基于Hoek-Brown准则的强度等效方法对比及应用研究

胡其志， 刘 倩, *， 丁志刚， 包文成

(1. 湖北工业大学土木建筑与环境学院, 湖北 武汉 430068； 2. 中交路桥南方工程有限公司, 北京 101149)

0 引言

层状岩体分布广泛，约占全球陆地面积2/3，其中77%分布于我国境内，尤其是西部地区。随着经济建设的进一步发展，我国公路、隧道工程在向西部蔓延的同时，其工程规模和难度也进一步加大。层状岩体因其呈层状，内含软弱面，具有复杂的各向异性特征，使得其受力变形、破坏不仅受到荷载分布影响，还与节理面性质、倾角等有关[1]，给隧道工程建设带来较大挑战。因此，对层状围岩稳定性进行分析是十分必要的。

在对隧道围岩进行研究过程中，常用方法一般分为2类： 模型试验[2-4]和数值模拟[5-8]。其中,模型试验因具有规模大、成本高、控制因素不稳定等缺陷，在围岩稳定性研究领域逐渐被数值模拟所取代。数值模拟软件中，FLAC3D最受青睐，该软件自带的遍布节理模型采用Mohr-Coulomb(简称M-C)准则，在完整岩体基础上考虑节理面的影响，能较好地反映围岩变形与应力分布特征。但遍布节理模型中的岩体强度未考虑节理面倾角效应，往往会导致层状围岩变形、应力结果较小[9]，与实测结果存在误差。因此，对完整岩体强度进行适当折减，能有效提升模拟结果准确性，且既有研究尚未对模拟过程中产生的此类问题进行详细分析。

1 基于H-B准则的等效强度参数

1.1 岩体强度准则

在材料强度研究中，M-C准则是使用最为广泛的强度准则，其表达式如下：

τ=c+σtanφ。

(1)

式中：σ、τ分别为正应力和剪应力；c、φ分别为材料黏聚力和内摩擦角，与材料特性有关。

通过变换，式(1)也可用主应力进行表达，但其中未考虑中主应力的影响，而在隧道稳定性分析时中主应力有着较大影响。

同时，有应力不变量变换表达式：

(2)

式中：σ2为中间主应力；θσ为应力Lode角，取-30°～30°。

故变换后，式(1)可进行如下表达：

(3)

Hoek-Brown准则由E. Hoek和E. Brown于1980年提出，可反映岩石破坏时极限主应力间的非线性关系，是一种基于大量数据的经验表达式，具体为：

(4)

式中：σc为岩石单轴抗压强度,MPa；mi为经验参数，与岩石软硬程度有关。

而后，又提出既适用于岩石又适用于岩体的改进H-B准则，即广义H-B准则：

(5)

式中s、α为反映岩体特征的经验参数，其中，s反映岩体破碎程度，α与岩体类型有关。

1992年，基于广义H-B岩体强度准则，H.Saroglou 和 G.Tsiambaos提出适用于层状岩体的修正H-B准则：

(6)

式中σc β、kβ分别为岩体单轴抗压强度和mi修正系数(其大小由节理面倾角决定)。

将式(2)中主应力用应力不变量代替后得：

(7)

式(7)即修正H-B准则的应力不变量形式，也可称为适用于层状岩体的考虑静水压力效应、Lode角效应的三维H-B准则。

1.2 瞬时等效法

E. Hoek 提出，在σ3-σ1破坏面，令H-B准则强度包络线上一点处的切线与通过该点的M-C准则强度包络线相等，得到相应等效强度参数公式，该方法称为瞬时等效法(Instantaneous equivalent，简称IE法，见图1)。但其所得结果未充分考虑中主应力和Lode角效应。

图1 瞬时等效法

(8)

式(3)等号两边同时对I1求导，有：

(9)

式(7)等号两边同时对I1求导，有：

(10)

联立式(8)—(10)，即可得出瞬时等效内摩擦角

(11)

式中Cβ为与岩体特征相关的经验系数，具体表达式见式(12)。

Cβ=σc βkβmi。

(12)

将式(12)代入式(3)中，并引入相应强度折减系数α=0.07，可求得瞬时等效黏聚力

(13)

1.3 最佳一次逼近

图2 最佳一次逼近

对于适用于层状岩体H-B准则，其表达式(7)可改写为：

(14)

f(x)=Ax2+Bx+C。

(15)

式(15)中：

(16)

对于M-C准则，其表达式(3)可改写为：

(17)

(18)

k=k′。

(19)

将式(19)代入，可解得等效内摩擦角

(20)

不难发现，最佳一次逼近所得等效内摩擦角与瞬时等效所得公式形式相似但系数不同，符合不同等效方法对结果的影响。

(21)

令：

(22)

并引入强度折减系数β=0.25,可求出等效黏聚力

(23)

由上述推导可知，对于修正H-B准则与M-C准则的等效，该方法实质是在一定x范围内，令g(x)斜率与M-C准则直线斜率相等，求得等效内摩擦角后，依据式(3)得到初始等效黏聚力c0，再将其与g(x)截距c取均值，得到最终等效黏聚力。

2 案例分析

为验证以上等效方法的正确性，以重庆至长沙省际公路共和隧道为背景，对其K41+567段层状围岩稳定性进行研究。渝沙省际公路共和隧道位于彭水县共和乡境内，为双洞隧道，左右洞分别长4 779 m和4 745 m，洞心相距20～23 m，最大埋深约1 000 m，为深埋隧道。隧道轴线走向231°，与岩层走向夹角0°～20°，其产状为300°～325°∠20°～40°(见图3)。隧道为左侧靠山、右侧临江地势(见图4)，因而存在偏压，其围岩稳定受到地质构造、岩层属性及埋深等影响。隧道区地质资料显示，隧道区内为单斜构造，无其他复杂地质。

图3 隧道岩层构造示意图

图4 隧址区域地质构造

共和隧道于K40+430～K42+230段埋深最大，围岩为Ⅲ级，硬质，层间结合较好。节理面平直光滑，多闭合状，无充填或钙质薄膜充填，间距为1～2 m。施工过程中发现自K40+830断面起，隧道初期支护在左拱脚和右拱肩处出现多处喷射混凝土开裂、掉块以及钢拱架屈曲变形等现象(见图5)，给工程后续建设带来极大安全隐患。为分析围岩变形特征，按照图6所示布置测点，并得到不同断面位移收敛值见表1。

(a) 左拱脚开裂

(b) 右拱肩处喷射混凝土开裂及拱架变形

图6 断面测线布置

表1 共和隧道部分断面位移收敛值

2.1 模型建立

2.1.1 遍布节理模型

层状围岩具有明显的各向异性，不能直接将其视为完整、均质岩体，在既有模型中，遍布节理模型(Ubiquitous-Joint)在层状围岩研究方面具有较好的效果。该模型认为，层状围岩的破坏可能出现在岩体中或节理面上，也可能两者同时出现，主要取决于围岩所受应力、节理倾角、岩体属性及节理属性等。一般将岩体放入空间坐标，以x、y、z表示；节理面放入局部坐标中，以x′、y′、z′表示(见图7)。

图7 遍布节理模型

遍布节理模型采用M-C屈服准则，同时考虑剪切破坏和拉伸破坏，其节理面破坏准则如图8所示。

图8 节理面破坏准则

AB为节理面剪切破坏包络线，满足fs=0：

(24)

BC为拉伸破坏包络线，满足ft=0：

(25)

由此可见，传统FLAC3D数值模拟中的遍布节理模型，是在M-C准则基础上加入节理面强度参数，其实质仍为各向同性体，无法较好地描述岩体各向异性破坏特性。因此，采用H-B准则等效对岩体强度参数进行相应修正后再应用到遍布节理模型中，能够达到更好的模拟效果。

2.1.2 模型建立

共和隧道K41+567段最大埋深为700 m，初始应力状态为σx=-16.33 MPa，σy=-12.28 MPa，σz=-15.69 MPa，τxy=-0.133 MPa，τxz=-1.095 MPa，τyz=1.945 MPa。以此为研究对象，基于2种不同等效法所得H-B等效强度参数，采用遍布节理模型，对该区段内倾角分别为0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°的岩层强度参数进行修正，并与修正前模拟结果进行对比。

隧道模型网格划分见图9，模型计算范围50 m×50 m×50 m。由于该研究重点为隧道开挖后围岩稳定性特征，故在不考虑开挖形式基础上统一进行全断面开挖，且开挖后进行喷混凝土初期支护。

图9 模型网格划分

2.2 参数计算

应力不变量表达式如下：

(26)

应力偏张量表达式如下：

(27)

Lode角表达式如下：

(28)

基于以上弹塑性理论，结合第2节工程背景，以不同节理面倾角确定不同Cβ值，并将砂质页岩三轴应力状态下破坏时所测得σ1、σ2、σ3代入应力不变量、应力偏张量和Lode角表达式中，再一并代入不同等效强度公式，得到层状岩体不同倾角、不同等效方法条件下的等效强度参数分别见表2和表3。其中，切变模量由不同节理倾角页岩抗压试验中弹性模量及泊松比数据计算得到。

表2 不同倾角岩体IE等效强度参数

表3 不同倾角岩体BOA等效强度参数

2.3 模拟分析

2.3.1 关键点位移量

采用FLAC3D历史数据记录功能，对隧道某一截面上拱顶、拱底、左右拱肩和左右拱脚处开挖完成后的水平、竖向位移进行记录，并计算得到径向位移量(绝对值)，所得数据如图10和图11所示。

由图10(a)—(b)可知，IE修正后拱顶下沉值均大于修正前，拱顶下沉值平均增幅为30.04%，当岩层倾角为30°时增幅最大，可达50.3%，但当倾角为75°和90°时增幅最小，说明此时IE法修正效果有所下降；BOA修正后拱顶下沉值基本大于修正前，拱顶下沉值平均增长11.69%，当岩层倾角为60°时增幅最大，可达30.2%，但当倾角为75°和90°时增幅小于0，说明此时该方法不再适用。图10(c)—(d)为拱底位移随倾角变化特征，由图可知，IE法和BOA法修正前后的拱底隆起值变化规律与拱顶处一致，IE法修正后平均增幅为45.44%，同样在倾角为30°时增幅最大，可达93.3%，当倾角为75°和90°时，增幅分别为25.7%和8.64%，远小于最大值；BOA法修正后平均增幅为24.8%，倾角为60°时增幅最大，可达44.8%，倾角为75°和90°时增幅小于0。

图11(a)—(b)分别为共和隧道某一截面上左、右拱肩开挖结束后位移量随倾角变化。由图可以看出，IE修正后拱肩位移量变化趋势为先增大后减小，且其拱肩位移差在倾角30°时取得最大值，倾角90°时取得最小值；BOA修正后拱肩位移变化趋势与IE法一致，均为先增大后减小，但其修正前后拱肩位移差在倾角75°后为负数，说明超过75°后BOA法便不再适用,同时，BOA修正前后拱肩位移差始终小于IE法。观察图11(c)—(d)发现，不论是左拱脚还是右拱脚，2种修正方法对其位移量均有所提升，且位移变化规律均为先增大后减小，与拱肩处一致，但IE法修正提升幅度明显大于BOA法；同样地，BOA法修正前后位移差在倾角超过75°后小于0，因此不再适用。分析拱肩和拱脚处进项位移大小可知，最大位移出现在右拱肩处。

(a) IE修正后拱顶位移量随倾角变化

(b) BOA修正后拱顶随倾角变化

(c) IE修正后拱底位移量随倾角变化

(d) BOA修正后拱底随倾角变化

(a) 左拱肩位移量随倾角变化

(b) 右拱肩位移量随倾角变化

(c) 左拱脚位移量随倾角变化

(d) 右拱脚位移量随倾角变化

为更加直观和仔细地对不同修正方法下各关键点位移进行分析，结合共和隧道实际工况，将6个关键点位移数据绘制隧道围岩位移分布如图12所示。

(a) 修正前

(b) BOA法

(c) IE法

观察围岩位移分布可知，不论是修正前、IE法等效修正或是BOA法等效修正，拱顶下沉值均大于拱底隆起值，这是由于拱顶位置围岩重力作用加剧了拱顶的下沉，而拱底位置围岩重力对底部的隆起起到抑制作用；此外，不论岩层倾角如何变化，该隧道右拱肩位移量始终大于左拱肩，呈非对称分布，这是因为共和隧道为典型的偏压隧道，左侧靠山、右侧临江(见图3)，导致其右拱肩处变形更大，与工程实际位移分布和现场监测结果一致，进一步体现2种修正方法的正确性。

此外，2种等效方法所得30°围岩位移结果均大于修正前，表明2种修正方法对围岩变形都具有修正作用，且IE法较BOA法所得结果与现场监测值更为接近。

对比现场监测结果和数值模拟计算的位移数据可知，修正前拱顶下沉值为7.72 mm，而IE法和BOA法修正后分别为11.6 mm和9.7 mm，现场监测结果为107.26 mm；修正前水平收敛值(左右拱脚水平相对位移)为7.25 mm，IE法和BOA法修正后分别为11.6 mm和9.4 mm，现场监测结果为59.22 mm(模拟断面为K41+567，故取K41+570数据为参考，见表1)。位移数据表明，2种方法较修正前对位移量都有提升，且IE法修正所得位移量较BOA修正更接近真实值，修正效果更佳。但对围岩稳定性而言，围岩应力是导致变形的关键，仅依靠位移量对修正方法进行判断是不够的，因此还应对围岩应力进行分析。

2.3.2 关键点应力值

数值模拟计算结束后，以岩层倾角为横坐标轴，偏应力(σ1-σ3)值为纵坐标轴，绘制关键点偏应力随倾角变化折线如图13所示。

(a) 拱顶偏应力(σ1-σ3)随倾角变化

(b) 拱底偏应力(σ1-σ3)随倾角变化

(c) 左拱肩偏应力(σ1-σ3)随倾角变化

(d) 右拱肩偏应力(σ1-σ3)随倾角变化

(e) 左拱脚偏应力(σ1-σ3)随倾角变化

(f) 右拱脚偏应力(σ1-σ3)随倾角变化

由图13(a)可以看出，拱顶偏应力值随倾角增大，呈U形变化趋势，当倾角为45°时取得最小值。其中，BOA法修正后拱顶偏应力始终大于修正前，而IE法修正只在30°、45°和60°时大于修正前，在0°、15°、75°和90°处小于修正前，说明IE法修正仅在30°～60°内对拱顶偏应力值有提升作用；图13(b)为拱底处偏应力值随倾角变化规律，不难看出，拱底处偏应力值随倾角变化呈先减小后增大趋势，且BOA法修正后偏应力值始终大于修正前，IE法修正则相反。

不同倾角下拱肩偏应力值如图13(c)—(d)所示。易知，BOA法修正结果明显大于修正前，且其变化趋势与修正前一致，左拱肩为先增大后减小，右拱肩为先增大后减小再有所增大；而IE法修正结果基本较修正前更小，说明其修正效果不佳。图13(e)—(f)为不同倾角条件下拱脚偏应力值变化，与拱肩模拟结果类似，可以看出BOA法对拱脚应力差提升幅度更大，IE法则效果不佳。

通过以上分析可知，IE法修正所得围岩偏应力最小，修正前次之，BOA法修正最大，说明在BOA修正情况下围岩发生后续破坏可能性最大。此外，在不同倾角条件下，BOA法所得偏应力随倾角变化趋势与修正前也大致相同，进一步说明了BOA的合理性。因此，使用BOA法能对围岩安全性进行更好的评估。

岩层倾角30°时，不同等效方法所得最小主应力分布如图14所示。可以看到，最小主应力呈括弧状围绕于隧道临空面外侧，且为左上、右下分布。观察其最小主应力大小发现，IE法和BOA法修正最小主应力分别为25.1 MPa和30.01 MPa，其绝对值均小于修正前的30.28 MPa，但IE法的分布区域面积更大。

(a) 修正前

(b) IE法修正

(c) BOA法修正

2.3.3 围岩塑性区

不同岩层倾角和不同等效方法条件下围岩塑性区分布见表4。由表可知，同一倾角条件下，修正前后围岩塑性区分布基本一致，但修正后塑性区面积更大。且修正后的塑性区随倾角变化趋势与修正前一致，均沿节理面法向方向发展，随节理面法向顺时针偏转，进一步证明了2种修正方法对层状岩体的适用性。以30°倾角为例，不难看出IE修正后围岩塑性区深度大于修正前，所得塑性区深度最大，主要出现在拱底位置。右拱肩塑性区深度为4.78 m，大于左拱肩的1.64 m，与共和隧道偏压受力特征结果一致。

3 结论与建议

基于层状岩体的H-B准则，充分考虑岩体完整性、岩层倾角、中主应力及Lode角效应，利用瞬时等效和最佳一次逼近将H-B准则分别与M-C准则进行等效，推导得出相应等效强度公式，并应用于FLAC3D遍布节理模型中，对共和隧道K41+567段进行围岩稳定性分析，最终得到如下结论。

表4 不同倾角和等效方法条件下围岩塑性区

1)对岩体参数进行修正后，围岩位移量较修正前更大，更接近真实值，说明2种修正方法对岩体的修正都是合理的。且IE法修正后位移量最大，波动也最大，表现出较好的修正效果。而当岩层倾角超过75°时，2种修正方法的修正效果在拱顶和拱底处均有所下降。

2)对比修正前、IE法修正和BOA法修正三者计算所得围岩偏应力值发现，IE法修正后，围岩关键点处偏应力值基本小于修正前，且变化趋势与修正前有所出入；而BOA法修正后偏应力值始终大于修正前，其变化趋势与修正前保持一致，展现出良好的修正效果。

3)在围岩塑性区方面，2种修正方法与修正前塑性区形状均保持一致，都沿节理面法向发展，且随着岩层倾角增大发生顺时针偏转。修正后塑性区面积及深度基本大于修正前，能够更加有效地为后期支护提供参考。

通过对不同倾角和不同等效方法条件下，隧道围岩关键点位移量、应力差和塑性区的综合分析，发现IE法和BOA法均可对岩体强度参数修正，但结合计算所得围岩位移量及偏应力值可知，BOA修正法不但能保证计算的准确性，同时其所得结果较IE修正更加合理，能够为工程设计和施工提供较好的指导。

分析以上研究可知，在对围岩进行数值模拟时，可采用对模拟参数进行修正的方法进一步提高模拟结果的准确性。此次研究主要是利用H-B准则，分别采用2种方法对遍布节理强度参数进行修正。观察其推导结果可知，IE法和BOA法所得等效内摩擦角公式形式相当，下一步可对不同参数下的等效内摩擦角表达式进行分析，得到最优等效公式。此外，本研究尚未考虑开挖及支护方式对围岩稳定性的影响，在数值模拟过程中可根据不同观察背景选用不同开挖及支护方式进一步提高模拟的准确性。