基于新型趋近律的永磁直线同步电动机全局滑模控制

宫海涛，徐 驰，郑如霞，赵希梅

(1.辽宁泛适达科技有限公司，沈阳 110004； 2.沈阳工业大学 电气工程学院，沈阳 110870)

0 引 言

近年来，人们对机械加工精度的要求日益提高，在传统工业领域，通过旋转电机实现直线驱动已无法适应现代工业对驱动系统的需求，因此，直接驱动技术受到了人们的广泛关注。与“旋转电机+滚珠丝杠”的传统传动方式不同的是，永磁直线同步电动机(以下简称PMLSM)利用电磁效应，无需中间传动环节，直接驱动执行机构做直线运动，且具有推力大、响应速度快等优点，在数控机床、医疗器械、轨道交通等重要场合得到广泛应用[1]。但在实际运行过程中，PMLSM是一个非线性、多变量、耦合度高的复杂系统，且在运行过程中会受到内部参数摄动、外部负载扰动、摩擦阻力及端部效应阻力等多方面影响，故对其控制的难度也相应增加[2]。

近几年来，滑模控制(以下简称SMC)在许多对可靠性要求较高的运动控制场合中得到了广泛的应用[3]。SMC最大的特点是其控制作用具有不连续性，根据控制目标所设计的切换面对外界干扰和参数变化等因素具有鲁棒性[4]。SMC的不连续开关特性会引起抖振，而系统状态轨迹趋近于滑模面的快速性与抖振程度相矛盾[5]。因此，缩短趋近时间、削弱抖振现象成为了SMC研究的主要方向。

国内外许多学者对SMC进行了广泛研究[6-8]。文献[9]在传统指数趋近律的基础上设计了一种变指数趋近律，通过引入变指数项函数，提高了系统的动态品质以及抑制抖振的能力，达到了全局收敛，但控制律对参数变化适应性低，调节速率较低，响应速度较慢。为了提高系统的收敛速度。文献[10]针对一类二阶非线性系统提出了一种双幂次型趋近律，既可削弱抖振现象，又能加快系统的收敛速度，但由于引入大量参数，加大了计算的复杂程度，占用计算内存变高。文献[11]将传统符号函数替换为具有边界层的饱和函数，对输入不连续函数进行连续化处理，削弱了抖振。但由于传统的饱和函数边界层固定，系统状态轨迹无法渐近收敛至切换面，同时在边界层内系统的鲁棒性也有所降低，影响了系统的位置跟踪精度。文献[12]提出了一种自适应趋近律，可以根据系统状态变量与滑模面的距离自适应调整系统状态向滑模面趋近时的速度，从而削弱了SMC固有的抖振现象，提高了系统的稳定性，但系统的平衡点难以判断，加大了系统的复杂性并降低了可应用性。

为解决上述问题，实现PMLSM的高精度位置跟踪控制，本文设计了一种基于新型趋近律的全局滑模控制(以下简称GSMC)方法，在滑模面方程中引入非线性因子项来实现GSMC，保证系统稳定运行的同时，可以消除滑模控制的到达阶段，使系统具有全局鲁棒性。此外，引入具有动态边界层饱和函数的新型趋近律替代等速趋近律，使状态轨迹平稳收敛至切换面上，削弱了输出抖振，提升了系统控制性能。

1 PMLSM数学模型

在d-q坐标系下，PMLSM的电磁推力方程可以表示:

(1)

式中:Fe表示电磁推力；pn表示极对数；ψf表示永磁体磁链；id，iq表示d，q轴电流；τ表示极距；Ld，Lq表示d，q轴电感。

采用矢量控制方法，取id=0，为方便设计，其中Ld=Lq，Kf=3πpψf/(2τ)，电磁推力方程简化:

(2)

式中:Kf为电磁推力系数。

PMLSM的机械运动方程:

(3)

式中:M表示PMLSM的动子总质量；B为粘滞摩擦系数；v为动子速度；F为总扰动项，其中包括系统内部参数摄动、外部负载扰动、摩擦阻力和端部效应阻力等。

考虑F时，直线电机的动态方程表示:

(Cn+ΔC)F

(4)

式中:x(t)为动子位置；An=-B/M；Bn=Kf/M；Cn=-1/M；ΔA、ΔB、ΔC表示系统参数变化引起的不确定量，且是有界的。系统的不确定性总和D表示如下:

(5)

假设D有界，即|D|≤δ，其中δ为正常数。

2 系统设计

2.1 系统组成

采用基于新型趋近律GSMC的PMLSM系统框图如图1所示，将变边界层饱和函数和新型趋近律应用其中，消除了滑动模态到达滑模面的快速性和抖振之间的矛盾，保证PMLSM伺服系统在受到不确定性因素影响时，仍能准确跟踪位置给定信号。

图1 基于新型趋近律GSMC的PMLSM系统控制框图

2.2 GSMC

滑模控制器的设计首先要构造滑模面函数，随后求解滑模控制律。为了使系统具有全局鲁棒性，消除到达阶段，加快收敛速度，系统采用GSMC方法。

设系统期望运动轨迹为xd，定义位移跟踪误差:

e=xd-x

(6)

全局滑模面函数设计:

(7)

式中：c>0；f(t)满足下列三个条件[13]:

(2)t→0时，f(t)→0；

(3)f(t)具有一阶导数。

当系统状态满足上述条件时，可确保s→0始终成立，使系统具备全局鲁棒性，即实现GSMC,跟踪误差从任意状态收敛到零。

根据上述条件，将函数f(t)定义:

(8)

因此，将式(7)改写:

(9)

对于在不确定性因素影响下的系统，为保证系统状态收敛至滑模面上，且具有鲁棒性，滑模控制律可分为等效控制律ueq和切换控制律uvss两个部分，因此，设计GSMC的控制律可表示:

u=ueq+uvss

(10)

(11)

(12)

因此，切换控制表达式:

(13)

(14)

式中：φ>0，为边界厚度。

因此，将式(10)改写:

(15)

选取李雅普诺夫函数:

(16)

对式(16)求导得:

s[-δsgn(s)-D]=

-δ|s|-Ds≤0

(17)

因此，系统是渐近稳定的。

2.3 基于可变边界层饱和函数的新型趋近律

由于系统在饱和函数边界层内部为线性化控制，鲁棒性能较差，且系统状态无法渐近收敛至切换面上，到达时间较长，影响了系统的动态响应。因此，本节设计了一种新型趋近律。

SMC通过选择合适的趋近律来削弱抖振，通过引入开关函数来抑制参数变化以及外部扰动的影响。等速趋近律的表达式：

(18)

等速趋近律的缺点是趋近速度单一，ρ值的大小决定系统的抗干扰性以及抖振大小，在sgn(s)的作用下，ρ值越大，系统抗扰性越强，但也使输出的抖振更严重。因此，为削弱SMC中固有的抖振现象，在等速趋近律的基础上予以改进，提出了一种新型趋近律。

(19)

式中：x为系统的位置变量；s为滑模面；ε，η，δ均为大于零的常数。由式(19)可知，新型趋近律中起到切换作用的符号函数由饱和函数取代，以此实现准滑模控制，在一定程度上抑制了抖振，eq(x,s)是一个与系统状态变量有关的函数，根据系统状态与滑模面间的距离自适应地调节向滑模面趋近的速度，|s|取值越大，即状态点距离滑模面越远时，速度越快；|s|取值越小，即状态点距离滑模面越近时，利用反正切函数的有界性，保证了系统的速度不会过大，让状态点不断地向原点趋近，穿越滑模面后的幅值逐渐减小，加速系统趋于稳定状态，从而抑制了系统的抖振。

传统饱和函数的边界范围为一定值，当边界层范围较小时，在状态轨迹趋向滑模面速度加快的同时，也加强了系统的抖振。为了抑制抖振，边界层厚度取较大值，但在减小抖振幅度的同时也影响了系统的动态响应。因此，为了解决这个问题，设计了变边界层饱和函数，其表达式:

(20)

将常数β(β>0)与位置状态变量绝对值的反正切函数的乘积定义为该饱和函数的边界层，利用反正切函数值域有界的特点，保证了边界层厚度范围不会随着状态变量与原点间的距离的增大而无限增大。边界层的范围随着状态变量收敛至零而逐渐缩减为零，保证了状态轨迹渐近收敛到切换平面，从而实现系统在原点的稳定性。

将式(15)中的传统等速趋近律替换为新型趋近律，滑模控制律表示:

(21)

选取李雅普诺夫函数:

(22)

对式(22)求导得:

(23)

3 系统实验分析

本实验采用TMS320F2812A型号DSP作为控制核心单元，对基于新型趋近律的GSMC进行系统实验验证。PMLSM控制系统结构如图2所示，系统由IPM模块、PMLSM、PC+DSP控制单元、光电耦合器、电流传感器、光栅尺等部分构成。IPM用于进行整流及逆变，输出控制信号；光电耦合电路用于隔离强弱电信号，从而保护PWM输出；电流传感器采用霍尔传感器，将检测得到的电流信号输出到DSP的A/D转换电路；采用分辨率为1 μm的直线光栅检测动子实时位置，并将位置信号传输到DSP的正交编码电路。

图2 PMLSM控制系统结构图及实验装置图

为验证本控制方法的有效性，分别对基于式(15)和式(21)的GSMC方法进行了实验研究。其中，实验采用的PMLSM主要参数：p=3，Rs=2.1 Ω，ψf=0.09 Wb，Ld=Lq=41.4 mH，B=8.0 N·s/m，τ=32 mm，M=16.4 kg。电流PI控制器的参数设定：Kp=520，Ki=4000；在GSMC中，参数选取：c=5，α=130,ρ=500；在新型趋近律中，参数选取：ε=500，η=0.5，δ=0.5，β=0.5；动子初始位置为0.2 mm。

位置信号给定幅值为1 mm的阶跃信号，基于传统饱和函数的GSMC和基于新型趋近律的GSMC的PMLSM控制系统的位置跟踪曲线和位置误差曲线如图3所示。从图3(a)中可以看出，两种控制方法没有明显的超调量，均能在较短时间内达到稳定状态，在3 s时刻，加入100 N的负载扰动，从局部放大图可以看出，基于普通饱和函数的GSMC在受到干扰后的波动幅度明显大于基于新型趋近律的GSMC波形波动幅度。图3(b)显示，受到干扰后，基于传统饱和函数的GSMC的最大位置跟踪误差为-0.37 μm，而基于新型趋近律的GSMC的最大位置跟踪误差仅为-0.18 μm，说明改进后的控制方法具有更强的抗干扰能力。

图3 阶跃信号作用下PMLSM的位置跟踪曲线和误差曲线

两种控制方法的输入控制u曲线如图4所示。从图4中可以看出，基于传统饱和函数的GSMC误差收敛到零的速度较慢，时间较长，而且抖振现象明显；而基于新型趋近律的GSMC收敛速度更快，且曲线较为平滑，没有明显的抖振现象。这是由于新型趋近律中采用边界层可变的饱和函数替换了传统的边界层固定的饱和函数，边界层随着状态点向滑模面的趋近逐渐减少至零，提高了系统在边界层的鲁棒性，削弱了抖振现象。因此，本文的新型趋近律在提高收敛速度和抑制抖振方面更加优越。

图4 控制输入曲线

为进一步验证本文的控制方法抗干扰性能，在电机运行过程中，负载不断变化。负载变化曲线如图5(a)所示，基于传统饱和函数的GSMC和基于新型趋近律的GSMC的PMLSM控制系统的位置跟踪曲线和位置误差曲线如图5(b)和图5(c)所示。电机运行达到稳态后，在2 s时，负载由20 N突变到50 N，从中可以看出，基于饱和函数的GSMC位置跟踪误差由-0.28 μm变化为-0.61 μm；而基于新型趋近律的GSMC无明显波动，位置跟踪误差由-0.16 μm变化为-0.31 μm。4 s时，负载由50 N突减到30 N，基于饱和函数的GSMC位置跟踪误差在-0.61 μm～-0.36 μm之间变化；而基于新型趋近律的GSMC的位置跟踪误差在-0.31 μm～-0.18 μm之间变化。6 s时，负载由30 N突变到40 N，基于饱和函数的GSMC位置跟踪误差由-0.36 μm变化为-0.5 μm，位置误差增大了0.14 μm；而基于新型趋近律的GSMC的位置跟踪误差由-0.18 μm变化为-0.25 μm，位置误差只增大了0.07 μm，误差变化仅为基于饱和函数的GSMC的一半。8 s时，负载由40 N突减到10 N，基于饱和函数的GSMC最大位置跟踪误差为-0.49 μm；而基于新型趋近律的GSMC的最大位置跟踪误差仅为-0.25 μm。进一步验证了基于新型趋近律的GSMC抗干扰能力更强，可提高系统的跟踪性能。

图5 变负载情况下PMLSM控制系统的位置跟踪曲线和误差曲线

从图3和图5中可以看出，在系统受到扰动后，本方法仍只能确保系统位置收敛到一有界范围内，存在一定的稳态误差，可以通过调节ε和η的值来减小稳态误差，但同时也会相应地增大输出抖振，在应用过程中需要在期望误差及抖振大小之间进行平衡。

4 结 语

本文采用了一种基于新型趋近律的GSMC方法来控制PMLSM运行。首先采用GSMC方法控制电机运行，消除了传统SMC的到达阶段不具有鲁棒性的缺陷，使系统响应具有全局鲁棒性。为抑制滑模控制中的固有抖振，在传统等速趋近律的基础上进行了改进，将边界层固定的传统饱和函数替换为边界层动态变化的新型饱和函数，得到了新型趋近律。最后通过实验得到了不同工况下的位置跟踪曲线及误差曲线。实验结果表明，相较于基于传统饱和函数的GSMC，本控制方案可以有效地削弱输出抖振，提高PMLSM系统的收敛速度和位置跟踪精度，使系统具备较强的鲁棒性能。