一类新型仿生起竖结构设计及其动力学分析1)

2021-11-09钱佳伟孙秀婷方虹斌

力学学报 2021年7期

关键词：蠕虫平衡点势能

钱佳伟孙秀婷,2) 徐鉴方虹斌,††

* (同济大学航空航天与力学学院,上海 200092)

† (复旦大学智能机器人研究院,上海 200433)

** (复旦大学智能机器人工程技术研究中心,上海 200433)

†† (复旦大学智能机器人教育部工程研究中心,上海 200433)

引言

随着科学技术的不断发展,机器人的应用范围越来越广泛,应用场景也越来越多样化.为了进行灾后搜救、管道清理、未知区域探索等任务,机器人需要能在有限的工作空间和不规则的地形下移动并完成任务.于是,许多学者以蚯蚓等蠕虫为仿生对象,设计了一系列仿蠕虫机器人[1-8].受到蚯蚓的运动来源于体节的轴向变形的启发,在此类仿蠕虫机器人的设计中,仿蠕虫机器人通过不同的驱动方式驱动环向和纵向弹性元件使体节单元发生轴向伸缩变形,从而实现仿蠕虫机器人的运动[1].Fang 等[2]使用折纸球结构作为仿蠕虫机器人的体节单元,通过电机驱动绳索控制体节单元的伸缩变形,在管道中实现了仿蠕虫机器人的后退蠕动波运动;Luo 等[3]提出了一种剪刀结构单元的仿蠕虫机器人,该剪刀结构单元可以通过伺服电机控制体节单元的伸缩变形模拟蠕虫环肌与纵肌的变形,从而实现移动的功能;Pfeil 等[4]提出了一种介电弹性体驱动的软体仿蠕虫机器人,其体节单元由内部的保持结构和外部的介电弹性体构成,通过切换介电弹性体一端电极的电压使体节单元发生伸缩变形.由于弹簧的拉压变形与蠕虫体节单元的伸缩变形相似,也有一些学者将蠕虫机器人描述为多单元的振动驱动系统[5],并针对振动驱动系统的驱动方式[6]、外部摩擦[7]和运动形式[8-9]进行了分析.然而,这些仿蠕虫机器人仅通过轴向伸缩变形实现了移动的功能,并不具备起竖的功能,因此在管道勘测、地形侦察、精密加工等应用中无法完成特定操作.为了使仿蠕虫机器人具有执行特定操作的能力,希望设计一种仿生起竖结构,使仿蠕虫机器人具有尺蠖、蛇等生物的起竖功能.

与蚯蚓等蠕虫通过体节的伸缩变形来进行移动不同,起竖这种运动形式需要通过弯曲变形来实现.根据不同应用场景的需求,结合材料、结构设计、驱动和控制方法,学者们提出了许多能够产生弯曲变形的仿生结构.为了代替人类在太空执行任务,学者们针对柔性机械臂提出了相应的控制方法使其产生需求的弯曲变形[10-12],从而执行航天器维修、在线装配等任务;以章鱼手臂为灵感可以实现对不同形状物体的稳定抓取[13-15];为了帮助中风患者恢复抓取的功能,学者们设计了协助手指产生弯曲变形的上肢外骨骼[16-18];Zareei 等[19]以实现快速展开机构为目的,将弹簧的两端分别连接在不同杆的中心位置,通过在关节处施加几何的位置限制,得到了一种具有双稳态性质的弯曲关节,并基于这种弯曲关节提出了一种在初始激励下能发生弯曲变形的串联结构[19].然而,该研究在对串联结构进行分析时,假定了弯曲变形发生在水平平面内,没有考虑在重力作用下竖直平面内的弯曲变形,也没有对该结构不同构型的触发条件进行分析.此外,大部分以弯曲变形为目标的结构只能产生C 形的构型,无法实现更加复杂的构型.

在自然界中,可观察到蛇、尺蠖等具有起竖能力的生物能根据不同的情况触发不同的稳定构型,当其在移动或者休息时,身体紧贴地面,处于直线稳定构型,当其在侦察、攻击、防御、捕食时,身体处于特定的起竖稳定构型.仿起竖功能的结构设计能够进一步拓展仿蠕虫机器人在不同场景中的应用及其功能.具有多稳态特征的非线性柔性结构能够实现起竖功能的仿生设计.学者们利用不同的方法,设计了不同类型的多稳态结构以实现需求的仿生物变形功能[20-21].捕蝇草具有张开状态和闭合状态两种不同的稳定状态,当昆虫等生物触及其表面时,捕蝇草便会快速地从张开状态切换至闭合状态以捕获猎物[22-23].学者们受其启发,设计了一系列仿捕蝇草多稳态结构,并利用电磁驱动[24-25]、形状记忆合金[26]、气动[27]等驱动方法完成状态的切换;Li 等[28]基于捕蝇草细胞组织的分布式加压和内嵌式多稳态这两个特点,提出了一种仿捕蝇草的射流折纸结构,该结构能够通过调控压强实现结构在单稳态、双稳态和多稳态之间的切换.Lachenal 等[29]利用两个预应力法兰构造了一种多稳态复合扭转结构,该结构能在外界力矩下从直线构型转换为扭转构型;Zirbel 等[30]提出了一种有限厚度的折纸结构模型,可以应用于可展开太阳能电池板.基于尺蠖、蛇等生物具有的多稳态特征,我们希望设计一种具有非线性多稳态性质的仿生柔性关节以实现一种起竖功能的机器人.

本文设计了一种仿生柔性关节,在此基础上构建了多节仿生起竖结构以实现仿蠕虫机器人的起竖功能.研究给出了仿生起竖结构在直线构型和需求的起竖构型下稳定的结构参数设计准则和使仿生起竖结构能够起竖至需求构型的触发条件准则,并通过不同稳态的吸引盆得到了满足触发条件准则的初始激励形式.本研究提出的仿生起竖结构考虑了竖直平面内的重力作用,因此需要提出整体结构的设计准则.此外,本文中的仿生起竖结构除了要实现C 形的构型以外,还希望能够实现更多样的起竖构型,这种构型的复杂性也对研究工作形成了挑战.最后,采用数值方法求解动力学方程来研究起竖构型的触发条件,对后续协同控制的研究具有指导意义.本文提出的仿生起竖结构能够进一步拓展仿蠕虫机器人的功能,为仿蠕虫机器人在航空航天与精密加工等领域的应用提供了理论依据,也是对仿生设计理论的进一步完善.

1 仿生起竖结构设计准则

1.1 仿生起竖结构势能

由于蚯蚓等蠕虫类生物能够在管道、泥地等不平整、受限的环境中移动,仿蠕虫机器人得到了学者们的关注,越来越多的仿蠕虫机器人被提出,这些仿蠕虫机器人通过不同的方式模仿蚯蚓等蠕虫体节的伸缩变形来实现移动的功能.然而,由于蚯蚓这种生物并不具备起竖的能力,这些仿蠕虫机器人都没有被赋予起竖功能.具有起竖功能的仿蠕虫机器人能够通过起竖进行侦察、操作等任务,因此可以进一步应用于管道勘测、复杂地形侦察、精密加工等实际场景,从而扩展仿蠕虫机器人的应用范围.在自然界中,蛇、尺蠖等生物能够将身体的前部直立起来,通过起竖这种运动形式来进行攻击、防御、侦察、捕食等任务,这为我们赋予仿蠕虫机器人起竖的功能提供了灵感.于是,受到这些生物的启发,本文设计了一种能够实现生物起竖功能的仿生起竖结构,其力学模型如图1(a)所示.

图1 仿生起竖结构模型图:(a) 仿生起竖结构;(b) 仿生柔性关节(变形后);(c) 仿生柔性关节(变形前)Fig.1 (a) Bio-inspired erecting structure;(b) bio-inspired flexible joint (after deformation);(c) bio-inspired flexible joint (before deformation)

本文提出的仿生起竖结构如图1 所示,仿生起竖结构由多个连杆和仿生柔性关节串联组成,其中刚性连杆用来模拟生物的体节和骨骼,而仿生柔性关节中的弹性元件用来模拟体节单元连接处的弹性肌肉及软组织.仿生起竖结构每根连杆的长度为li,质量为mi,转动惯量为Ii,连杆与x轴的夹角为 θi.图1(b)和图1(c)分别是变形后和变形前的仿生柔性关节示意图,仿生柔性关节由刚度为ki、预压角度为 φi的预压扭转弹簧和一对刚度为Ksi的拉伸弹簧构成,并假设拉伸弹簧的原长为0.变形前后仿生柔性关节的几何尺寸与偏转角如图2 所示.

图2 仿生柔性关节的几何尺寸和偏转角Fig.2 Geometric parameters and deformation of the bio-inspired flexible joint

在图2 所示的仿生柔性关节中,O点为仿生柔性关节的转轴,A,B,C,D为两侧拉伸弹簧的安装位置,图2 中黑色虚线部分代表未变形的仿生柔性关节,蓝色实线部分代表变形后的柔性关节.在本文中,将拉伸弹簧的安装位置与转轴连线的长度定义为安装半径,分别记作La1和La2,将一对拉伸弹簧同一端安装位置与转轴连线的夹角定义为安装角度,分别记作βi1,βi2.将两个安装角度的算术平均值定义为平均安装角度,记作.柔性关节变形后,其连接前后连杆部分转过的角度分别为 θi和 θi−1,两根拉伸弹簧的长度分别为L1和L2.从仿生角度而言,柔性关节中的扭转弹簧对应于软组织,拉伸弹簧对应于肌肉.从力学角度而言,柔性关节中的扭转弹簧刚度ki和预压角度 φi决定了正刚度,拉伸弹簧刚度Ksi和平均安装角度决定了非线性刚度,这些结构参数对仿生起竖结构的多稳态特性起关键作用.因此,ki,φi,Ksi,为待设计的结构参数.

由于仿生起竖结构的平衡点位置及稳定性都与结构势能密切相关,为了设计仿生起竖结构的稳定平衡状态位置,需要得到多节仿生起竖结构的总体势能表达式.单个柔性关节的势能由拉伸弹簧和扭转弹簧的弹性势能构成,将第i个柔性关节的势能记作Vqi,其表达式为

其中,第一项为扭转弹簧的弹性势能,由于扭转弹簧存在预压角,其变形为 θi−θi−1−φi.后两项为两侧拉伸弹簧的弹性势能,由于柔性关节两侧的拉伸弹簧的原长为0,其变形即为弹簧的长度L1,L2.在式(1)中,L1,L2,βi1,βi2,La1,La2满足几何关系

将式(2)代入式(1),得到第i个柔性关节的弹性势能表达式为

基于柔性关节的弹性势能表达式(3)可以得到多节仿生起竖结构的势能表达式.由于提出的仿生起竖结构由一系列连杆和柔性关节构成,其总体势能由柔性关节的弹性势能和连杆的重力势能组成,因此多节仿生起竖结构的总势能表达式为

其中,V代表多节仿生起竖结构的总势能,VG代表多节仿生起竖结构的重力势能,.

为了研究结构参数ki,Ksi对仿生起竖结构稳定平衡点个数和位置的影响,对单节起竖的仿生起竖结构的势能曲线进行分析,单节起竖的仿生起竖结构在不同结构参数k1,Ks1下的势能−角位移图如图3所示.

图3 不同结构参数下仿生起竖结构的势能−角位移关系Fig.3 Potential energy for different structural parameters

图3(a)是不同扭转刚度k1下单节仿生起竖结构的势能−角位移图;图3(b)是不同平衡弹簧刚度Ks1下单节仿生起竖结构的势能−角位移图.由图3 可知,仿生起竖结构的平衡点个数、稳定性、位置与结构参数k1,Ks1有关.如图3(a)所示,由于扭转刚度k1决定了关节处的正刚度,因此随着扭转刚度k1的增大,单节起竖的仿生起竖结构的平衡点的个数由3 个逐渐变为1 个,且中间的平衡点逐渐从不稳定的平衡点变为稳定的平衡点.当k1=0.8 N·m/rad 时,单节仿生起竖结构具有3 个平衡点I,II,III,其对应的位置分别为 θ1=−0.91 rad,0.24 rad,1.40 rad.其中,平衡点I,III 为稳定平衡点,平衡点II 为不稳定平衡点.当扭转刚度增加到k1=1 N·m/rad 时,单节仿生起竖结构仍具有3 个平衡点IV,V,VI,平衡点的稳定性与k1=0.8 N·m/rad 时的情况类似,但3 个平衡点的位置变为了 θ1=0 rad,0.24 rad,0.4 rad,说明不同的扭转刚度k1下单节仿生起竖结构具有不同的平衡点位置.当扭转刚度增大到k1=1.2 N·m/rad 时,单节仿生起竖结构只有一个稳定平衡点VII,平衡点的个数由3 个减少为1 个.如图3(b)所示,由于平衡弹簧刚度Ks1决定了关节处的负刚度,因此随着Ks1的增大,单节仿生起竖结构的平衡点的个数逐渐由1 个变为3 个,且中间的平衡点逐渐从稳定的平衡点变为不稳定的平衡点.当Ks1=360 N/m 时,单节仿生起竖结构只有一个稳定平衡点VIII.当平衡弹簧刚度Ks1由360 N/m 增大至392 N/m 时,单节仿生起竖结构的平衡点数量由1 个增加至3 个,记为平衡点IX,X,XI,其位置分别为 θ1=0 rad,0.24 rad,0.49 rad.当Ks1增大至440 N/m 时,单节仿生起竖结构的平衡点个数与Ks1=392 N/m 相同,但平衡点的位置变为了 θ1=−0.48 rad,0 rad,1.15 rad.由于仿生起竖结构的稳定平衡点位置、个数与结构参数密切相关,为了实现直线构型与起竖构型的稳定平衡,需要提出相应的结构参数设计准则.

1.2 仿生起竖结构动力学模型

为了构建仿生起竖结构达到特定需求构型的结构参数设计准则及触发条件,需要建立仿生起竖结构的动力学模型,并求解仿生起竖结构在初始激励下的动力学响应.利用拉格朗日方程建立仿生起竖结构的动力学模型

其中,θi是连杆绝对转角,是连杆的角速度,L为系统的拉格朗日函数,Qi是作用在第i个广义坐标上的广义力,n为连杆的数目.

如图1 所示,仿生起竖结构每一节连杆的长度为li,质量为mi,转动惯量为Ii,连杆与x轴的夹角为θi,质心坐标为 (xi,zi).由几何关系,可以得到

将上两式两端对时间求导,可以得到

因此,仿生起竖结构的动能写为

由式(4)和式(8),可以得到拉格朗日函数的表达式为

系统的广义力Q包含关节处阻尼的阻尼力,假设阻尼所产生的广义力形式为

将式(6)和式(7)代入式(9),可以得到由广义坐标 θ1,θ2,···,θn表示的拉格朗日函数.将由广义坐标表示的拉格朗日函数和广义力代入拉格朗日方程,可以得到仿生起竖结构的动力学方程为

其中,M矩阵为质量阵,C矩阵为科氏阵,D矩阵为阻尼阵,K矩阵为刚度阵,G矩阵为重力项,N矩阵为非线性刚度项,各矩阵的具体形式见附录.

本文通过求解不同初始条件下仿生起竖结构的动力学模型式(11)得到仿生起竖结构的动力学响应,以研究实现仿生起竖结构特定需求构型的结构参数设计准则及不同构型的触发条件.

1.3 仿生起竖结构设计准则

基于仿蠕虫机器人在管道勘测、地形侦察、精密加工等应用中实现特定操作的需求,本文提出的仿生起竖结构需要满足以下要求:

(1)在地面约束下保持直线构型的稳定平衡;

(2)实现需求的起竖构型并保持起竖构型的稳定平衡;

(3)能够通过触发条件来实现起竖构型.

由图3 可知,仿生起竖结构的平衡点及其稳定性与结构参数的选取有关.在本文中,连杆的质量mi,长度li,转动惯量Ii以及柔性关节的安装半径La1,La2为固定的结构参数,柔性关节扭转弹簧的刚度ki,预压角度 φi,平衡弹簧的刚度Ksi,平均安装角度 β¯i为待设计的结构参数.为了实现要求(1)和(2),基于仿生起竖结构总体势能表达式和多元函数极值原理提出仿生起竖结构的结构参数设计准则.首先,要求仿生起竖结构的直线构型在地面的约束下稳定平衡,即每个关节处扭转弹簧产生的力矩应小于重力产生的力矩.于是,结构参数需要满足的条件为rz,即

其次,要求仿生起竖结构能够起竖到需求构型,并在需求起竖构型处保持稳定平衡,即结构总势能在起竖构型处取到极小值.于是,基于多元函数极值原理,结构参数需要满足的条件为rw1和rw2,分别为

综上,为了满足要求(1)和(2),仿生起竖结构设计参数的设计准则为

最后,由于所设计的仿生起竖结构具有多稳态性质,在不同的初始激励下仿生起竖结构最终可能达到的不同的构型.为了满足要求(3),需要得到能够实现仿生起竖结构起竖构型的触发条件.在本文中,对各关节受到的初始位移激励和速度激励做出以下假设:

(1) 各关节受到的初始位移激励和速度激励的比例一定,即

其中,k为起竖构型中绝对转角最大的关节的序号,且k∈N,1≤k≤n,ηi是第i个关节初始激励的比例系数.

(2) 相邻关节受到的初始位移激励和速度激励不相等,即

为了描述不同关节的比例系数,基于以上两个假设定义如下的比例系数单调性变量

由比例系数单调性变量的定义可知,比例系数单调性变量的取值只可能为 ±1.在本文中,定义η0=0,则有Δ1=1恒成立.Δ1=1 表示在第i个关节处驱动上侧的弹簧,Δ1=−1 表示在第i个关节处驱动下侧的弹簧.本文将对起竖构型触发条件的研究简化为对初始激励比例系数单调性的研究,即研究不同关节的比例系数在什么样的单调性下使仿生起竖结构实现起竖构型的概率最大.基于上述的单调性变量,提出各关节初始激励的比例系数单调性变量需要满足的准则为r2,写为

其中,P(θ1→,θ2→,···,θn→) 表示触发起竖构型的概率,该准则表示在所有关节比例系数的单调性情况中选取触发起竖构型概率最大的情况.本文利用仿生起竖结构不同稳态的吸引盆,阐明不同关节比例系数单调性情况下触发起竖构型的概率.对于不同的初始条件 θk(0),(0),利用数值方法求解仿生起竖结构的动力学方程,得到不同初始条件下仿生起竖结构的动力学响应.通过对仿生起竖结构的稳态响应的判断和分类,可以得到不同稳态的吸引盆以及触发不同构型的概率,进而得到仿生起竖结构起竖构型的触发条件.

2 不同需求下仿生起竖结构的实现及其触发条件

根据第1 节提出的仿生起竖结构参数设计准则,针对不同起竖节数的设计需求,设计了相应节数的仿生起竖结构来验证设计准则的有效性,并通过不同稳态的吸引盆研究仿生起竖结构的构型触发条件,为利用主动控制保持仿蠕虫机器人在移动中的需求构型奠定理论基础.

2.1 单节起竖的仿生起竖结构

首先以单节起竖的仿生起竖结构为例,即仿生机器人只有最右端的一节进行起竖,对仿生起竖结构参数设计准则的作用进行展示.取结构参数为m1=0.05 kg,l1=0.1 m,La1=La2=0.05 m,由式(15)可以得到单节起竖的仿生起竖结构设计参数的设计准则为

为了验证式(20)中两条不等式条件rz,rw2的必要性,对结构参数在仅满足rz、仅满足rw2和同时满足rz,rw2这3 种情况下的势能−角位移曲线进行分析.通过rw1,可以建立k1与Ks1,的关系,代入rz,rw2中,可以得到k1−φ1平面上某一起竖角度下满足两个不等式的的区域.图4(a)展示了时k1−φ1平面上仅满足rz、仅满足rw2和同时满足rz,rw2的区域.图4(a)中的区域Ⅰ对应于满足rz而不满足rw2的情况,在该区域中选取一个点,记作P1,其对应参数的势能−角位移曲线和构型稳定性示意图如图4(b)所示.由图4(b)所示的势能−角位移曲线可以注意到,θ1=0处势能曲线切线斜率为正且处势能取到极大值,说明仿生起竖结构能够在地面约束下保持直线构型的稳定,但仿生起竖结构的起竖构型不稳定.图4(a)中的区域Ⅱ对应于满足rw2而不满足rz的情况,在该区域中选取一个点,记作P2,其对应参数的势能−角位移曲线和构型稳定性示意图如图4(c)所示.由图4(c)中的势能−角位移曲线可以注意到,θ1=0处势能曲线切线斜率为负且 θ1=π 2 处势能取到极小值,说明仿生起竖结构的起竖构型稳定,但仿生起竖结构的直线构型在地面约束下不能保持稳定.图4(a)中的区域Ⅲ对应于rz,rw2同时满足的情况,在该区域中选取一个点,记作P3,其对应参数的势能−角位移曲线和构型稳定性示意图如图4(d)所示.由图4(d)中的势能−角位移曲线可以注意到,θ1=0处势能曲线切线斜率为正且处势能取到极小值,说明仿生起竖结构的直线构型和起竖构型都能保持稳定.因此,只有当rz,rw2同时满足的情况下,即结构参数在区域Ⅲ内时,仿生起竖结构才能同时在直线构型和起竖构型下稳定平衡.

图4 势能−角位移曲线和构型稳定性示意图Fig.4 Potential energy and corresponding configuration stability schematic diagram

2.2 两节起竖的仿生起竖结构

以两节起竖的仿生起竖结构为例,即仿生机器人只有最右端的两节进行起竖,验证结构参数设计准则的有效性.仿生起竖结构需求的起竖构型设为.针对具有两节起竖功能的仿生起竖结构,取结构参数m1=m2=0.05kg,l1=l2=0.1 m,La1=La2=0.05m,c1=c2=0.01 N·s/m.根据结构参数设计准则式(15),两节起竖的仿生起竖结构的设计参数的取值为k1=1N·m/rad,k2=0.5 N·m/rad,φ1=0.01rad,φ2=0.05rad,=0.98rad,=1.29 rad,Ks1=Ks2=400 N/m.在这组结构参数和设计参数下,两节仿生起竖结构的势能等高线图和起竖构型示意图分别如图5(a)和图5(b)所示.在图5(a)中,θ1=θ2=0处的梯度方向处于θ1负半轴与θ2负半轴之间.于是,由于地面的约束,仿生起竖结构能在θ1=θ2=0位置处稳定平衡.此外,在图5(a)中,起竖构型处为势能极小值点,因此,仿生起竖结构能在设计的起竖构型位置处稳定平衡.图5(c)是仿生起竖结构在初始激励下的时间历程曲线,由图可知仿生起竖结构能在初始激励下从直线构型变成起竖构型,并能在起竖构型位置处稳定平衡.

图5 两节仿生起竖结构Fig.5 Two-segment bio-inspired erecting structure

2.3 三节起竖的仿生起竖结构

为了说明本文提出的仿生起竖结构不仅能够实现C 形构型,也能够实现C 形构型以外的其他构型,设计了两种不同起竖构型的三节起竖的仿生起竖结构,即仿生机器人只有最右端的三节进行起竖.仿生起竖结构的起竖构型分别设为,其构型示意图如图6(a)和图6(b) 所示.本文将满足<<···<的起竖构型称为C 形构型,并将满足<<···<且>>···>的起竖构型称为S 形构型.三节仿生起竖结构的结构参数为m1=m2=m3=0.05 kg,l1=l2=l3=0.1m,La1=La2= 0.05 m,c1=c2=c3=0.01 N·s/m.根据结构参数设计准则式(15),两种起竖构型的仿生起竖结构对应的设计参数取值分别见表1和表2.图6(a)和图6(b)中的右图分别是起竖构型为S 形和C 形的三节仿生起竖结构在受到初始激励后的时间历程图,由图6(a)和图6(b)可知,所设计的仿生起竖结构能够在受到初始激励后达到所需求的起竖构型并在起竖构型处稳定.同时,由图6 可以得知,本文提出的仿生起竖结构除了可以实现C 形的起竖构型,还可以实现C 形构型以外的起竖构型,这说明本文提出的仿生起竖结构进一步拓展了弯曲变形结构可实现的构型.

表2 C 形构型设计参数Table 2 Design parameters values of three-segment bio-inspired erecting structure with C configuration

图6 不同起竖构型的三节仿生起竖结构的起竖构型示意图及其动力学验证Fig.6 Erecting configuration schematic diagram and dynamics verification of different three-segment bio-inspired erecting structure

在表1 的设计参数下,仿生起竖结构一共有3 个稳定构型,其稳定构型示意图如图7 所示.在图7中,蓝色构型表示的S 形构型,黄色构型表示 θ1=0.35π,θ2=0.74π,θ3=1.14π 的C 形构型,鲜绿色构型表示 θ1=0,θ2=0,θ3=0 的直线构型.接下来,通过仿生起竖结构不同稳态的吸引盆来研究初始激励对仿生起竖结构最终达到构型的影响.

表1 S 形构型设计参数Table 1 Design parameters values of three-segment bio-inspired erecting structure with S configuration

对于三节起竖的仿生起竖结构,其比例系数单调性变量的取值一共有4 种情况,在图8 中分别给出了4 种不同情况下仿生起竖结构不同稳态的吸引盆,并在吸引盆的左上方用柱状图标出了比例系数单调性变量的取值.其中,蓝色部分对应于图7 中的S 形稳定构型,黄色部分对应于图7 中的C 形稳定构型,鲜绿色部分对应于图7 中的直线稳定构型.由图8 可以得知,不同比例系数单调性的情况下,仿生起竖结构触发S 形构型的概率有显著的差异.在图8(a)和图8(b)所示的吸引盆中没有蓝色的部分,说明在这两种情况下无法触发仿生起竖结构的S 形构型.在图8(c)和图8(d)中,吸引盆出现了较大的蓝色区域,说明图8(c)和图8(d)这两种情况比图8(a)和图8(b)中这两种情况更容易触发仿生起竖结构需求的S 形构型,针对图8(c)和图8(d)对应的两种情况进行进一步讨论,以确定满足准则r2的比例系数单调性变量的取值.

图7 表1 参数下仿生起竖结构稳定构型示意图Fig.7 Stable configuration of three-segment bio-inspired erecting structure with parameters in Table 1

图8 不同单调性变量情况下三节仿生起竖结构不同稳态的吸引盆Fig.8 Basin of attraction corresponding to different conditions

为了将初始激励的比例系数单调性与需求的起竖构型联系起来,定义如下的起竖构型单调性变量

图9 三节仿生起竖结构比例系数单调性变量与起竖构型单调性变量示意图及不同比例系数情况下不同稳态的吸引盆Fig.9 Schematic diagram of excitation variable and configuration variable and basin of attraction under different excitation variable situation for three-segment bio-inspired erecting structure

2.4 多节起竖的仿生起竖结构

为了说明本文提出的仿生起竖结构能够实现需求的仿生构型,设计了多节起竖的仿生起竖结构,多节仿生起竖结构的起竖节数和起竖构型由图10(a)中蛇起竖的构型而来.多节仿生起竖结构只有最右端的六节进行起竖,起竖构型为.仿生起竖结构的结构参数为m1=m2=···=m6=0.005 kg,l1=l2=···=l6=0.1 m,La1=La2=0.05m,c1=c2=···=c6=0.075 N·s/m,其设计参数如表3 所示.图10(b)为多节仿生起竖结构在受到初始激励后的时间历程图,多节仿生起竖结构受到初始激励后的起竖过程及对应的时间历程的动力学模拟结果在附加材料中.由图10(b)可以得知,多节仿生起竖结构能够在受到初始激励后达到设计的起竖构型并在起竖构型处稳定,说明了本文提出的仿生起竖结构实现了需求的仿生构型.

表3 多节仿生起竖结构的设计参数Table 3 Design parameters values of multi-segment bio-inspired erecting structure

图10 多节仿生起竖结构Fig.10 Multi-segment bio-inspired erecting structure

多节仿生起竖结构有多个不同的稳定构型,通过求解不同初始激励下多节仿生起竖结构的动力学模型,可以得到仿生起竖结构不同稳态的吸引盆中出现的稳定构型,其示意图如图11 所示.根据三节起竖的仿生起竖结构中对仿生起竖结构需求构型触发条件的讨论,可得到了3 种不同比例系数单调性下多节仿生起竖结构不同稳态的吸引盆及不同构型出现的概率,如图12 所示.在吸引盆图像的上方,我们用柱状图标出了对应的单调性变量的取值.在多节仿生起竖结构不同稳态的吸引盆中,蓝色部分表示所设计的S 形起竖构型,棕色部分表示C 形构型,橙色部分表示斜S 构型,绿色部分表示受地面约束的直线构型.图12(a)为Δi=1,i=1,2,···,6 时多节仿生起竖结构不同稳态的吸引盆.由图12(a)可以得知,在Δi=1,i=1,2,···,6 的情况下,最容易触发=1,i=1,2,···,6 的C 形构型.图12(b)为Δi=1,i=1,2,···,5,Δ6=−1 时多节仿生起竖结构不同稳态的吸引盆.由图12(b) 可以得知,在Δi=1,i=1,2,···,5,Δ6=−1的情况下,最容易触发=1,i=1,2,···,5,=−1的斜S 形构型.图12(c)为Δi=1,i=1,2,···,4,Δ5=Δ6=−1时多节仿生起竖结构不同稳态的吸引盆.由图12(b) 可以得知,在Δi=1,i=1,2,···,4,Δ5=Δ6=−1时的情况下,最容易触发=1,i=1,2,···,4,==−1 时的S 形构型.通过对图12 的分析,验证了在三节仿生起竖结构中得到的关于触发条件准则的结论,即Δi=为满足触发条件准则的比例系数单调性变量.