具有时滞和Smith增长的反应扩散捕食—食饵系统的Hopf分支

蒋和平，方辉平，丁文国

（黄山学院 数学与统计学院，安徽 黄山 245041）

关键字：时滞；Smith增长；捕食-食饵系统；Hopf分支

1 引言

May[1]研究了带Holling 型功能反应函数的捕食-食饵系统[2]，为了更好地描述物种间的生态交互作用，Tanner[3]和Wollkind et.al.[4]给出了一些更合适的捕食-食饵系统去描述生态问题。

时滞普遍在自然界中存在，比如,工程技术中的时滞反馈、生物系统中的成熟期和哺乳期等。时滞会导致系统的动力学行为更加复杂[5]。于是很多学者对时滞微分系统进行了详细地研究。反应扩散系统会出现丰富的斑图动力学行为，近些年有很多文献研究了相关理论问题，获得了很多很好的结果[6]。时滞反应扩散系统的动力学问题也有很多学者进行研究[7-9]。

陈等人[3]研究了具有时滞反应扩散Leslie-Gower捕食-食饵系统的Hopf分支问题

这里u(x,t),v(x,t)分别表示t时刻的食饵和捕食的种群密度，d1,d2分别表u,v的扩散系数，c,β,δ,η分别表示种群的规模、捕获率、捕食者的增长率、猎物转化为捕食者的生物量，τ1,τ2表示时滞量。

在文献[3,10,11]的基础上,继续研究具有时滞和Smith 增长的反应扩散捕食-食饵系统的Hopf 分支问题。

下面，主要从以下几部分研究：首先，考虑系统（1）的正平衡点和Hopf 分支存在性，然后利用中心流形与规范性理论研究Hopf 分支的分支方向和稳定性，最后，通过数学软件MATLAB进行数值模拟，论证和丰富系统（1）的动力学行为。

2 稳定性分析

关于时滞引起系统（1）在正平衡点E*(u*,v*)附近的动力学行为，这里

根据上述引理和偏泛函微分方程理论，可以得到如下结果。

定理1：ωk定义在式子（7）和（8）中，有

（1）当τ∈(0,τ*) 时，系统（1）在平衡点E*(u*,v*)处渐近稳定，当τ∈(τ*,+∞)时，系统（1）在平衡点E*(u*,v*)处不稳定；

（2）当τ=τ*时，系统（1）在平衡点E*(u*,v*)处发生Hopf分支。

3 数值模拟

在本节中，利用MATLAB 软件，得到数值模拟的结果来支持理论分析结果。

对于系统（1），取d1=0.01,d2=1,c=0.1,β=0.8,δ=1,η=0.5,和初值(u(x,0),v(x,0))=( 0.65+0.05cosx,0.8+0.05cosx)。通过一系列简单计算，得到(u*,v*)=( 0.3759,0.7518)和τ*=2.4074。并通过计算规范型得=0.0636ερ-0.9954ρ3

这里ε为分支参数。因此，系统（1）在τ*处发生稳定的Hopf 分支，在平横点(u*,v*)=( 0.3759,0.7518)处分支出稳定的空间齐次周期解。

图1 当τ=2.25< τ*时，系统（1）在正平横点( u*,v*)=( 0.3759,0.7518)处渐近稳定

图2 当τ=2.5> τ*时，系统（1）在正平横点( u*,v*)=(0.3759,0.7518)处分支处稳定空间其次周期解

利用数值模拟研究系统（1）的局部系统

取c=0.1,β=0.8,δ=1,η=0.5,和初值(u(0),v(0))=( 0.65,0.8)，模拟结果如下：

图3 当τ=2.25< τ*时，系统（9）在正平横点( u*,v*)=( 0.3759,0.7518)处渐近稳定

图4 当τ=2.5> τ*时，系统（9）在正平横点( u*,v*)=( 0.3759,0.7518)处分支处稳定的周期解

4 小 结

以时滞量τ为分支参数，来研究具有时滞和Smith 增长的反应扩散捕食-食饵系统的Hopf 分支问题。首先，关于系统在正平衡点处稳定性进行分析，接着，计算时滞反应扩散捕食-食饵系统的Hopf分支的规范型，最后，通过取d1=0.01,d2=1,c=0.1,β=0.8,δ=1,η=0.5，并通过简单的计算，得到了分支的临界值为τ*=2.4074。当τ=2.5>τ*时，系统(1)在平衡点( 0.3759,0.7518)分支处了稳定的空间其次周期解。系统（1）的局部系统（9）分支出稳定的周期解。当τ=2.25<τ*时，系统（1）及其局部系统（9）在平衡点( 0.3759,0.7518)处渐近稳定。