例析解三角函数最值题的办法

徐君华

三角函数最值问题是一类综合性较强的问题，不仅考查了三角函数基本公式的应用、三角恒等变换的技巧、图象变换，还考查了求最值的方法.该类问题是让很多同学“头疼”的问题，常常令不少同学束手无策.对此，笔者归纳了三种解答三角函数最值问题的方法，以期对同学们有所帮助.

一、运用公式法

三角函数中的公式较多，如二倍角公式、诱导公式、两角和差公式、和差化积公式、积化和差公式、降幂公式、辅助角公式等.在解答三角函数最值问题时，同学们要熟练运用三角函数中的基本公式，将三角函数式化简，然后利用三角函数的有界性求得函数的最值.

例1.试求函数的最值.

解：    .

当时，函数有最大值，最大值为;

当时，函数有最小值，最小值为    .

仔细观察题目，我们不难发现该函数式可以利用三角函数“积化和差”公式来化简，再结合正、余弦函数的有界性，即可快速解题.

二、采用配方法

配方法是解答数学问题不可或缺的方法之一.对于某些形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c类型的三角函数最值问题，可利用配方法求解，首先将三角函数的函数名称统一，然后通过配方将问题转化为有关sinx或cosx的二次函数最值问题.

例2.已知的最大值为1，试确定a的值.

解：    .

令cosx=t，因為-1≤cosx≤1，所以-1≤t≤1，

则    .

当，即a≥2时，t=1，g（t）有最大值，即，解得a=5;

当，即a≤-2时，t=-1，g（t）有最大值，即，解得    （不符合条件，舍去）;

当，即-2≤a≤2时，，g（t）有最大值，即，解得或   ; （不符合条件，舍去），综上所述，a=5或    .

运用配方法将三角函数最值问题转化为二次函数最值问题，是解答本题的关键.在解题的过程中，切不可忽略或这一隐含条件.此外，还应注意对二次函数轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论，避免出现漏解.

三、利用几何法

几何法是指通过构造几何模型求得最值的方法.一般地，对于形如的三角函数最值问题，若直接利用代数法不易求解，同学们不妨转变思路，挖掘其几何意义，构造几何模型，将其视为过定点（b，a）与单位圆上动点（cosx，sinx）连线的斜率，求得直线斜率的最值，问题便迎刃而解.

例3.求函数的最大值和最小值.

解：，

将其看作定点A（-3，-2）与单位圆上动点P（cosx，sinx）连线的斜率，过点A（-3，-2）作单位圆的切线，由图1可知，当直线AP与单位圆相切时，直线的斜率有最值.

因为单位圆x2+y2=1中斜率为k的切线方程为，且该切线过点A（-3，-2），所以，解得，所以，    .

运用几何法求解三角函数最值问题的关键是先把函数式变形，再利用其几何意义，将三角函数问题转化为几何图形中的位置关系问题来求解.

总之，这三种方都是求三角函数最值问题的重要方法.其中公式法是基础方法，也是应用范围最广的方法.配方法和几何法的适用范围较窄，但是同学们若能运用得当，便能有效提升解题的效率.

（作者单位：江苏省滨海中学）