巧用曲线的参数方程解答解析几何问题

李红红

解析几何问题的运算量一般都比较大，为了简化运算，我们需另辟蹊径.而在解题时，灵活运用曲线的参数方程，能将解析几何问题转化为三角函数问题，利用三角函数的性质、图象、公式即可解题.这样能有效地简化运算，提升解答解析几何问题的效率.

运用曲线的参数方程解答解析几何问题，一般有以下几个步骤：

1.根据已知条件设出曲线的参数方程，确定参数的取值范围;

2.根据参数方程，用参数表示出曲线上的点;

3.将点的坐标代入题设中，建立关系式，并用参数表示所求目标.必要时可灵活运用点到直线的距离公式、两点间的距离公式等来建立关系式;

4.合理进行三角恒等变换，化简目标式;

5.利用三角函数的性质和图象求得问题的答案.

下面举例说明.

例1.已知直线l的倾斜角为α，且过点P（0，-2），曲线C的方程为（x-2）2+y2=4.设直线l与曲线C交于不同的两点M，N，求的最大值.

解：由已知得直线l的参数方程为    （t为参数）

由于M和N是直线l上两点，所以可设M（t1cosα，-2+t1sinα），N（t2cosα，-2+t2sinα），

则，

由图可知t1>0，t2>0，则，

将参数方程与曲线C的方程联立，可得t2-4（cosα+sinα）t+4=0，

而t1，t2是該一元二次方程的两根，

根据根与系数关系可得，

由于直线与圆相交，所以，

所以当时，取最大值1，即t1+t2的最大值为    .

一般地，倾斜角为α且过点P（x0，y0）的直线l的参数方程是    （t为参数）将直线的参数方程代入圆的方程，可得关于t的一元二次方程，然后根据方程中根与系数关系建立关系式，求得的表达式，再利用正弦函数的有界性就能求得的最大值.

例2.已知直线l的方程为，曲线C的方程为    .设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值.

解析：椭圆的参数方程是    （α为参数）其中α∈R.可根据该参数方程设出椭圆上任一点的坐标（acosα，bsinα），再根据点到直线的距离公式来建立关系式，利用三角函数的有界性便可求得最值.

解：由于点P是曲线C上的一个动点，所以可设，

则P到直线l的距离    .

因为α∈R，所以-1≤sin（α+φ）≤1，

当sin（α+φ）=1时，点P到直线l的距离取最大值    .

将曲线上动点的坐标用关于参数α的三角函数式表示出来，可将求P到直线l的距离的最大值转化为求一个三角函数式最值问题，这样易于求解.

由此可见，巧用曲线的参数方程来解答解析几何问题，能有效地简化运算，优化解题的方案.尤其是在解答与曲线上动点有关的最值问题时，根据曲线的参数方程设出动点的坐标，将其代入题设中进行求解，能将问题转化三角函数问题，达到化难为易、化繁为简的效果.

（作者单位：陕西省神木市第七中学）