拟齐次核的Hilbert型积分不等式的适配参数条件

曾志红, 洪 勇， 张然然, 田德路

(1. 广东第二师范学院学报编辑部， 广州 510303； 2. 广州华商学院应用数学系， 广州 511300；3. 广东第二师范学院数学学院， 广州 510303)

则称不等式

为Hilbert型积分不等式. 由于此类不等式与积分算子T：

有密切的联系，故而Hilbert型积分不等式对于研究算子T的有界性与算子范数有重要意义.

1991年，XU和GAO[1]首次提出了研究Hilbert型不等式的权系数方法. 该方法的核心是：引入2个搭配参数a、b，利用Hölder不等式，可得到如下形式的不等式：

(1)

若选取的搭配参数a、b能够使式(1)的常数因子最佳，则称其为适配参数或适配数. 文献[14]曾讨论了齐次核的Hilbert型级数不等式的适配参数问题，本文将对拟齐次核的Hilbert型积分不等式讨论搭配参数a、b成为适配数的充分必要条件，并讨论其应用.

1 预备知识

设G(u,v)是λ阶齐次函数，λ1λ2>0，则称K(x,y)=G(xλ1,yλ2)为拟齐次函数. 显然K(x,y)为拟齐次函数等价于：对∀t>0，有

K(tx,y)=tλ1λK(x,t-λ1/λ2y)，

K(x,ty)=tλ2λK(t-λ2/λ1x,y).

下面给出本文证明过程中所需的引理.

引理1设1/p+1/q=1(p>1)，a,b,λ，λ1λ2>0，G(u,v)是λ阶齐次非负函数，K(x,y)=G(xλ1,yλ2)，aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ，记

则W1(b,p)/λ1=W2(a,q)/λ2，且

证明由aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ，可得-λ1λ+λ1bp/λ2-λ1/λ2-1=-aq. 则有

故W1(b,p)/λ1=W2(a,q)/λ2.

作变换y=xλ1/λ2t，有

xλ1(λ-bp/λ2+1/λ2)W1(b,p).

同理可证ω2(a,q,y)=yλ2(λ-aq/λ1+1/λ1)W2(a,q).证毕.

2 适配参数的充分必要条件

定理1设1/p+1/q=1(p>1)，a,b,λ，λ1λ2>0，G(u,v)是λ阶齐次非负可测函数，K(x,y)=G(xλ1,yλ2)，W1(b,p)与W2(a,q)如引理1所定义. 那么

(2)

其中,f(x)(0,+∞)，g(y)(0,+∞).

(3)

其中,W0=|λ1|W2(a,q)=|λ2|W1(b,p).

证明(i)选择a、b为搭配参数. 根据Hölder不等式和引理1，利用权系数方法，有

故式(2)成立.

(ii)充分性：设aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ，W1(b,p)和W2(a,q)收敛. 由引理1，有W1(b,p)/λ1=W2(a,q)/λ2，故

且α=apq-1，β=bpq-1，于是式(2)可化为式(3).

设式(3)的最佳常数因子为M0，则M0≤W0/(|λ1|1/q|λ2|1/p)，且用M0取代式(3)中的常数因子后，式(3)仍然成立.

取充分小的ε>0及δ>0，令

则

‖f‖p,apq-1‖g‖q,bpq-1=

于是

先令ε→0+，再令δ→0+，得

再根据引理1，可得到W0/(|λ1|1/q|λ2|1/p)≤M0.所以式(3)的最佳常数因子M0=W0/(|λ1|1/q|λ2|1/p).

于是可知式(2)等价于

又经计算有a1q/λ1+b1p/λ2=1/λ1+1/λ2+λ，α1=a1pq-1，β1=b1pq-1，故式(2)进一步等价于

‖f‖p,a1pq-1‖g‖q,b1pq-1.

(4)

于是得到

(5)

对于1和tλ2c/q，应用Hölder不等式，有

(6)

根据式(5)，可知式(6)取等号. 又根据Hölder不等式取等号的条件，可得tλ2c/q=常数，故c=0，即aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ.证毕.

注1定理1表明:当且仅当aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ时，搭配参数a、b是适配参数. 因此，只要选取a、b满足aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ，就可以得到各种各样的具有最佳常数因子的Hilbert型积分不等式.

推论1设1/p+1/q=1(p>1)，λ1λ2>0，λ>0，1/r+1/s=1(r>1)，α=p(1-λλ1/r)-1，β=q(1-λλ2/s)-1，则

(7)

其中的常数因子是最佳的，f(x)(0,+∞)，g(y)(0,+∞).

故a、b是适配参数. 又因为apq-1=p(1-λλ1/r)-1=α，bpq-1=q(1-λλ2/s)-1=β，且

根据定理1，式(7)成立，且其常数因子是最佳的. 证毕.

3 在求积分算子范数中的应用

根据Hilbert型不等式与相应积分算子的关系理论，由定理1可得如下定理.

定理2设1/p+1/q=1(p>1)，a,b,λ，λ1λ2>0，α=apq-1，β=bpq-1，G(u,v)是λ阶齐次非负可测函数，K(x,y)=G(xλ1,yλ2)，且

则当aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ时，积分算子T：

推论2设1/p+1/q=1(p>1)，λ1λ2>0，-1<λ

根据定理2，知推论2成立. 证毕.

推论3设1/p+1/q=1(p>1)，1/r+1/s=1(r>1)，λ1λ2>0，α=p(1-λ1/r)-1，β=q(1-λ2/s)-1. 则积分算子T：

其中ζ(t,a)是Riemann函数.

证明记

则G(u,v)是-1阶齐次非负函数.

故a、b是适配参数. 又apq-1=p(1-λ1/r)-1=α，bpq-1=q(1-λ2/s)-1=β，且

根据定理2，知推论3成立. 证毕.