环的n-余挠维数

熊 涛

（西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充637002）

0 引言

规定R恒指有单位元的交换环.对R-模N，pdRN代表N的投射维数.用gl.dim（R）（对应地，w.gl.dim（R））表示R的整体（对应地，弱整体）维数，未解释的概念和符号可参考文献［1-2］.

余挠模受到诸多文献关注.文献［3］中R-模C称为余挠模，是指对任何平坦模F，都有Ext1R（F，C）＝0.每个模都有内射包，与内射包相对应的概念是投射盖.人们自然要问，每个模是否有投射盖.文献［4］证明了每个R-模有投射盖当且仅当R是完全环（每个平坦模是投射模）.随着盖包理论的发展，文献［5］提出了平坦盖猜测（Flat Cover Conjecture，缩写为FCC）：每个R-模有平坦盖.此后，多篇文献讨论了平坦盖的存在性.文献［6］借助余挠模，彻底解决了FCC：任何环上，每个模都有平坦盖和余挠包.

按照同调理论的观点，文献［11］引入了模M

环R是完全环，是指每个R-模都有投射盖，等价地，每个平坦R-模是投射模.文献［12］的定义1.1称R为n-完全环，是指每个平坦模的投射维数不超过n.文献［11］推论7.2.7证明了环R是完全环当且仅当Cot.D（R）＝0；文献［11］推论7.2.6证明了环R是n-完全环当且仅当Cot.D（R）≤n.

文献［13］也引入了模的强余挠分解和模的强余挠维数，以及环R的强余挠整体维数S.Cot.D（R），并且证明了对任何环R，Cot.D（R）≤S.Cot.D（R）；Cot.D（R）＝0当且仅当S.Cot.D（R）＝0；自然地，每个模也应该有n-余挠分解以及相应的维数，环应该有相应的n-余挠整体维数.文献［14］正是沿着这个思路，借助文献［7］定义的n-余挠模，建立在整个R-模范畴上的n-余挠分解，任何模的n-余挠维数，以及环R的n-余挠整体维数Cn.D（R）.

文献［4］引入环R的有穷投射维数FPD（R）＝sup｛pdRM｜MR-模满足pdRM＜∞｝.这个同调维数受到学者们的广泛关注.文献［15］证明了R是完全环当且仅当FPD（R）＝0；满足FPD（R）＝1的凝聚环R是Noether环.

R称为几乎完全环是指其每个真商环是完全环.文献［16］证明了几乎完全环或者是完全环，或者是整环.几乎完全整环称为APD整环.文献［8］引理3.6和文献［9］推论6.4证明了整环R是APD整环当且仅当内射模的商模是弱内射模.文献［17］命题3.2证明了整环R是APD整环当且仅当FPD（R）≤1.这一结果启示我们可以利用Cn.D（R）刻画环的FPD（R）维数.这在文献［14］中已有所体现.本文在文献［14］的研究基础上，继续考虑更一般的情形.

1 n-余挠模与n-余挠维数

将n-余挠模簇记为Cn，将平坦维数不超过n的R-模簇记为Fn.

对任何n≥0，（n＋1）-余挠模是n-余挠模，反之则未必成立.

例1.1设Z是整数集.显然有pdZZ／（2）＝1.由文献［2］的定理7.17有Ext1Z（Z／（2），Z）≅Z／2Z≠0，因此，Z不是1-余挠Z-模.

下面研究这种模类的性质.

定理1.3设n、m是给定的2个非负整数，则n-余挠模的m-阶上合冲是（n＋m）-余挠模.特别地，任何模M的n-阶上合冲是n-余挠模.

对任何模M，存在正合列0→M→E→C＝E／M→0和0→K→P→M→0，这里E是内射模，P是投射模，但无法得到C、K的属性.给出可以限定C、K属性的如下定理.

定理1.4对任何R-模M和N，存在正合列0→K→P→M→0和0→N→E→C→0，这里P，C∈Fn，K，E∈Cn.

证明运用命题1.2、文献［18］的引理2.2.10和文献［10］的引理2.1.2可得第一个正合列，由文献［7］的定理3.4可得第二个正合列.

2 环的有穷投射维数

作为Cn.D（R）的应用，有刻画环的有穷投射维数FPD（R）.

定理2.1设n是给定的非负整数，则FPD（R）≤n当且仅当Cn＋1.D（R）≤n.

证明假设FPD（R）≤n成立.对任何R-模M∈Fn＋1，由文献［19］的命题6可得pdR M＜∞.由条件，M∈Pn成立.由文献［14］的定理3可得Cn＋1.D（R）≤n.反之，如果Cn＋1.D（R）≤n成立.假如FPD（R）＞n，不失一般性，可设FPD（R）＝n＋1，则存在R-模M∈P∞满足pdR M＝n＋1，即M∈Pn＋1.故由文献［14］的定理3，pdRM≤n成立，显然矛盾，因此，FPD（R）≤n.

推论2.2对环R及非负整数n，以下陈述等价：

1）FPD（R）≤n；

2）Pn＝Fn＋1；

3）Pn＝F∞.

推论2.3环R有FPD（R）≥n＋1当且仅当Cn＋1.D（R）＝n＋1.

FPD（R）作为一种同调维数，需要找出它与环的整体维数的差距.

定理2.4设k≥n.如果w.gl.dim（R）≤k且Cn.D（R）≤m，则gl.dim（R）≤m＋k－n.

例2.9设L是域，F是L的扩域，且［F：L］＝∞.构造环R＝L＋xF［x］.则由文献［16］知R是APD整环，即FPD（R）≤1.由于R不是Noether环，故R不是Dedekind整环，自然gl.dim（R）≥2.由推论2.5可得w.gl.dim（R）＝∞.

文献［20］称环R是强n-完全环，是指Pn＝Fn.文献［4］定义了R的弱 finitistic维数：FFD（R）＝sup｛fdRM｜M是任意R-模满足fdRM＜∞｝.现在用强n-完全环和FFD（R）来刻画环的FPD维数.

引理2.10设R是环，则：

1）R是强n-完全环当且仅当Cn.D（R）≤n；

2）对任何正整数n＜m，强n-完全环是强m-完全环；

3）FFD（R）≤n成立当且仅当Fn＝Fn＋1.

证明1）由文献［14］定理3可得，3）即文献［14］引理1.

2）只须证强n-完全环是强（n＋1）-完全环即可.设R是强n-完全环.对任何R-模M∈Fn＋1.考虑正合列0→K→P→M→0，这里P是投射模，K∈Fn.由条件，K∈Pn，自然可得M∈Pn＋1，故R是强（n＋1）-完全环.

定理2.11设n是给定的非负整数，环R满足FPD（R）≤n当且仅当R是满足FFD（R）≤n的强n-完全环.

证明假设FPD（R）≤n成立.对任何R-模M∈Fn，自然也有M∈Fn＋1.由定理2.1可得Cn＋1.D（R）≤n.再由文献［14］定理3可得M∈Pn，即Pn＝Fn成立，所以R是强n-完全环.由推论2.2可得FFD（R）≤n.反之，设R是满足FFD（R）≤n的强n-完全环.由引理2.10，Cn.D（R）≤n和Cn＋1.D（R）≤n＋1同时成立.由文献［14］定理3，Pn＝Fn⊆Fn＋1＝Pn＋1成立.由引理2.10可得Pn＝Fn＋1.再由推论2.2可得FPD（R）≤n.

对任何正整数n＜m，强n-完全环R是强m-完全环.但反之则未必成立.

例2.12设Q是有理数域，X是Q的未定元.设m＝（X）.构造环R1＝Z＋XQ［X］m与R2＝Z4，这里Z是整数集合.再构造环R＝R1×R2.由文献［21］的例4.5，FPD（R）＝2和FFD（R）＝1成立.则由定理2.11可知，R是强2-完全环，且不是强1-完全环.

由文献［15-17］可得，几乎完全环都有FPD（R）≤1，自然都是强1-完全环.但强1-完全环却未必是几乎完全环.

例2.13设R是实数域.构造环T＝Q＋xR［x］，由文献［16］可知T是APD整环.由于FPD（T）＝1，则T不是域，从而由推论2.7，T不是完全环.构造环R＝T×T，则R是强1-完全环，I＝（T，0）≠0是R的理想.则T≅R／I是R的真满同态像，但不是完全环.故R不是几乎完全环.

定理2.14设（RDTF，M）是Milnor方图，其中D是Prüfer整环，F是D的商域.如果有FFD（T）≤1，则FFD（R）≤1成立.

设T＝L＋xF［［x］］及R＝D＋xF［［x］］.由右Milnor方图，运用文献［24］的定理4.7和定理4.11可得T不是凝聚环，T是APD整环.由文献［25］引理3.1，FPD（T）＝1.则由定理2.11，有FFD（T）≤1成立.由左Milnor方图，运用定理2.14，FFD（R）≤1成立，且再次由文献［24］的定理4.7和定理4.11可得R不是凝聚整环.再次由文献［25］，R不是APD整环.由定理2.6，R不是强1-完全整环.

正如凝聚环未必有gl.dim（R）≤1一样，凝聚环也未必有FPD（R）≤1.

例2.16设X是Q上的未定元.构造环R＝Z＋XQ［X］.则由文献［24］的命题4.4和定理4.12可知，R是非Noether的凝聚整环.故R不是APD整环，从而FPD（R）≤1不成立.

当然，满足FPD（R）≤1的环也未必是凝聚环.

例2.17设C是复数域，X是C上的未定元.构造环R＝Q＋XC［X］.由于C是Q的扩域，故R是APD整环，自然满足FPD（R）≤1.但由于［C：Q］＝∞，则由文献［24］定理4.11可知，R不是凝聚环.

致谢西华师范大学博士科研启动项目（17E087）对本文给予了资助，谨致谢意！