基于未知源域重构的无相位近场测量技术

朱凌昆 陈茹萌 谢志祥 何思远 张云华

（武汉大学电子信息学院，武汉 430000）

引 言

随着天线频率的升高，探头天线位置的误差、测量系统的温度变化、探头天线和被测天线(antenna under test, AUT)之间的耦合效应以及各种人为活动等因素，导致人们想要在近场区获取高精度的相位信息变得十分困难，即使可以获取比较可信的相位信息，也将付出极高的代价.

因此，一大批专家学者开始探索一种可嫁接在现有条件下的技术——无相位近场测量技术[1-8]，即在忽略相位信号的前提下，借用局部或全局优化算法利用电磁场的等效定理[9]重建远场辐射特性.在当前技术条件下，有两种比较常用的方法：第一种是基于模式展开理论的相位恢复技术[10-15]，其利用局部优化算法，先还原出测量面上的相位分布，然后再经过近远场(near-field to far-field，NF-FF)变换获得远场.优点是收敛速度快，算法简单，但需要获取精细的初始相位，同时测量面之间的距离也影响着局部优化算法的收敛性[11].

为了克服相位恢复技术中的缺点，尤其是降低优化算法在寻优时对初始相位的依赖性，专家学者们提出了第二种方法——源重建法，也称作重构未知源域法.其基本思想是利用电场的一组或多组幅度信息，通过全局优化算法的适应度函数重构“猜测”出包围AUT某一平面或曲面上的电磁流[13-16]或电场[17]分布，然后，利用源重构理论(source reconstruction method，SRM)或者经典的模式展开理论计算远场.所不同，本文的目的是利用#1上的幅度数据重构出包 围AUT球面上的切向电场分布Vθ(R0,θ′,φ′)和该切向电场分布最初为四组随机数据，在经过GA[19]的数次迭代优化后将逐渐接近准确值(仿真结果).本文利用SWE建立起幅度数据和待优化目标电场Vθ(R0,θ′,φ′)和Vφ(R0,θ′,φ′)之间的两种非线性关系，与SRM相比，本文的方法所消耗的计算时

本文结合上述两种方法的优点，在忽略相位信号前提下采用重构未知源域法，不但通过近场测量技术计算远场特性，同时利用遗传算法(genetic algorithm，GA)进行迭代优化，能够将数值逼近准确值，具有创新性.本文采用球面波展开(spherical wave expansion，SWE)理论进行未知源域重构，无相位近场测量采样如图1所示.为了消除平面和柱面近场测量中存在的截断误差，本文将两个圆平面#1-1、#1-3和圆柱面#1-2构成封闭面#1.与文献[18]的方法有间更少，待优化参数也更少.数值计算结果表明，只要给予GA足够的附加信息，本文方法完全可以利用一个闭合曲面上的幅度数据重构出十分准确的远场辐射特性.

图1 无相位近场测量采样示意图Fig.1 The sampling diagram for near-field measurement using amplitude-only data

1 近场未知源域重构理论

1.1 理论基础

包围AUT某一球面上的切向电场分布Vθ(R0,θ′,φ′)和， 则自由空间中其他任意一点 (r,θ,φ)的电场E(r,θ,φ)将被唯一确定.

如图2所示为利用SWE进行场计算示意图，根据惠更斯-菲涅尔定理的基本思想可知，若能够获得

图2 利用SWE进行场计算示意图Fig.2 The field calculation using spherical wave expansion (SWE)

1.2 基于SWE理论的场计算

球面波本征模式可以通过惠更斯-菲涅尔原理和麦克斯韦方程组推导得到.对比远场本征模式和近场本征模式可以发现两者具有相似的特点，当本征模式特点已知时，便能以近场幅度特征通过NFFF变换求得远场中某一点的电场.假设某球面完全含围AUT且其最小半径为rmin， 那么在r≥rmin的无源空间中，电场强度可以表示为[20]：

式中：

式中：N为天线展开式中最高阶模的阶数，N≥π(krmin+3)≈[krmin+7∼10][7]，其中k=2π/λ为波数，λ 为波长；为第二类球汉克尔函数；为连带勒让德函数；amn、bmn包 含有远场和近场的信息.

当r→+∞时 ，略去与θ 、φ无关的因子，可以得到天线远场区的电场表达式为：

由图3可知，面对如此繁杂的工作，若在执行过程中不作流程优化和计划安排，轻则导致工作效率低下，浪费人力和物力，办刊预期功能难以实现，重则无法按时出刊或无法保证期刊的质量。

1.3 整体实现框图

如图3所示，首先，赋予距离坐标原点R0的球面以随机电场E，该随机电场包括两个正交极化分量：Vθ(R0,θ′,φ′) 和Vφ(R0,θ′,φ′)(θ′∈[ 0°，180°]，φ′∈[0°，360°]).在GA每一次迭代中，都必须利用式(4)～(8)计算加权系数amn和bmn.其次，利用加权系数amn和bmn分别计算测量面#1-1、#1-2和#1-3上的电场E1、E2和E3，以及待优化球面电场本身E0；E1、E2和E3包括两个正交极化分量的电场，E0只包括 θ和φ分量的电场( θ∈[0°，180°]，φ∈[ 0°，360°]).再次，将E1、E3和E0分别与柱面上的幅度和E0进行相减运算得到适应度值(fitenss value, FV).最后，当GA达到最大迭代次数时，优化过程结束.将GA的最后一次迭代最优解，利用式(9)～(10)通过NF-FF变换计算远场.

图3 GA最小化流程图Fig.3 Flowchart of minimizing algorithm by GA

2 全局优化算法

GA在进化搜索中基本不利用外部信息，仅以适应度函数为依据，因此适应度函数是GA的核心，它的选取直接影响到GA的收敛速度以及能否找到最优解.

2.1 待优化决策变量

本文选定距离坐标原点R0处的球面电场作为待优化的目标电场.首先，定义四个变量：

待优化球面φ分量的电场为

2.2 适应度函数设定

本文所提出的适应度函数(也称作目标函数)，一共包括两个子目标函数.首先，定义第一个函数表达式为

式中：M表示测量面#1上的总采样点数之和和表示利用仿真软件FEKO[20]得到的两个柱系正交分量的幅度大小；利用式(1)～(8)计算得到Eiφ和Eiz，分别表示#1-1、#1-2或#1-3上任意点 ( ρ,φ,z)的两个正交极化分量电场.需要说明的是，本文所研究的方法是利用柱系下的幅度重构近场区球面电场分布，所以还须将球坐标系下的电场转换为柱坐标系下的电场，转换公式为：

如图2所示，如果 ∆R=0， 即当r=R0时，利用式(1)～(8)可以计算待优化球面电场本身，其对待优化的参数形成进一步限制，于是第二个函数的表达式为

式中：E0,θ和E0,φ表 示# 0上 在球面坐标系下任意点的电场，利用和V(R,θ′,φ′)计算得φ0

需要特别说明的是，适应度f的数值越小，Vθ(R0,θ′,φ′)和Vφ(R0,θ′,φ′)将越接近于仿真结果.

3 仿真与数值计算结果

3.1 微带天线

图4 微带天线仿真模型Fig.4 The simulation model of the patch antenna

在本GA算例中，参数设置为：种群数量PS=24，交叉概率Pc=0.95，变异概率Pm=0.001，最大迭代次数为192 000.为证实本文方法的有效性，引入两个均方根误差(root-mean-square-error，RMSE)：

和

式中：和分别为利用V(R,θ′,φ′)和V(R,θ′,φ′)通θ0φ0到.最后，将函数f1、f2相加，可以得到本文所设定的适应度函数，即过算式(9)～(10)计算得到的远场 θ 和φ分量场强大小；和为利用FEKO测量得到的 θ 和φ分量幅度大小为远场总采样点数之和.在GA的每一次迭代中，均利用最优解分别计算FV和.测如表1所示，在其上均匀采样获取Eφ和Ez两个正交分量面#1-1、#1-2、#1-3在各方向的步长及其范围设置量的幅度数据.

表1 柱坐标系下微带天线的近场电场幅度采样Tab.1 Near field amplitude sampling of microstrip antenna in cylindrical coordinates V/m

图5给出了FV和远场RMSE随迭代次数的变化.可以看出：经过多次迭代优化后，远场两个分量的RMSE值均保持在5%以内，说明利用两个极化分量的幅度信息可以得到比较准确的远场辐射特性，从而证实了本文方法的有效性.图6绘制了近场区域内的半径R0=1.5λ的球面切向电场分布，重构结果与仿真图像吻合良好，说明在封闭面#1上采集的幅度信息足以重建准确的远场.从图7微带天线远场方向图也可以看出，重构的远场方向图与FEKO仿真结果整体吻合，只是在旁瓣上略微存在差异.

图5 微带天线FV和远场RMSE随迭代次数的变化Fig.5 The FV and RMSE in far-field with the number of iterations of the patch antenna

图6 微带天线球面切向电场幅度分布Fig.6 Amplitude of the tangential electric field of the patch antenna

图7 微带天线远场方向图Fig.7 The far-field pattern in two principals cuts for patch antenna

3.2 阵列天线

为充分验证本文算法的有效性，设计了较为复杂的阵列天线，其阵元分布如图8所示.馈电同轴线电压1 V，特性阻抗50 Ω，振子长度均为λ/2，中间阵元坐标为(0,0)，其余阵元坐标分别为(−λ/4，λ/4)、(−λ/4，−λ/4)、(λ/4，−λ/4)、(λ/4, λ/4)，工作频率f=9.375 GHz，λ= 32 mm.目标电场位于半径2.5λ的球面上，θ方向的步进为9°，φ方向的步进为4°，共需优化的参数为21×91×4个.

图8 阵列天线仿真模型Fig.8 Simulation model of array antenna

在天线外围选取一柱面测量面#1，包含3个测量单元#1-1、#1-2、#1-3，测量模型如图9所示.测量面的采样范围及其步长如表2所示.

图9 无相位阵列天线近场测量模型Fig.9 Near field measurement model of phaseless array antenna

表2 柱坐标系下阵列天线近场电场幅值采样Tab.2 Electric field amplitude sampling in the near field of array antenna in cylindrical coordinate system V/m

从图10可以看出，算法大概从4万次迭代时开始收敛，于6万次基本趋于稳定.从图11～12可以看出，无论近场还是远场，利用幅度信息重构的结果和仿真图像整体吻合.

图10 阵列天线FV和远场RMSE随迭代次数的变化Fig.10 The FV and RMSE in far-field of the array antenna with the number of iterations

图11 阵列天线球面切向电场幅度分布Fig.11 Amplitude distribution of spherical tangential electric field of the array antenna

图12 阵列天线φ=48°和θ=138°平面远场方向图Fig.12 Far field pattern of array antenna in the plane of θ=138° and φ=48°

4 结 论

本文提出了利用SWE进行未知源域重构的方法.该方法可以在忽略相位信号的前提下，只利用近场区两个正交分量的幅度信息，通过SWE和全局优化算法获取准确的远场辐射特性.数值计算和仿真结果吻合良好，证实了本文方法的有效性.本文将平面和柱面近场测量在数据采样时的易操作性以及SWE理论上的完备性有机结合起来，降低了测量成本，避免了截断误差，在理论上适用于所有类型的天线.

本文的实验结果是阶段性的，可以进一步延伸至半空间中，例如，无限大PEC导电平面上方；本文所用测试数据通过仿真软件FEKO计算获得，涉及具体的工程应用遇问题则需要进一步研究.