顶底板混凝土的连接为新型T-PBL剪力键形式(如图6)，故可将钢桁腹杆等效为折线形式，在桥梁轴向力的作用下将发生较大的变形，此时腹板表现出来的纵向弹性模量很低[16]。如图7所示，根据钢桁腹杆与等效腹板在桥梁纵向上变形相同的原理[17]，利用Castigliano第二定理可以计算出钢桁腹杆在纵向上的有效弹性模量Eyy。

图6 钢桁腹杆分析单元

图7 分析单元在轴向力作用下受力示意图

钢桁腹杆分析单元在轴向力F的作用下发生的变形可由图乘法计算得出

式中：δ1为钢桁腹杆在轴向力作用下的变形(m)；ζ为分析单元中每条轴线的局部坐标系坐标(m)；I为钢桁腹杆的截面惯性矩(m4)。

带入弯矩图中相应数值，即可得出δ1为

等效钢腹板分析单元在轴向力F的作用下发生的变形可由简单计算得出

式中：δ2为等效腹板在轴向力作用下的变形(m)。

根据等效原理，假设δ1=δ2，则Eyy可以由如下公式得出

将工程背景中南京绕越公路江山桥的结构尺寸带到上式之中，可得

Eyy≈0.008E0

因此，等效腹板的纵向弹性模量很小，可以认为钢桁腹-混凝土组合梁中钢桁腹杆基本不承受桥梁纵向正应力，在桥梁抗弯时钢桁腹杆对抗弯能力没有贡献[16]。

综上所述，在进行钢桁腹-混凝土组合梁结构整体分析时，钢桁腹杆在纵桥向的有效弹性模量很小，相较于混凝土翼缘板，基本可忽略不计。在进行结构等效时可将钢桁腹杆等效为一块厚度为te正交异性板进行分析，横向弹性模量Exx=E0，纵向弹性模量Eyy=0.008E0。

3 有限元模型对比

箱梁腹板在受力中主要承担剪应力作用，受横向弹性模量Exx的影响较大[5]，此时可根据剪切变形的关系将等效钢腹板进一步等效为混凝土腹板，其等效关系为[18]

式中：tc等效混凝土腹板厚度(m)；Gs为等效钢腹板的剪切模量(Pa)；Gc为等效混凝土腹板的剪切模量(Pa)。

为了验证等效方法的正确性，本文根据南京绕越公路江山桥的尺寸构造，利用ANSYS 18.2建立钢桁腹-混凝土组合梁和等效薄壁箱梁的有限元模型。钢桁腹-混凝土组合梁为避免有限元模型中节点处钢腹杆截面冲突以及不同结构单元间耦合连接对模态分析的影响，在有限元模型中将桁腹杆定义为空心矩形截面，因此全桥可采用实体单元solid45进行模拟，共33832个实体单元，单元之间采用共节点连接，不考虑钢腹杆与混凝土翼缘板之间的相对滑移[10]，有限元模型如图8、图9所示。

图8 组合梁有限元模型

图9 等效箱梁有限元模型

分别对组合梁和等效箱梁的有限元模型进行模态分析，得出自振频率及振型如表1所示。

表1 组合梁与等效箱梁模态分析结果对比

从表1可以看出，钢桁腹-混凝土组合梁在等效为正交异性腹板薄壁箱梁后，两个有限元模型分析所得的前6阶自振频率差距均在10%以内，结果表明，将钢桁腹-混凝土组合梁等效为正交异性腹板薄壁箱梁在结构设计中进行初步分析时是一种有效的简化方法。

4 组合梁等效振动频率计算理论分析

现阶段许多桥梁工程相关学者专家已对薄壁箱梁做了大量研究工作，《公路桥涵设计通用规范》(JTG D60-2015)[19]中给出了简支梁竖向基频的估算公式

式中：f1为简支箱梁第一阶弯曲振动频率(Hz)；l为箱梁跨径(m)；E为箱梁材料的弹性模量(Pa)；Ix为箱梁的截面抗弯惯性矩(m4)；m为箱梁单位长度的质量(kg/m)。

上述公式是不考虑薄壁箱梁的剪切变形影响的结果，在钢桁腹-混凝土组合梁的空间力学分析中，组合梁也有明显类似于薄壁箱梁的剪力滞效应[10]。在剪力滞效应的影响下，箱梁的实际弯曲振动频率相对于初等梁会有所降低[20]。

在工程动力学的一些基本原理基础上，利用乌曼斯基扭转理论和D′Alembert原理，可得到简支箱梁扭转振动的频率计算公式为[21]

式中：ωnt为简支箱梁第n阶约束扭转频率(rad/s)；l为箱梁跨径(m)；E为箱梁材料的弹性模量(Pa)；Iω为箱梁的扇形惯性矩(m6)；ρ为箱梁的质量密度(kg/m3)；Ip为梁截面的极惯性矩(m4)；G为箱梁材料的剪切模量(Pa)；Id为箱梁的扭转惯性矩(m4)。

利用钢桁腹-混凝土组合梁桁腹杆等效腹板厚度的计算方法，可将钢桁腹杆等效为一定厚度的正交异性混凝土腹板，在结构设计时，其自振频率便可按照薄壁箱梁自振频率的计算方法来进行初算，相比于建立有限元模型再进行模态分析更加简便快捷。

在现阶段工程实践中，钢桁腹-混凝土组合梁由于设置箱内横隔板较为困难，小跨径下一般不设置横隔板，上述薄壁箱梁理论计算公式假设箱梁梁壁为刚性结构，没有考虑无横隔板箱梁在有限元软件中模态分析时自身横向刚度不足的问题，故计算结果与无箱内横隔板的有限元模型有较大偏差，以本文中跨径为35 m的组合梁有限元模型为参考，依次设置1～5道横隔板增加其横向刚度后，其弯曲与扭转频率变化与理论值相比如图10所示，在有限元模型中加入横隔板之后，组合梁和等效箱梁的固有扭转振动频率有明显提升，并逐步趋近于薄壁箱梁扭转振动频率理论解。

图10 横隔板对组合梁扭转振动频率的影响

随着箱梁横隔板数量的增加，箱梁自身重量也有所增大，而箱梁的抗弯刚度主要由混凝土顶底板提供，故组合梁和等效箱梁的弯曲振动频率都有所降低[22]，如图11所示。

图11 横隔板对组合梁弯曲振动频率的影响

组合梁1阶扭转振动频率与2阶扭转振动频率随着横隔板数量的增加，比值逐步趋近于1∶2，与理论公式所得扭转振动频率各阶变化规律相同(如图12)。

图12 组合梁前2阶扭转振动频率比例关系

组合梁和等效箱梁的有限元模态分析振动频率随着箱梁横向刚度的增大而趋于理论值，且各阶频率变化规律逐步与理论解相同，也验证了有限元模型和等效方法的正确性。

5 组合梁自振频率影响因素分析

钢桁腹-混凝土组合梁的自振频率与等效正交异性腹板薄壁箱梁自振频率高度相似，可表明影响其自振频率主要因素和薄壁箱梁大致相同，主要为跨径、梁截面抗扭惯性矩和极惯性矩等，而影响这些参数在钢桁腹-混凝土组合梁中的主要表现为钢腹杆截面积及倾角、高跨比、悬臂比等，本部分主要以跨径为35 m的有限元模型为参考，分别从上述几个方面分别讨论其对钢桁腹-混凝土组合梁桥固有振动频率的影响。

通过理论计算公式可知，随着跨径的增大，组合梁的弯曲和扭转振动频率逐渐减小，并与跨径(弯曲振动为跨径的平方)成反比变化，此处为保证结构合理，在跨径增大的同时，截面尺寸也相应增大，但总保持It与Ip的比值相等，此时箱梁振动频率变化如图13、图14所示。

图13 跨径对组合梁弯曲振动频率的影响

图14 跨径对组合梁扭转振动频率的影响

从图中可以看出，组合梁的弯曲和扭转振动频率随着跨径的增大逐渐减小，变化规律为与跨径成反比，与简支箱梁弯曲和扭转振动频率计算理论公式结果一致。

钢桁腹杆的截面积的变化对于箱梁腹板的抗扭刚度变化有较大影响，如图15、图16所示，分别将有限元模型中钢桁腹杆的截面积变为原来的0.5倍和2倍，分析其振动频率变化情况，在弯曲振动中，腹板对结构整体的抗弯刚度的影响较小，故弯曲振动频率变化不明显，而扭转振动频率受腹板刚度影响较大，扭转振动频率变化较为明显，随着钢桁腹杆截面积的提升，扭转振动频率逐步增大。

图15 腹杆截面积对组合梁弯曲振动频率的影响

图16 腹杆截面积对组合梁扭转振动频率的影响

钢桁腹杆的倾角常设置在50°到70°之间[1]，且倾角的变化一般都伴随在梁高变化或钢桁腹杆数量变化的情况下，故不单独考虑。

高跨比对组合梁结构的影响主要集中在截面惯性矩的变化上，随着箱梁高度的增加，截面抗弯惯性矩有所增大，箱梁单位长度上质量的增加并不明显[23]，故弯曲振动频率随箱梁高度的增大而增大。在扭转振动频率的影响主要体现在梁高增大时，箱梁的抗扭惯性矩和极惯性矩都随之增大，因此对箱梁抗扭刚度有一定影响，同时需要注意，在不改变钢桁腹杆数量的情况下，增大梁高时必然导致钢桁腹杆倾角的增大，其对扭转振动频率也会产生一定影响，在梁高发生变化时，箱梁的弯曲和扭转振动频率的变化如图17、图18所示。

图17 组合梁高度对弯曲振动频率的影响

图18 组合梁高度对扭转振动频率的影响

悬臂板对在箱梁抗扭惯性矩的计算中，由于悬臂部分是开口截面，对抗扭刚度的贡献很小[11]，但在极惯性矩计算时，悬臂长度的增加对极惯性矩的增大效果显著，因此随着悬臂板长度的增大，组合梁和等效箱梁的弯曲和扭转振动频率都有所降低，如图19、图20所示。

图19 悬臂长度对组合梁弯曲振动频率的影响

图20 悬臂长度对组合梁扭转振动频率的影响

6 结论

(1)钢桁腹-混凝土组合梁由于其截面在纵桥向的不连续性，钢桁腹杆在横桥向和纵桥向表现出不同的力学特性，在对其进行结构动力特性分析时比较困难，可将钢桁腹-混凝土组合梁等效为正交异性腹板薄壁箱梁，可简化其受力及刚度计算。

(2)在钢桁腹-混凝土组合梁中钢桁腹杆横向和纵向弹性模量差异很大，组合梁横向弹性模量Exx与同型号钢材弹性模量E0接近，纵向弹性模量Eyy远小于E0，可以认为钢桁腹杆基本不参与组合梁抗弯计算。

(3)钢桁腹-混凝土组合梁在进行结构等效后，可按照薄壁箱梁的弯曲和扭转振动频率计算公式对其弯曲和扭转振动频率进行基频计算。

(4)钢桁腹-混凝土组合梁的有限元模态分析所得的扭转振动频率与等效薄壁箱梁弯曲和扭转振动频率理论值计算所得的结果产生差距主要原因是有限元模型在没有设置梁内横隔板的情况下横向刚度的不足，在横向刚度增加后，有限元计算结果与等效薄壁箱梁理论解吻合度较高，在工程实践中，在钢桁腹-混凝土组合梁中设置适当数量的横隔板是提高抗扭刚度的有效措施。

(5)组合梁的钢腹杆截面积、箱梁高度、悬臂端的大小都会对组合梁的振动频率有所影响。箱梁悬臂部分的尺寸以及结构强度对组合梁结构的抗扭刚度影响较大。