采用AHP-KCA的主动悬架LQG控制器设计

赵健，柳江，李明星，袁策

(青岛理工大学 机械与汽车工程学院，山东 青岛 266520)

汽车被动悬架存在构型相同则性能特征必然相同的桎梏，不能适应多变的路况，因而主动悬架成为研究的重点.控制策略是主动悬架研究的核心，不同的控制算法应用在悬架上取得的效果有所不同[1-4].线性二次高斯(linear-quadratic-Gaussian，LQG)算法作为一种较完善的控制算法，在悬架减振方面应用广泛，主动悬架控制器常采用该算法提升车辆性能.LQG控制器设计的关键在于各性能指标加权系数的选取，文献[5-7]采用试凑法确定加权系数，原理简单，但调试加权系数耗费时间较长且适应性较差.文献[8-9]利用层次分析法(analytic hierarchy process，AHP)求出2自由度和4自由度主动悬架各性能指标的加权系数.文献[10-11]利用遗传算法(genetic algorithm，GA)求出2自由度和7自由度主动悬架性能指标的加权系数.李鑫军等[12]将AHP和GA相结合，求得加权系数.但上述文献中，AHP存在主观片面性较多、稳定性较差的缺点；而GA的问题则是初始搜索范围较差，未能考虑各性能指标数量级的差异.因此，本文提出一种新的权值优化方案，将K均值聚类算法(K-means clustering algorithm，KCA)引入到加权系数的优化中，得出更合适的加权系数，从而提升车辆悬架的性能.

1 2自由度车辆模型

1.1 路面模型的建立

滤波白噪声生成随机路面输入模型为

(1)

式(1)中：zq为路面位移，m；f0为下截止的频率，Hz；G0为路面的不平度系数，m3·r-1；u0为车辆的前进速度，m·s-1；w为数学期望为0的高斯白噪声.

1.2 2自由度1/4车辆悬架模型的建立

建立2自由度1/4车辆模型，如图1所示.图1中:mb为车身质量；mw为车轮质量；ks为悬架刚度；kt为轮胎刚度；f为悬架主动控制力；cs为悬架阻尼系数；zb为车身位移；zw为车轮位移；zq为路面位移.

图1 2自由度1/4车辆模型

车辆模型的动力学方程为

(2)

(3)

1.3 系统状态方程

1/4车辆模型的车身加速度、轮胎动位移和悬架动行程是主要的悬架性能指标，因此系统的状态变量X和输出变量Y选取为

(4)

则系统的状态空间方程为

(5)

2 主动悬架LQG控制器的设计

在汽车行驶过程中，既要考虑车辆平顺性，又要保证行车安全性，同时还要避免悬架动挠度过大.因此，性能指标函数J表达式为

(6)

式(6)中：q1，q2和q3分别是各性能指标的加权系数.

根据最优控制理论，式(6)为

(7)

式(7)中：Q，R分别是状态变量及控制变量的加权矩阵；N是交叉项的权重.

由MATLAB软件中的lqr函数求出最优增益反馈矩阵K，即

[K，S′，E]=lqr(A，B，Q，R，N).

(8)

式(8)中：S′为Riccati方程解；E为系统特征值.

根据状态变量X在时刻t的瞬时值X(t)，可求出作动器在时刻t的控制力U(t)为

U(t)=-KX(t).

(9)

3 基于AHP的控制器的仿真分析

3.1 基于AHP的确定加权系数

(10)

3.1.2 主观加权比例系数 1)构造性能指标间的判断矩阵H，设hi，j为指标i对指标j的重要性比值，hi，j性能指标间重要性比值如下：同等重要为1；略重要为3；比较重要为5；重要为7；很重要为9.若指标间重要性比值介于2个比值之间，则可依次取2，4，6，8.

2)求解各性能指标的权重排序向量W，根据判断矩阵H，可知H中各行元素的乘向量M为

(11)

(12)

(13)

3)H的最大特征值λmax及一致性检验CR分别为

(14)

式(14)中：RI是H的随机一致性指标.

当n=3时，RI=0.52，将此值代入式(14)，求解CR.若CR<0.1，则通过一致性检验，否则，需要对矩阵H进行一致性校正[13].

4)求解主观加权比例系数，以车身加速度为主要优化目标，令其主观加权系数γ1为1，则其他性能指标的主观加权系数为

W1/γ1=Wi/γi，i=1，2，…，n.

(15)

3.1.3 最终加权系数 由式(10)得出的同尺度量化比例系数βi及由式(15)得到的主观加权比例系数γi求得悬架各性能指标的最终加权系数qi，即

qi=βi×γi，i=1，2，…，n.

(16)

3.2 车辆模型的仿真输入参数

以某轿车为研究对象，车辆模型有关参数[14]如表1所示.

表1 车辆模型仿真输入参数

3.3 基于AHP的LQG控制器的仿真与分析

基于AHP优化的悬架性能仿真图，如图2所示.由判断矩阵H，再根据式(10)～(15)可得到3个性能指标的加权系数分别为q1=1，q2=1 130，q3=73 445.根据表1车辆模型输入仿真参数和3个加权系数，运行MATLAB/Simulink软件中的仿真模型.被动悬架的车身加速度、悬架动行程、轮胎动位移均方根值分别为1.266 9，0.012 4，0.004 5；采用AHP优化后的主动悬架的车身加速度、悬架动行程、轮胎动位移均方根值分别为1.096 4，0.010 2，0.004 7.

(a)车身加速度

由图2可知：相较于被动悬架，采用AHP主动悬架车身加速度的均方根值有明显的降低，减小了13.46%，有效地改善了汽车平顺性；悬架动行程减小17.74%，且完美符合设计的要求范围(±100 mm)，降低了撞击悬架限位的概率；但是主、被动悬架的轮胎动位移的均方根值相差不大，说明主动悬架对轮胎动位移没有明显的控制效果.因此，LQG控制器的设计符合要求.

4 基于KCA的控制器的仿真分析

4.1 KCA样本的确定

为保证车身加速度的优化效果，令车身加速度的加权系数为q1=1，q2，q3为自变量.在MATLAB中，根据AHP提供的加权系数，采用Random随机函数进行仿真实验.设q2范围为[1 000，2 000]，q3范围为[50 000，100 000]，在此范围内各随机取15个数值.

加权系数q2，q3的随机取值在MATLAB软件表示为

(17)

运行函数后，得到

(18)

将q2，i，q3，i正交组合，q1=1，得到225组加权系数，代入到LQG控制器中进行仿真实验，得到主动悬架3个性能指标的均方根值RMS(a)，RMS(S)，RMS(s).记录仿真结果并按序编号，将其作为KCA聚类分析的样本，得到样本数据.

4.2 基于KCA的样本数据仿真与分析

4.2.1 KCA的设计与编程 KCA的输入包含N个数据集x和类簇的数目k；输出为k个类簇及每个类簇包含的样本个数及编号[15].

算法流程，如图3所示，具体有如下5个步骤.

图3 KCA聚类流程 图4 聚类结果图

1)初始化.X为给定包含N个数据的集合；K为聚类的类数；初始聚类中心为在X中随机选取k个对象.

2)设定迭代终止条件.通常设置最大循环次数作为终止条件.

3)更新样本对象所属类.根据距离准则将数据对象分配到距离最接近的类.

4)更新类的中心位置.将每一类的平均向量作为下次迭代的聚类中心.

5)重复步骤3)～4)，当满足步骤2)中的迭代终止条件时，完成聚类.

4.2.2 KCA的聚类结果分析 在MATLAB软件中编写并运行KCA程序，根据悬架性能指标相似度的不同，样本划分为9类，得到聚类结果如图4所示.

由于主动悬架3个性能指标数量级和单位的差异性，无法直接叠加，为了获得LQG的综合控制效果，将悬架的3项指标归一化处理，得到综合控制指标L，即

(19)

式(19)中：Δi是主动悬架的性能指标；下标p是指被动悬架.

KCA聚类结果均值，如表2所示.表2中：M(i)(i=1，2，3，…，9)为i类均值；n为样本数.

由表2可知如下5点.1)对象最多的一类有32个样本，最少的一类包含12个样本.2)第2，9类的L最小，数值分别为2.616 5，2.632 0，综合控制效果最好.这两类的特征是RMS(a)较低，车辆乘坐舒适性相较于被动悬架改善较为明显.这两类权值系数取值分别为q2，2=1 435，q3，2=58 353；q2，9=1 373，q3，9=59 605，所选轿车模型悬架动行程的加权系数取值范围为1 350～1 450，轮胎动位移的加权系数取值范围为58 300～59 700时，车辆悬架获得最优性能.3)第3，4，6类的L居中，悬架性能表现较好；第1，5，7，8类的L值最大，数值均超过2.700 0，第5类L值接近2.800 0，悬架控制效果最差.此时，权值系数q2为1 550～1 750，q3为79 000～93 000，表明悬架动行程、轮胎动位移在加权系数都取较大值时，改善较大，但综合控制效果反而有所降低.4)a和L的改善效果具有一致性，两者成正相关.

表2 KCA聚类结果均值

车身加速度直观地体现汽车平顺性，根据RMS(a)的均值，再结合L，对9类数据进行分级处理，作出AHP-KCA分级表，如表3所示.

表3 AHP-KCA主动悬架分级表

表3是以机器学习替代专家主观选择的结果，对于不同车型都可以用AHP-KCA算法分析处理，为LQG控制器设计时权值的选择提供数据框架.从A级加权系数中选出控制效果最好的一组数据，q2=1 415，q3=59 300.由表3可知：9类样本数据分为3级，其中，第2，9类为A级，控制效果最佳；第3，4，6类为B级，控制效果较好；第1，5，7，8类为C级，控制效果差，但相较于被动悬架，这3级悬架性能都有所提升.

5 基于AHP-KCA主动悬架控制器的仿真分析

节3通过AHP求出了一组加权系数，在此基础上，节4利用KCA确定了另一组最优加权系数.结合这2组加权系数，运行Matlab/Simulink软件中的仿真模型，便可得到被动悬架与基于2种算法的主动悬架各性能仿真图，如图5所示.

(a)车身加速度

由图5(a)可知：相较于被动悬架，主动悬架显著降低了a的幅值，改善汽车的乘坐舒适性.由图5(b)可知：S明显的减小有效降低悬架击穿概率，使悬架工作空间得到更充分的利用.由图5(c)可知：采用AHP的主动悬架对s的控制效果不佳，但采用AHP-KCA的主动悬架降低s，改善行车安全性.

为了定量化分析，各性能指标均方根值，如表4所示.表4中：η1为AHP主动悬架性能指标变化率；η2为AHP-KCA主动悬架性能指标变化率.

表4 各性能指标均方根值

由表4可知：相较于被动悬架，2种算法设计的主动悬架均有效降低a，S的均方根值，且减小幅度都超过10.00%，验证了AHP比较矩阵中比值选择的合理性；AHP-KCA主动悬架比单一AHP主动悬架改善幅度更大，幅值减少超过20.00%，虽然AHP主动悬架对s没有起到积极效果，但AHP-KCA主动悬架降低s，减少幅度为8.90%，证明AHP-KCA结合算法的优越性.

为了验证AHP-KCA算法的可靠性，将AHP-KCA的仿真结果与已有文献作对比，对比结果如表5所示.表5中:η3为a的相对误差率；η4为S的相对误差率；η5为s的相对误差率.

表5 仿真结果对比

由表5可知：文中实验数据与已有文献实验数据的相对误差均较小，其中，a与文献[16]的实验数据误差为16.27%，S与文献[18]的实验数据相对误差为2.20%；与其他文献的仿真结果相比，文中相对误差也较小，3个性能指标的相对误差均在8%以下.因此，采用AHP-KCA算法的主动悬架起到不错的控制效果.

6 结论

1)在传统LQG算法基础上，增加AHP算法改善悬架的控制效果，并进一步引入KCA聚类，仿真结果证明：机器学习替代专家系统的方法是可行的，同时，其对于其他的基于经验的悬架控制算法也有一定的参考价值.

2)与被动悬架相比，采用AHP-KCA算法设计的LQG控制器，能显著提升汽车悬架性能(3个指标分别降低了20.03%，25.00%，8.90%).同时，将文中的仿真结果与其他文献的仿真或实验结果进行对比，相对误差均较小，证明了仿真结果的准确度，证明了AHP-KCA算法的可行性.

3)AHP-KCA算法给出了包含225组加权系数及悬架响应特性的数据集，并利用KCA分类分级，为LQG控制器设计中加权系数的确定提供了选择框架和理论指导.