希尔伯特变换理论及其应用

杨帆 李新霞

摘要：希尔伯特变换广泛应用于在数学与信号处理领域，通过希尔伯特变换，能够从复杂的信号中提取到瞬时参数——瞬时振幅、瞬时频率和瞬时相位，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时信号的提取。通过在MATLAB平台上实现简单的希尔伯特变换，观察对比原信号与变换后的信号之间关系，结合数学推导，能对希尔伯特变换有清楚认识。

在通信理论中最早引入了复数道分析方法，利用它可以比较方便地从地震记录中分离出波的瞬时振幅、瞬时频率、瞬时相位等参数。本文在熟悉希尔伯特变换基础上，基于MATLAB平台，绘制三瞬曲线图，有利于掌握该变换及基本理论。

关键词：希尔伯特变换 信号提取 复数道分析 三瞬曲线

Abstract： The Hilbert transform is widely used in the field of mathematics and signal processing. The Hilbert transform enables the extraction of instantaneous parameters - instantaneous amplitude， instantaneous frequency and instantaneous phase - from complex signals， making it possible to define and calculate the instantaneous parameters of short signals and complex signals， enabling the real sense of instantaneous signal extraction. By implementing a simple Hilbert transform on MATLAB platform， observing and comparing the relationship between the original signal and the transformed signal， combined with mathematical derivation， we can have a clear understanding of Hilbert transform.

The complex channel analysis method was first introduced in the communication theory， using which the instantaneous amplitude， instantaneous frequency， instantaneous phase and other parameters of the wave can be separated from the seismic record relatively easily. In this paper， based on the familiarity with Hilbert transform， we plot the three-instantaneous curve based on MATLAB platform， which is beneficial to master the transform and the basic theory.

Keywords： Hilbert transform， signal extraction， complex channel analysis， three-transient curve

1 希爾伯特变换的数学原理

把某一实函数， 的希尔伯特变换定义[1]为

2 在MATLAB平台上希尔伯特变换的实现

为了掌握希氏变换，我们利用MATLAB平台，借助环境自带的变换函数，实现了基本的希尔伯特变换[7]。给定一个正弦信号y=sin（2πx+π/6），下面绘制出其经过Hilbert变换后的信号曲线。

3 实验测试结果与分析

实验中，我们绘制了原始sin函数信号，通过简单的Hilbert变换后，得到了变换后的图像，很明显可以看出，经过Hilbert变换后图像翻转，其函数的相位变化了π/2，实验图像十分符合预期分析，具体情况如图1所示。最后我们将两个图像横坐标对齐，比较在同一个相位下，y值的情况，为了直观地看到sin图像变成了cos函数图像。

4 复数道分析及三瞬曲线图

4.1复数道分析原理和数学基础

由傅里叶分析得知，任何一种振动都可以把它视为无数个频率不同的简谐振动的叠加结果[9]。质内传播时，由于实际介质的影响，它的振幅、频率和相位都将发生变化。过来说根据这些参数的变化也就可能了解实际介质性质的变化。因此，引入复道分析法在一个振动中提取参数[10]。

在坐标系中设横轴 f（t）为实轴，代表复数道实部，纵轴为虚轴，p（t）代表复数道虚部， u（t）为复数地震道。今矢量 u（t）与实轴夹角为θ，则复数道的实部和虚部p（t）可以分别表示为

4.2 三瞬曲线物理意义及图像

原始地震剖面包含丰富的地质信息。通过不同的数字变换手段将原始地震剖面中的多种可利用的信息赋予明确概念，并且单独地提取出来[12，13]。地震信息剖面，揭示出原始地震剖面中不易被发现的地质异常现象、油气存在情况，它们的具体的物理意义如下。

4.2.1 瞬时振幅

瞬时振幅也称瞬时包络或反射强度，它相当于地震道的包络函数。实际上，它是在某一给定时刻对地震道能量作粗略平滑的一个度量[14]。实验测试了复杂函数x=（1+0.5* cos （2* pi *5*t））.* cos （2* pi *50*t+A* sin （2* pi *10*t）），绘制了三瞬曲线图，具体情况如图3所示。

4.2.2 瞬时频率

瞬时频率则是根据地震道中心频率所作的逐点抽样所得，它实际上相当于瞬时相位的时间导数[15]。实验上测试结果如图4所示。

4.2.3 瞬时相位

瞬时相位是某一瞬间的相位，即所反映的是在某一时刻地震道与其虚地震道的夹角，它是同一时刻子波真实相位的度量。

基于以上分析，前面实验都是简单的三角函数信号模型，我们进一步进行测试，给定任意函数包络，以指数函数为例，并利用Hilbert求解包络以及瞬时频率，并给出对应的Hilbert谱。具体情况如图8所示。

5 结论

本文从希尔伯特变换的数学过程推导和图像分析解释，并简单介绍了当前希尔伯特变换广泛应用的场景，从理论上说明了其受广泛应用的原因，鉴于其自身强大的对信号提取能力，希尔伯特变换将会在更多的领域结合前沿的理论技术，发挥出更大的潜力。为了掌握基本的希尔伯特变换原理，本文在MATLAB环境中进行了希氏变换，分析了实验结果。最后又着重介绍了基于复数道分析法的地震波信号过程，结合三瞬曲线的物理意义，绘制出了三瞬曲线图，增加了理论和实验的认识。

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基金项目：国家自然科学基金项目（11775108）

第一作者：杨帆（1996-），男，汉族，江苏人，硕士研究生，主要从事核科学技术研究。

* 通讯作者：李新霞（1978-），男，汉族，博士生导师，教授。研究方向：核聚变