中考数学试题中阴影部分面积的解题策略

2021-11-04陈瑗

科学咨询 2021年34期

陈瑗

(浙江省义乌市丹溪中学浙江金华 322000)

近年来，在中考数学试题中，对阴影部分面积的求解计算已经成为目前一大新的考查热点。经过总结分析发现，在中考数学试题中，图形阴影部分面积的计算一般不会只是简单地针对某一个图形或者是某一个规则图形的面积计算，而是经常会涉及求圆形、扇形、三角形、正方形等多种图形组合而成的不规则图形的阴影部分的面积[1]。在计算这种不规则图形的阴影面积时，学生经常会出现找不到解题突破口的情况，教师对阴影部分面积的解题策略进行总结整理，便可以更好地帮助他们观察和分析图形，使其学会分解或组合图形，继而明确所求面积并计算出结果。对此，本文简单总结分析了中考数学试题中阴影部分面积的解题策略，以期借此进一步提升学生的解题效率和知识运用能力。

一、利用作差法去计算阴影部分的面积

作差法，其实是指在不改变原来图形位置的前提下，将原来图形的面积通过若干个相关规则图形的面积差来表示，最终得出需要求得的阴影部分的面积。

例如，在边长为2的正三角形当中，从内部挖去其内切圆和三个角内切圆（如图1所示，三个角内切圆与角的两边和内切圆都相切）求剩下图形面积，即阴影部分的面积是多少。

图1

分析：连接OB，连接内切圆O与边BC的切点（记为D），就能够构造出一个直角三角形，通过求解直角三角形我们便很容易求出来内切圆O的半径。然后我们再将内切圆O与小的角内切圆的公切线记为EF，很明显就能看出来三角形BEF也是一个小的等边三角形，从而得知小圆的圆心P也就是等边三角形BEF的中心，继而得出小圆的半径，也就能计算出这四个圆的总面积。最后再由等边三角形ABC的面积减去这四个圆的总面积，就是我们需要计算的阴影部分的面积。

图2

分析：这个阴影部分的面积（图形CBD）是一个不规则的扇形图形，在计算这种图形面积时，我们一般可以利用作差法将其转化成为规则图形面积的计算。针对上述问题，如果我们连接点OC，并过点C作OB的垂线CE，就可以得出CE的长度，继而得出扇形COB的面积和三角形COD的面积，然后再用扇形COB的面积减去三角形COD的面积，就是我们需要求出的阴影部分的面积。

利用作差法去计算阴影部分的面积时，需要认真观察规则图形和阴影部分图形之间的联系，从中找到图形之间存在的异同点，尤其是当图形比较复杂时，可以将阴影部分的面积转化成为我们所熟知的面积来计算，最终经过作差得出阴影图形的面积。而在这一计算过程中，对学生的空间想象能力有着较高的要求，这需要教师多培养和训练学生的数学转换思维和空间想象力，使得他们在面对这类问题时可以灵活多变。

二、利用移动法去计算阴影部分的面积

移动法是指对原来图形的位置通过平移、旋转、割补、等积变换等方法进行“移动”，从而为作差法创设计算条件，通过这种方法实现不规则图形面积的转换。

图3

分析：如果我们将两个圆弧的交点记为点O，分别连接OA、OB、OC，就可以发现线段OA将阴影部分的上半部分平均分了两个弓形，然后再将弓形的左右两部分分别按照逆时针、顺时针的方向旋转120°以后，就能得到一个完整的三角形OBC（阴影图形）的面积，也就是三角形ABC面积的三分之一，然后利用等边三角形面积的计算公式就能得出来阴影部分的面积。

再如，（如图4所示）AB为直径的半圆，AB=2R，点C、D均为半圆的三等分点，计算阴影部分的面积。

图4

图5

分析：该例题所考查的知识点是扇形面积的计算问题，如果直接去求阴影部分的面积时比较困难的，这个时候可以采用画辅助线的方式将弓形OB补到弓形OC处，此时就很明显看出来所求的阴影面积就是扇形OAC的面积。在这一解题思路中采用的计算方法就是移动法中的割补法，在原有图形面积保持不变的情况下，通过适当的分割、添补将原本零散的阴影面积转化成为规则图形的面积[3]。

利用移动法去计算阴影部分的面积时，需要对各种图形的基本性质等有足够的了解，并能灵活运用，尽可能将这些不规则的图形转化成为较为完整且容易计算的图形去计算面积。因此，教师在训练学生利用这一方法解题时，还要注意帮助他们总结一些基本图形的性质和计算公式等，方便学生对知识的提取和运用。

三、利用代数法去计算阴影部分的面积

代数法是根据阴影部分图形的特点，通过列方程或者是方程组的方式去计算其面积，解出方程或者方程组就能求出对应的阴影部分的面积，也就是我们常说的设元法。

图6

图7

分析：本题目中考查的数学知识点比较多，主要包括了正方形的基本性质、整式的混合运算、扇形的面积计算等，其中，小正方形EBGF的边长这一中间量就是我们解决问题的关键[4]。如果我们可以设出小正方形的边长，就能成功表示出其他线段的长度，然后就可以得出阴影部分的面积就是：扇形ABC的面积、正方形EBGF的面积、三角形CFE的面积三者之和再减去三角形AGF的面积。然后就是点E的位置，该点虽然是一个不定点，阴影部分的图形也随着点E的变化而变化，但可以发现其面积是一个定值，也就是我们经常遇到的“变与不变”的数学问题，需要引起重视。

由此可见，在利用代数法（或者是设元法）去计算阴影部分的面积时，需要多引导学生去观察阴影部分图形的特点，从中找到关键突破点并进行设元，然后通过求解计算最终计算出阴影部分的面积。

四、利用整体法去计算阴影部分的面积

所谓整体法，其实就是一种从整体的角度出发去计算阴影部分面积的一种解题方法，尤其是在求解与圆相关的阴影部分的面积时，如果我们仍然按照常规的求解思路就会很容易多走“弯路”。这个时候，如果可以换一种思维视角去解决问题，将那些看似独立，实质上却有着紧密关联的数量关系看成一个整体来计算，就会变得非常容易。

例如，在直角三角形ABC中，∠C为直角，CA=CB=4，分别以点A、点B、点C为圆心，以AC为半径画圆弧（如图8所示），计算三条圆弧与边AB所围成的阴影部分的面积。

图8

分析：如果直接去求阴影部分的面积，并不简单。仔细分析题目，观察图形，就可以知道这三条圆弧与边AB所围成的阴影部分的面积，就是直角三角形的面积减去三个扇形的面积。但是，由于我们并知道以点A、点B为圆心的两个扇形部分的面积，就很容易陷入解题困境，此时可以转换思维，尝试将它们看成一个整体，就能解决问题。由于以点A、点B为圆心的两个扇形图形的半径是相等的，而且圆心角的和就是90°（因为∠C=90°），此时，阴影部分的面积就是用三角形ABC的面积减去扇形C的面积再减去扇形A与扇形B的面积和就可以了。

由此可见，当我们利用整体法去求解阴影部分的面积时，极大能地优化解题思路，还能让整个解题过程更简单，这需要教师训练学生多从整体的角度出发去看待问题，学会转换思维，进而让问题得以解决[5]。