怎样解答圆锥曲线定点问题

王慧娴

同学们对圆锥曲线中的定点问题并不陌生，此类问题一般较为复杂，侧重于考查同学们的逻辑思维能力和运算能力.解答此类问题一般有两种思路：先设后求和设而不求.下面我们结合一道题目来进行探讨.

例题：已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，点G是椭圆的上顶点，点P为直线x=6上的动点，PA与椭圆的另一交点为C，PB与椭圆的另一交点为D，证明：直线CD过定点.

我们可先根據题意绘制出图形，以便明确各点、线之间的位置关系，这样也方便寻找解题的思路.要证明直线CD过定点，需先结合题意求出直线CD的方程，然后根据一次等式的性质来求得定点的坐标.

一、先设后求

先设后求是指先设出直线的方程或点的坐标，然后根据题意进行求解.该思路较为直接，是大部分同学惯用的解题思路.对于本题，我们可先设出P点的坐标，以便根据直线的两点式求得直线AP、BP的方程，再将直线方程和圆锥曲线方程联立，求得点C、D的坐标和直线CD的方程，便能快速确定定点的坐标.

解：由题意可得A（-3，0），B（3，0），设点P（6，t），

则直线AP的方程为，

联立线AP的方程和椭圆的方程可得

解方程可得x=-3或，

则点，

同理可得点，

则直线CD的方程为，故直线CD过定点    .

二、设而不求

设而不求是指设出相关的点、直线的方程，而不求出它的具体值，并将其当作已知的值代入题设中进行求解.在求解圆锥曲线的定点问题时，我们可将问题中动点的坐标设出来，将其视为定点来进行求解.对于本题，我们可设C（x1，y1），D（x2，y2），然后联立直线和椭圆的方程，通消参得到一元二次方程，进而得到关于x1、y1、x2、y2的表达式，对过定点的直线的解析式进行化简、整理，即可得到定点的坐标.

解：由题意可得A（-3，0），B（3，0），

设点P（6，n），当n=0时，CD=BA，

当n≠0时，设C（x1，y1），D（x2，y2），

∵直线，直线，

联立线AP的方程和椭圆的方程可得

化简整理可得（n2+9）y2-6ny=0，

∴，，

∴点，

同理可得，

当，n2=3时，，

当，n2≠3时，直线CD斜率为，

∴直线CD的方程为，

∴直线CD过定点    .

通过上述分析，同学们可以发现，运用先设后求、设而不求两种不同的思路求解圆锥曲线定点问题，可以得到不同的解题方案.虽然运用这两种思路解题的运算量都比较大，但是不同的解题思路有其不同的优势.相比较而言，第一种思路较为直接，第二种思路较为灵活.同学们要善于发现不同的解题思路，以便优化解题的方案.

（作者单位：江苏省启东市东南中学）