具有输入约束的参数不确定机器人自适应控制*

樊开夫，王福杰，李绍宇，李超凡，任 斌

(东莞理工学院机械工程学院，广东 东莞 523000)

0 引言

在线轨迹跟踪是机器人在工业中需要完成的典型任务之一，在焊接、打磨抛光、装配等场合有重要应用[1-2]。为完成复杂序列任务并进行精细化操作，要求对机器人系统与环境进行包含动力学、运动学、执行器等模型的精确标定，然而受限于检测精度与不断变化的负载，对正在运行中的机器人运动学与动力学参数进行精确标定是不现实的[3]，此种参数中的不确定性会极大影响机器人轨迹跟踪的精度，甚至导致系统不稳定。在轨迹跟踪的过程中对模型参数进行在线的预估能极大提升控制器的自适应性，受到机器人控制领域相关学者的普遍重视[4-5]。例如，文献[6]提出一种基于PD控制的机器人鲁棒自适应算法，在机器人初始输入力矩受限且动力学模型缺失的情况下实现关节空间的角度跟踪；文献[7-9]同时考虑了机器人运动学与动力学模型不确定性提出一种自适应控制方法实现笛卡尔空间轨迹跟踪，分别对运动学参数与动力学参数进行在线预估，但要求机器人只存在参数不确定性而无未建模动态与外部扰动，这一严格限制在许多任务中无法保证。

实际上机器人在运行中与外部世界进行交互可以看做是受到不规则扰动影响，文献[10]通过设计非线性扰动观测器对外部干扰进行预估，文献[11]基于类似的观测器设计鲁棒PD抗干扰控制器实现渐进轨迹跟踪，但要求该干扰满足一定的约束条件，同时进行扰动观测器的设计也会增加整体控制方案的复杂性，更重要的是上述文献[10-11]未对机器人运动学与动力学不确定性进行处理，其扰动观测器的设计依赖于精确获得的机器人模型。此外，当机器人长期在强电磁环境超负荷运行会产生非线性输入约束，如死区[12]、间隙[13]、磁滞[14]等，但目前同时考虑机器人系统的不确定性、外部未知扰动和输入约束进行控制器设计的研究较少。

因此，本文针对具有输入约束与未知外部扰动的参数不确定机器人系统开展轨迹跟踪控制研究，在控制器中同时引入了关节空间误差变量与任务空间误差变量，增加系统的鲁棒性与误差收敛速度，同时控制器只使用到预估的机器人系统参数而非真实值，提高系统的实用性。与文献[10-11]相比，通过设计自适应参数更新律在线预估未知的机器人动力学与运动学模型参数，使用投影函数避免机器人运动过程中产生“奇异”现象，同时在控制器中引入鲁棒项进行扰动抑制，不要求未建模动态与外部扰动的上确界，减少控制方案的计算复杂度。此外，通过引入Nussbaum增益矩阵实现输入约束补偿，无需对输入约束进行精确的模型辨识也能确保在线轨迹跟踪。

1 具有输入约束的参数不确定机器人系统

机器人系统是一个非线性强耦合多变量的复杂系统，在实际运行过程中受负载变化和外部扰动等因素的影响，其系统参数难以精确标定。此外，机器人执行器约束也会降低机器人的实际运行性能，因此在控制器设计中必须将上述参数不确定性与输入约束考虑在内。

1.1 机器人运动学模型

不失一般性，工业机器人可看做是由转动关节连接的多连杆系统，其运动学模型可用以下方程描述[15]：

x=f(q)

(1)

式中，x∈Rm×1为机器人末端坐标，q∈Rn×1为关节角向量，f(q)为关节空间到任务空间的映射，n≥m表示机器人的自由度。对式进行微分，可得：

(2)

特性1：对于任意向量ζ∈Rn×1，乘积J(q)ζ可进行参数线性化为[17]：

J(q)ζ=Yk(q,ζ)ak

(3)

式中，ak∈Rr1×1表示运动学参数向量，Yk(q,ζ)∈Rn×r1表示与机器人参数无关的运动学回归矩阵。

1.2 具有输入约束的机器人动力学模型

考虑n自由度工业机器人受到输入约束下其动力学模型可以表述为[15]：

(4)

在控制器设计中，使用到如下的机器人动力学方程结构特性[18-19]：

特性2： 惯量矩阵D(q)满足以下不等式：

α1In×n≤D(q)≤α2In×n

(5)

β1≤|D(q)|≤β2

(6)

式中，α1，α2，β1，β2均为恰当的正常数。

(7)

式中，ζ∈Rn×1表示任意向量。

特性4：恰当选取机器人动力学参数ad∈Rr2×1，则动力学方程可线性化表示为：

(8)

1.3 Nussbaum型增益

为了消除未知输入约束对机器人控制性能的不良影响，本文在控制器中引入了Nussbaum型增益。当任意偶函数N(χ)满足：

(9)

(10)

则N(χ)可被称为Nussbaum函数，且有以下引理成立[21-20]。

2 基于约束补偿的控制器设计与稳定性分析

本节主要探讨基于输入约束补偿的机器人自适应控制器设计，当机器人系统参数不确定时，控制器中无法直接使用运动学与动力学的先验知识，通过采用参数线性化(特性1与特性4)将不确定系统参数进行分离，使用预估参数进行控制器的设计，同时通过引入Nussbaum型增益实现对输入约束的补偿。

2.1 基于约束补偿的自适应控制器设计

定义任务空间的跟踪误差为：

Δx=x-xd

(11)

基于此误差信号继续定义任务空间域参考速度为：

(12)

则可得域速度误差：

(13)

将任务空间的误差信号映射至关节空间，定义如下关节域参考速度：

(14)

(15)

关于矩阵的广义逆有：

同时余参考加速度可表示为：

(16)

则可得关节空间域参考误差信号：

(17)

此时，机器人运动学闭环方程可以表示为：

(18)

(19)

Tanh(sq/st)=diag(tanh(s1/st),…,tanh(sn/st))

式中，sq=[s1,...,sn]T，且有st=1/(1+t2)。

为最大限度消除输入约束对机器人控制性能的影响，提出以下具有输入补偿的机器人运动控制器：

(20)

(21)

注3：上述运动控制器主要通过引入Nussbaum增益矩阵辅以虚拟控制律(19)实现对输入约束的补偿，增益矩阵的输入由式(24)提供。此外本文的控制器设计中并不要求输入约束的模型已知(如式(4)中A(t)矩阵已知)，同时未建模动态与外部扰动的上确界也不要求精确标定，控制器中使用的是其上确界的预估值而非标定值，极大提升本文控制器的实用性与减少对系统建模精度的要求。

2.2 未知参数预估

应该注意到域参考关节速度(14)、虚拟控制律(19)、具有输入补偿的机器人控制器(20)和(21)都使用了未知参数的预估值，本文应用以下自适应律在线调整参数的更新值。

针对未知的动力学参数[12]：

(22)

式中，Γd∈Rr2×r2为对角正定矩阵。未知的运动学参数可在线预估为：

(23)

Nussbaum增益矩阵的输入可由下式更新：

(24)

式中，ε=[ε1,…,εn]T表示正常量向量。未建模动态与干扰的上确界预估值可由下式更新：

(25)

式中，ΓH表示对角线均为正常量的对角矩阵。

2.3 稳定性分析

至此，结合提出的控制器与自适应参数更新律，可得本文的主要结果。

定理 1：假设机器人系统运动学可由式(1)、式(2)表示，具有输入约束与未建模动态的动力学可由式(4)表示，则本文提出的控制方案式(19)、式(20)以及参数自适应律式(22)～式(25)能处理系统的参数不确定性同时使得跟踪误差Δx收敛，实现：

证明：定义如下李雅普诺夫候选函数

(26)

(27)

首先结合式(18)分析运动学闭环系统可得：

(28)

上式左右两端左乘ΔxT可得：

(29)

代入机器人控制器，可得机器人动态闭环系统：

(30)

(31)

分别将式(29)、式(31)与参数自适应律式(22)、式(23)代入式(27)，可得：

(32)

其中，

(33)

结合式(33)可得:

(34)

代入式(25)、式(33)、式(34)至式(32)，可得：

(35)

对式(35)在时间区间[0,t)内积分，可得：

(36)

其中，

由式(13)可得：

(37)

因此，定理1得证。

3 仿真分析

考虑具有输入约束与未知外部扰动的参数不确定二自由度机器人系统开展仿真验证，其动力学参数与动力学参数如表1所示，其中mi表示第i个连杆的质量，li表示第i个连杆的长度，Ii表示第i个关节的转动惯量。机器人运动学模型、动力学模型(特性1、特性4)可参照文献[1,2]。机器人所受到的未建模动态与外部干扰设定为：

(38)

机器人执行器动态所受约束设定为：

(39)

仿真结果如图1～图4所示，图1与图3分别展示本控制方案所得到的的轨迹位置误差与速度误差，从图中可知约0.3 s误差信号收敛于0并持续整个仿真过程；图2展示实际轨迹跟踪理想给定轨迹的情况，从图中可知实际轨迹与给定轨迹几乎重合；图4展示了驱动机器人运动的关节力矩信号，由于控制器中同时引入了关节空间域参考误差与任务空间域参考误差，控制力矩并不“光滑”，然而从图1、图2可知，实际的输出是平滑的，证明了本控制方案的有效性。

图1 任务空间跟踪误差 图2 任务空间轨迹

图3 任务空间速度误差 图4 控制力矩

4 结论

本文针对具有输入约束的参数不确定机器人系统开展自适应控制研究，将未知外部扰动考虑在机器人动态方程中。通过设计自适应运动控制器实现轨迹跟踪，该控制器不要求未建模动态的先验知识与外部扰动的上确界，极大扩宽控制器的适用范围，同时通过引入Nussbaum增益矩阵实现输入约束补偿。此外，本文通过设计自适应律克服机器人系统的不确定性，使用投影函数避免机器人运动过程中产生“奇异”现象，相比于现有的方法更加易于实施，提出的自适应鲁棒控制方案能确保机器人在任务空间的在线轨迹跟踪，仿真实例验证了所提出方案的可行性。