高中数学解题中函数与方程思想的实例分析

石超仙

摘要：对于数学学科来说，数学思维和数学方法是数学科目学习的核心，是数学知识的基础之一。在高中数学解题过程中，函数与方程思想是数学题目解题过程中的必要条件，其在高中数学的解题过程中应用广泛。从高中数学的解题思维上来看，学生拥有函数与方程思想后，可以更加顺利地进行题目解析与分析，对于数学的认知会更加清晰，归纳总结出多种题型的规律。函数与方程作为高中数学的重要组成部分，它的思维方式和公式运用于高中数学的各个部分，因此，函数与方程思维对于高中生日后数学的学习起到重要作用，是整个贯穿整个高中数学的线索，要想学好高中数学，函数与方程思想是必不可少的。

关键词：高中数学;函数思想;方程思想

数学思想的运用不仅仅局限于数学学科的学习，它一经学习掌握，便可以渗透到我们生活的方方面面。数学思想是数学的内核，它对数学学科乃至整个教育行业都有指导作用。数学思维代表了理性、逻辑、严谨、整体，对于一个国家和一个民族来说，要想触及到科学的巅峰就不能没有数学思维。函数与方程思维是高中数学思维中的重要组成部分，它可以培养学生的学习能力，使学生养成严谨的逻辑思维和理性思维，它不仅对于高中数学中的数列、不等式、解析几何等知识的学习有着重要意义，还对学生日后的思维能力与高数的学习有着重要影响。

一、函数与方程思维的重要意义

函数与方程思想对于高中数学知识来说是一条重要的纽带，它将零散的、难以结合起来的数学小知识点紧密连接在一起，同时为高中数学的大部分问题提供了解题思路。学生可以通过数学的学习养成严谨的思维能力和空间想象能力，使学生养成严谨、慎重的思维习惯，使学生在日常生活中讲逻辑、讲科学，理性对待一切问题，用缜密的思维去分析、解决问题。有利于学生将所学与实际联系起来，就算日后学生所学的数学知识与解题方法都忘记了，仍然可以保留函数与方程思维的影响，帮助学生形成一套分析、总结、归纳并且解决问题的方法。

函数与方程知识也是高中数学中应用最多、最重要的知识之一，在高中数学的解题过程中应用广泛，因此学生必须要在函数与方程的学习过程中熟练掌握相关知识，打好基础。

二、函数与方程思维之间的联系

方程思想是指学生分析问题中的变量产生的数量关系的变化，构建出与之相对应的方程或方程组，通过解开方程或方程组，合理运用方程的特性，从而解决问题的思想方法。

函数思想则是需要学生本着运动变化的观点和方法，分析与研究题目中的数量关系，构建出相对应的函数模型，通过观察函数的趋势和自变量与因变量之间的关系来解决问题的思想方法。

整体上看，两种思维是要求学生以动态的、灵活的、整体的观点出发，来解决问题，多从联系的角度出发，从已知推导未知，寻找到其中的因果关系，从而解决问题。

三、函数与方程思想在高中数学解题中的运用

（一）用函数与方程思想解决数列问题

数列与函数之间存在着密不可分的特殊联系，这使得函数在解决数列问题中可以发挥重要作用。数列本身就拥有函数意义，这使得运用函数解决数列十分轻松。函数方程思想作为一种运算策略，将问题中的各个变量联系在一起，函数与方程思维要求学生将这些联系看成一个整体，建立整体内部的函数关系式。

如题等差（或等比）数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差（或等比）数列的五个基本元素a1、d（或q）、n、an、Sn.“知三求二”是等差（或等比）数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.

（二）用函数与方程思想解决不等式问题

函数与方程思想对于不等式问题的解题思路十分重要。不等式作为考试中的热点题目，经常出现在学生的试卷上。这一类题目经常含有多个变量与参数，应当从整体分析，提取函数关系式，简化问题。

如题：2015年福建高考，理科卷

（三）用函数与方程思想解决三角函数问题

三角函数也是高中数学的必考知识点，将函數与方程思维代入三角函数的解题思路中可以将原本复杂的三角函数问题转换成为简单的代数问题。

研究含参数的三角函数方程的问题，通常有两种思路：

1、分离参数构建函数，将方程有解问题转化为求函数的值域问题。

2、换元，将复杂的方程问题转化为熟悉的方程问题，进而利用方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决。

其中所有正确结论的编号是

结束语：

函数与方程思维在数学思维中占有重要地位，函数可以依据量之间的关系构建出相应的模型，从而探索出题目中的隐藏条件，构建数学公式。而函数与方程不仅仅可以将变量之间联系起来，还可以帮助学生将复杂的问题简单化，推动学生对于数学问题进行进一步的思考，从而使学生养成良好的数学思维，这与学生日后的学习和生活息息相关。因此，学生要在高中数学解题过程中锻炼自己的数学思维，使数学思维成为学生思维的一部分。

参考文献：

[1]黄雄伟. 关于高中数学解题中函数与方程思想的实例探究[J]. 名师在线，2019（15）：75-76.

[2]鲍科臻. 函数与方程思想在高中数学解题中的实践[J]. 数学学习与研究，2019（21）：148-149.

[3]段蕾. 函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J]. 中学生数理化（自主招生），2020（04）：9.