勾股定理中的面积关系

文／江苏省太仓市第一中学 储怡佳

学习了勾股定理后，大家有没有一个疑问：勾股定理的结论里为什么是2次方，而不是3次方？要明白这个道理，我们可以看图1。在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分别以a、b、c为边长，向外作正方形，面积分别为S1、S2、S3，我们称这个基本图形为勾股定理的邮票图。由图可知，S1+S2=S3。而正方形面积是边长的平方，因此得出勾股定理的关系式里就是2次方。

图1

我发现，勾股定理与面积有密不可分的关系。

如果我们把图1中的正方形变成正三角形，此时S1、S2、S3之间是否也有某种关系？如图2，由正三角形的性质和勾股定理，我求出了△ABF的高线长为，同理可得△ACE的高线长为，△BCD的高线长为由此可得S1、S2、S3，并且S1+S2=S3，得到了与图1相同的结果。

图2

如果把图1中的正方形变成半圆，以上的结论还成立吗？如图3，利用圆的面积公式和勾股定理可以求出半圆BC的面积同理可得半圆AC的面积半圆AB的面积，同样得到S1+S2=S3。如果将图3中的半圆AB向上翻折，又能得到什么结论呢？小伙伴们可以动手做一做。

图3

每一个几何定理都是一颗光彩夺目的明珠，值得我们细细品味和欣赏。随着学习的深入，我们一定会发现更有趣的东西。

教师点评

勾股定理是几何学中的明珠，充满了魅力，在数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。小作者善于开动脑筋，能把课堂内容和课后练习整合起来，思考探究同类问题，并将自己的发现写出来，值得大家学习。