基于Kriging代理模型的加筋柱壳结构优化

胥 磊，王蓉晖，王 涛，边园园

(中国航天科技集团公司第四研究院第41研究所，陕西 西安710025)

1 引言

加筋柱壳结构是常见的导弹/火箭舱段结构[1]，在导弹、火箭等飞行器中有广泛的应用。该型结构在弯矩、轴向力载荷联合作用时，不能发生结构破坏或失稳[2]。由于飞行器性能的需求，结构轻量化成为结构设计的一项基本要求。因此寻求满足强度、刚度和稳定性要求的最小质量结构是设计者的一项重要任务，结构优化设计方法成为一个重要的研究方向。

加筋柱壳结构优化设计具有模型复杂、变量复杂、性能计算复杂的特点。冀宾等[3]基于轴压载荷失效的工程算法，建立了桁式半硬壳结构等三种运载火箭主结构的优化模型。毛佳等[4]利用有限元模型的研究结果，使用理论计算的方法发展了一种轴压薄壁加筋圆柱壳结构优化设计方法。David Bushnell[5]等通过专用结构分析程序PANDA2对正交“T”型加强筋的轴压柱壳优化设计问题进行了研究。上述研究均是通过理论解析或工程计算公式进行计算，结合优化算法进行优化，需要针对具体结构形式建立分析模型，计算方法的适应性较差。有限元方法的适应性强，无需开展具体结构形式的理论建模研究，但计算成本较大。 因此高效优化设计方法研究很有必要。代理模型(Surrogate Model)优化方法[6]被逐渐应用于此类结构的优化设计中。郝鹏等[7]开展了大量网格式半硬壳结构的优化工作，通过优化策略缩减设计空间，提高了优化效率。刘克龙等[8]基于Kriging建立了一种结构形状优化的工程方法。王晓慧[9]等研究了导弹舱段径向连接结构的优化模型，通过有限元计算，使用遗传算法进行优化，此方法计算量较大。

综上所述，加筋柱壳结构的设计难度较大，需建立通用化的设计流程，发展简洁高效的优化设计方法。本文从设计试验出发，通过有限元计算结构响应，使用Kriging代理模型建立加筋柱壳结构优化模型、优化流程并使用Workbench计算平台进行优化计算。通过优化结果分析对比，表明本文方法优化效率较高、精度能够满足工程使用。本文方法对飞行器加筋柱壳结构的优化设计具有一定参考价值。

2 基于Kriging代理模型的优化方法

本文使用了一种基于Kriging代理模型的优化方法。其基本优化思想是使用Pro/E建立参数化结构模型并传递给Workbench，利用试验设计法在设计变量空间中选取样本点集， 使用Workbench进行静力分析和线性屈曲分析，获得对应样本点的结构重量、最大Mises应力、最大变形、屈曲强度因子的响应值，然后通过样本点和对应响应值建立Kriging代理模型，通过Workbench的Design Exploration模块使用GA(遗传算法)对Kriging近似代理模型进行优化，获得最优设计结果。整个优化过程的流程图见图1。

图1 基于响应面优化方法流程图

使用全因子水平设计(FFD)试验设计方法产生用于生成Kriging代理模型的采样点。该方法用于了解信息较少的系统，所有变量组合都取样本点，能够包含各层次因素，在初步设计时使用效果较好。

2.1 优化模型

加筋柱壳结构作为火箭的主要结构件，布置有纵向和环向加强筋，承受火箭存放、运输、飞行过程中的载荷。优化设计问题为加强筋的布局优化和尺寸优化，优化目标是获得重量最轻的结构。优化设计变量包括纵向加强筋的数量、尺寸和环向加强筋位置、尺寸。其中加强筋数量为离散型设计变量，位置、尺寸为连续型设计变量。加筋柱壳结构在给定载荷下能够满足强度要求，不发生强度破坏，变形不应超过给定要求，同时需要结构不发生失稳。综上，优化设计模型如下

minW(X)

(1)

式中：X为设计变量，包括离散变量和连续变量；W(X)为结构重量；λ(X)为结构屈曲强度因子；σmax(X)为有限元计算的结构最大应力；umax(X)为有限元计算的结构最大变形；λ*为屈曲强度因子设计要求值；[σb]为材料的屈服强度极限；[up]为舱段的许用最大变形；XL和XU为所有设计变量的上下限。

2.2 Kriging代理模型方法

目前使用较多的代理模型有响应面代理模型、Kriging代理模型、径向基函数代理模型以及人工神经网络代理模型等[10][11]。其中Kriging代理模型是一种常用的代理模型方法。Kriging代理模型包含两个部分，表达式为

y(x)=fT(x)β+Z(x)

(2)

式中，β为回归系数，f(x)是设计变量x的函数，是全局空间的近似模型，Z(x)时平均值为0的随机函数，用于局部偏差的近似。通过试验设计的样本点和响应值确定Kriging代理模型相应参数后就可以通过代理模型预测待测点的响应值。Kriging代理模型在处理非线性程度较高的问题时往往能够取得较为理想的拟合效果[8]。

2.3 遗传算法优化方法

上述优化模型中，由于优化变量具有离散和连续混合变量特点，使用遗传算法(GA)对Kriging代理模型进行寻优。

传统遗传是一种利用自然选择和生物进化思想在设计空间进行随机搜索最优解的优化算法。通过模拟自然选择中的选择、交叉、变异操作来寻求优良个体，用适应度函数评价个体优劣，依据优胜劣汰的原则，搜索出适应度最高的个体[13]。该方法收敛速度快并可以很好地在设计空间中寻找全局最优解。

3 加筋柱壳结构优化算例

3.1 加筋柱壳结构及参数化建模

加筋柱壳舱体结构如图2所示，舱体结构直径1000mm，长度1100mm，两端通过安装法兰和对接螺栓与前后舱段连接，法兰后端开口用于提供螺母拧紧扳手空间。安装法兰和开口尺寸依据以往设计经验和具体连接件尺寸进行确定。该结构设置纵向和环向加强筋，纵向加强筋剖面为“T”型，环向加强筋剖面为矩形，参数见图2。 舱体结构材料使用航天结构常用的铝合金材料，材料屈服强度极限为σs=320MPa，弹性模量E=71GPa，泊松比ν=0.3，密度ρ=2.78e-6kg/mm3。

图2 Pro/e加筋柱壳结构三维参数化建模

使用Pro/E进行加筋柱壳结构三维参数化建模，在Workbench建立Geometry项目，使用Pro/E与Workbench的通用接口将设计参数传入Workbench，在Workbench的Geometry模块中使用DM(Design Model)功能模块对导入模型进行操作，选择三维模型参数。

3.2 有限元计算

加筋柱壳火箭舱体在火箭发射和飞行过程中承受巨大的轴向载荷和弯矩，计算时依据舱段承受的轴向力T=1.0×106N和弯矩M=1.0×105N·m进行加载。根据以往火箭结构设计经验进行加载和设置边界条件，舱体结构的前后端面一端固支、一端加弯矩和轴向力。通过Workbench建立有限元模型。使用Static Structural模块进行静力分析并设置提取计算得到的最大Mises应力和最大变形。通过Linear Bucking模块进行线性屈曲分析并提取结构的一阶屈曲强度因子。单次的静力分析和屈曲分析需耗时约10min～15min。

对初始模型静力分析结果表明，最大Mises应力发生在前端开口附近，最大Mises应力为318.9MPa，最大变形2.72mm，应力云图和位移云图见图3。对初始模型线性屈曲分析结果表明屈曲强度因子为4.37，对应失稳波形见图4。

图3 初始模型有限元静力计算结果

图4 初始模型有限元屈曲计算结果

3.3 基于Workbench的优化模型框架

设计变量及初值见表1。纵向加强筋数量为离散设计变量，其它变量为连续设计变量，结合结构实际情况设置各个参数的上下限，并经过初步的设计分析设置设计变量的初值。

表1 设计变量定义、初值及上下限

在Workbench中建立静力分析和线性屈曲分析项目，并建立目标驱动优化(Goal Driven Optimization)项目，参数设置(Parameter Set)模块提供了设计变量和响应变量的数据流。充分利用Workbench的数据交互流优势，减少建模工作量，建立的优化框架见图5。

图5 基于Workbench的优化模型框架

4 优化计算结果及分析

4.1 Kriging代理模型有效性分析

为验证Kriging代理模型的精度和可行性，使用最优设计方案作为对比样本进行比较分析。依据最优设计方案的变量，重新建立有限元模型，进行有限元计算，得到的应力云图、位移云图见图6，屈曲失稳波形见图7。由设计结果可以看出优化设计结构是满足约束条件、合理可行的。

图6 最优设计有限元静力计算结果

图7 最优设计有限元屈曲计算结果

Kriging代理模型预测结果与有限元计算结果对比见表2，最大应力偏差0.55%、最大质量偏差0.03%、最大变形偏差2.78%、最大屈曲因子偏差6.87%。结果表明代理模型的计算结果与有限元计算结果偏差较小，精度能够满足使用。

表2 优化预测结果与FEM计算结果对立

4.2 Kriging模型优化与直接优化对比

为了验证基于Kriging代理模型的优化方法的有效性和高效性，采用直接优化方法和Kriging代理模型的优化方法分别对加筋柱壳结构进行优化。考虑到若使用本文参数化模型的8个设计变量，直接优化方法调用有限元计算的次数较多，时间代价太高，本节将模型仅保留腹板高度、椽条宽度和纵向加强筋数目三个设计变量，其它变量设置为常数。

直接优化方法的初值和算法选择十分关键，初值和算法选择不当容易导致寻优过程陷入局部最优解。通过多次直接优化算法的试算得到优化结果，结果见表3。由表3可见，代理模型优化方法与直接优化方法优化结果较接近，但代理模型优化方法只调用了27次FEM计算，直接优化方法调用了216次FEM计算，直接优化计算代价消耗很多。通过使用Kriging近似模型，一方面大减少了计算代价，另一方面也能有效地寻优。

表3 Kriging模型优化与直接优化结果对比

4.3 最优方案及分析

优化过程共产生316个试验设计点，调用316次结构静力分析和屈曲分析。通过试算确定本文的MIGA参数设置如下：岛数为10，每个岛的种群数为10，进化代数为50。

通过代理模型优化得到最优设计结果与初始模型计算结果对比见表4，结构总质量为31.29kg，比初始模型重量减少了11.91%，优化效果明显。得到的最优设计方案见表5，优化后两条环向加强筋的间距变大，纵向加强筋数量为8条，加强筋的布局更加合理。

表4 最优设计结果

表5 最优设计方案

5 结论

本文基于Kriging代理模型建立了一种加筋柱壳结构优化方法，通过Workbench建立优化框架，实现优化计算，结果表明：

1)代理模型对结构响应的拟合效果较好，代理模型计算精度与有限元计算结果误差较小，Kriging代理模型能很好的代替有限元模型进行响应计算；

2)基于Kriging代理模型的优化方法比直接优化方法计算减少优化过程中有限元模型的调用次数，并且能够有效的搜索到全局最优解，提高优化效率；

3)通过加筋柱壳结构优化算例表明本文方法实现减重11.91%，优化效果明显，对此类优化问题有一定的应用参考价值。