在探究学习中提高数学核心素养

夏洪

[摘  要] 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出“数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用.数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养.” 数学核心素养综合体现在“发现与提出问题，分析与解决问题”的过程中，核心素养的培养是需要教师以知识发展为线索的学习活动，知识发展是需要以知识深入探究为原则的学习活动，知识探究是需要以学生为主体的学习活动.文章以一道椭圆习题的探究教学为例，探讨在探究学习中如何提高学生的数学核心素养.

[关键词] 核心素养;探究学习;椭圆

数学学习不只是让学生背诵一些重要公式，记住一些定理、结论，更重要的是要让学生形成数学思维，形成用数学眼光观察世界、感悟世界，并从中形成自己的世界观、价值观. 数学更重要的是让学生形成严谨的治学态度、一切从实际出发的人生理念.数学学科的特点是高度抽象，这就需要学生有主动探索的动力，需要有适合不同学习内容的学习方法.高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程.探究活动的根本在于学生的主动参与，学生根据学科知识的发展，在老师的指导下，或者在自学产生困惑的引领下，用学科的思维、学科的眼光、学科的方法对问题进行研究，在研究过程中获得新的知识，发散新的思维，升华学科知识，提升自身能力.数学探究学习是提高学生学习主动性的有效措施.其具体操作过程是创设数学情境、精心设计变式，侧重于学生的自主探究、合作探究，让学生在活动中、变式中、运算中、推理论证中去获取数学知识，由此体现新课程所提倡的“做数学”.

解析几何是高中数学重要的研究内容，其中椭圆又是历年高考的必考知识.椭圆问题的解决多是将几何问题代数化，在椭圆题目教学中，我们可以通过改变题目的条件，发展题目的外延，从而探究椭圆的本质，培养学生的探究能力，可以有效提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养.

[?]原题及解法

人教版（A版）高中《數学》选修2-1 49页，习题2.2A组第6题：已知点P是椭圆+=1上的点，且以点P及焦点F，F为顶点的三角形面积等于1，求点P的坐标.

分析：此题是对椭圆焦点三角形的考查. 我们称以椭圆上任意一点P与椭圆两焦点F，F为顶点组成的三角形为椭圆的焦点三角形.解答本题将用到三角形的一个面积公式，三角形的面积=.

解析：由已知，椭圆焦点F（-1，0），F（1，0），设P（x，y），则S=

F

F·y=1. 解得y=±1，代入椭圆方程得x= ±，所以满足题意的点为：P

，1

或P

，-1

或P

-，1

或P

-，-1

.

[?]变式及应用

变式1：已知点P是椭圆+=1上的点，左、右焦点分别为F，F，若PF所在直线斜率为-2，求△PFF的面积.

变式2：已知点P是椭圆+=1上的点，左、右焦点分别为F，F，若PF所在直线的倾斜角为30°，求△PFF的面积.

变式3：已知点P是椭圆+=1上的点，左、右焦点分别为F，F，若∠F1PF2=30°，求△PFF的面积.

解答本变式将用到三角形的另一个面积公式，三角形面积=两夹边之积乘夹角的正弦值的一半.通过引导学生对原题的变式，使学生掌握了椭圆焦点三角形更全面的基本知识，并能通过变式拓宽其数学视野.

在此，通过利用类比的数学思想，由特殊推广到一般，引导学生探究出椭圆焦点三角形面积的一般结论.

已知点P是椭圆+=1上的点，左、右焦点分别为F，F，若∠FPF=θ，求△PFF的面积.

解析：由椭圆的定义知，

PF+

PF=2a，平方得：

PF2+

PF2+2

PF·

PF=（2a）2（1）. 在△PFF中，由余弦定理得：

F

F2=

PF2+

PF2-2

PF·

PFcos∠FPF，即

PF2+

PF2-2

PF·

PFcosθ=（2c）2（2）. 由（1）-（2）得：

PF·

PF==，所以S=

PF·

PF·sin∠FPF=. 由三角函数二倍角公式sinθ=2sin·cos，cosθ=2cos2-1可得：S=b2·tan.

以上过程，让学生经历一次完整的探究过程，从一个简单的例题着手，得出一般的结论，教师给学生搭建合理的认知，让学生感受和体验了知识的发生、发展、应用过程，让学生学会从特殊问题，总结提炼出数学的一般结论，也就体现了由特殊到一般的数学思想.这一过程提高了学生从数学角度去发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，提升了学生的数学运算能力和归纳总结能力.

[?]探究及推广

在这里出现了“”，其表示∠FPF的一半，也就由此联系到∠FPF的角平分线问题.

探究1：已知点P是椭圆+=1上的点，左、右焦点分别为F，F，若∠FPF的角平分线PM交x轴于点M（m，0），求m的取值范围.

解析：由三角形的角平分线定理“三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例”得=，

PF=2a-

PF=2-

PF，

MF=m+1，

MF=1-m ，所以

PF=（1-m）. 又-1<

PF<+1，所以-1<（1-m）<+1，所以-

我们研究了内角平分线，可以再探究一下外角平分线.

探究2：已知点P是椭圆+=1上的点，左、右焦点分别为F，F，若∠FPF的外角平分线为l，求证：直线l为椭圆在点P处的切线.

证明：用定义法. 在FP的延长线上取一點N，使PN=

PF，在l上任取一点M（不同于点P），连接MN，MF，MF，由此得△PMN≌△PMF，则有MN=

MF.在△FMN中，

MF+MN>

FN，即

MF+

MF>2a，点M在椭圆外，由此得出直线l与椭圆有交点，并且只有一个交点. 这就得出结论：直线l为椭圆的切线.

变式1：已知点P是椭圆+=1上的点，左、右焦点分别为F，F，若∠FPF的角平分线为l，求证：直线l与椭圆在点P处的切线垂直.

探究3：已知点P是椭圆+=1上的点，左、右焦点分别为F，F，作△PFF的旁切圆T（与边FP相切），求旁切圆的圆心T的轨迹方程.

解析：设圆T与FP相切于点A，圆T与FP相切于点B，圆T与x轴相切于点C，由切线定理知

FA=

FC，

FB=

FC，PB=PA，点P在椭圆上，所以

PF+

PF=2a=2，则

FA-PA+PB+

BF=

FC+

FC=2. 由椭圆的定义知，点C在椭圆上，则点C（，0）且CT与x轴垂直，所以x=. 综上，圆心T的轨迹方程为x=（y≠0）.

本节课从椭圆焦点三角形面积出发，探究了椭圆上的点与焦点连线所成角以及斜率之间的数量或位置关系，步步深入，引人入胜. 通过探究，将学生的能力从一个水平延伸至另一个更高的水平.

通过更深层次的探究，引导学生深入思考，培养学生的研究能力. 让学生在探究过程中，体会椭圆知识的发生发展过程，感受椭圆知识的脉络，感悟椭圆知识中蕴含的数学深度，提升学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

对学生数学核心素养的提升贯穿于整个教学活动中，通过引导学生对课本习题的探究，让学生有了数学基本活动的经验，让学生亲身经历知识的发展过程. 数学探究活动发挥学生学习的主动性，由“教师教”转变为“学生学”，突出以生为本的教学理念，突出学生的自主学习、自主思考，并逐步将知识内化.数学探究活动更是将学生置身其中，让学生主动参与，做学习的主人，在快乐学习中提升数学思维. 学生在数学活动中不断积累，在积累中所获得的丰富而有价值的经验往往是孕育素养、形成智慧、进行创新的重要基础，是学生学科核心素养得以提升的保障.