基于单元化方法的复杂轮系结构特征建模*

王广建，王铁龙，马雅丽，董昊天，梁 晨

(大连理工大学机械工程学院，辽宁 大连 116024)

0 引言

由于齿轮产品在各个方面的优异性能，齿轮传动装置在与机械领域相关的各类应用场景中被广泛使用。在富有创造性地齿轮传动系统方案设计阶段，国内外学者陆续提出了多种研究方法，其中主要的设计方法有基于图论和基于数学模型的设计方法。

图论理论的设计方案是应用基础图来衍化出给定构件数目的所有轮系结构图，并对轮系做性能分析[1]。文献[2]建立了复杂轮系各组成部分间的结构与性能关联模型，创立了以机械构件为组成单元的模块划分理论。提出了一种以产品重要零件为核心的模块划分方法。文献[3]将各类周转轮系的形式按轮系基本单元来分类与组合，并应用拓扑图描述，提出复杂轮系的划分技术与组成方法。文献[4]根据图论基础图的应用条件，提出了以拓扑单元法为核心的复杂轮系建模法。文献[5]分析了机构的拓扑结构特性和运动链结构特性，通过树图分析得到了机构运动方案的立体简图。

从数学模型的角度出发，文献[6-8]建立了以状态空间模型为核心的轮系运动方案设计体系，通过路径的连接建模方式得到轮系设计的可行解。文献[9]以状态空间理论为基础，以计算机为辅助工具，建立了复杂轮系的结构状态模型。文献[10-11]提出机械系统运动方案设计的单元能量建模方法，将系统运动方案与结构布局用数学模型表达。

本文在此基础上，利用系统单元化处理的思路研究了建立复杂轮系结构特征模型的方法。根据结构特征分解得到了复杂轮系的基本结构单元，并组建了描述结构特征的向量，获得了结构特征的模型，为复杂轮系的结构方案分析与结构空间优化设计奠定了必要的理论基础。

1 复杂轮系基本结构单元

对于复杂齿轮传动系统，本文主要研究平行轴和相交轴及其复合轮系，这类轮系的共同特点是：所处同一级各个构件的回转轴线是共面的。复杂轮系由各类齿轮机构连接组合构成，其中齿轮机构作为一个不可拆分的整体主要完成独立运动变换的功能。综合上述轮系的特点，给出基本结构单元的定义：

定义1：将一对回转轴线共面且相互啮合的齿轮机构称为复杂轮系的基本结构单元，简称基本结构单元。

由定义1得到基本结构单元的运动链，如图1所示，运动链中有3个构件，在基本运动链的基础上通过指定某一构件作为机架或者在运动链之外指定机架的方式得到复杂轮系的基本结构单元。构件的运动特征主要由机架的选定、构件的回转轴线位置和齿轮的啮合类型决定，组合不同运动特征的构件可以获得不同构型的基本结构单元。

图1 复杂轮系基本运动链

在基本运动链的构件中选定机架可以获得单自由度的基本结构单元；在基本运动链以外选定机架可以获得双自由度的基本结构单元。根据以上原则，得到12种构型的基本结构单元，其中涵盖了单自由度、双自由度、内啮合、外啮合齿轮的基本结构单元，如图2所示。

图2 基本结构单元

2 基本结构单元的结构特征模型

2.1 基本结构单元的结构特征

实际进行轮系结构设计时涉及的信息是非常复杂的，针对这一特点，进行轮系结构建模时首先需要简化结构设计信息，研究基本结构单元的组成，提取结构设计的主要特征和参数，建立结构特征模型。

轮系基本结构单元中有一个轴架、两个齿轮构件和若干运动副。结构特征模型主要研究基本结构单元的组成方式及内部结构特征，内部基本构件的结构特征主要研究构件类型和构件回转轴的方位，运动副的结构特征主要研究方位特征。

在进行结构特征建模时，模型主要表达结构的关键尺寸，而不研究其具体的结构形式与细节尺寸。基本构件包括齿轮和轴架，其主要结构形状和尺寸参数是结构类型的主要研究内容。对于齿轮构件，主要描述齿轮结构的外形尺寸参数；对于轴架构件，转动副的结构决定了其主要结构尺寸。

基本结构单元中存在齿轮啮合处的高副和保证齿轮回转的转动副。其中齿轮啮合处高副的结构特征主要影响齿轮在径向方向的结构特征，其详细的结构形式并不影响基本结构单元的结构空间。故只考虑转动副的结构特征，主要为回转轴线的方位。

轴架构件主要实现支承和连接的功能，实现哪种功能是由轴架上转动副轴线位置是否固定决定的。轴架主要起支承功能时，转动副有固定的位置；轴架主要起连接作用时，转动副的轴线位置是变化的。因此，轴架上转动副轴线位置对轮系基本结构单元的结构尺寸影响是显著的。

综上所述，基本结构单元的结构特征主要表达基本构件的类型、方位特征以及转动副的方位特征。

2.2 基本结构单元坐标系

基本构件的运动特征和结构特征在坐标系下描述，坐标系建立方法如下：

(1)基本构件坐标系(o-xyz)：坐标系建立在构件上，以构件回转中心为原点，以其回转轴正方向(回转轴正方向符合右手法则)为x轴正方向，y轴正方向与x轴正方向形成右手笛卡尔平面，z正方向轴垂直于xoy平面，符合右手法则。

(2)基本结构单元坐标系(O-XYZ)：坐标系建立在基本结构单元机架上，与输入构件的构件坐标系重合。

如图3所示，以基本结构单元中的1个双自由度基本结构单元为例建立坐标系，选取构件3为该基本结构单元的一个输入构件，在图3a中建立了3个基本构件坐标系，在图3b中建立了一个基本结构单元坐标系。

(a)基本构件坐标系 (b)基本结构单元坐标系图3 坐标系示意图

2.3 基本结构单元的结构特征模型

基本结构单元结构特征模型由基本构件和转动副的结构特征模型构成。

(a)圆柱齿轮 (b)圆锥齿轮图4 基本构件结构特征向量

在图5中，基本构件1的结构特征向量在基本构件坐标系1中描述为向量S11，在基本结构单元坐标系中描述为向SO1。根据坐标变换理论，获得如下结构特征方程：

(1)

令

则式(1)化简为：

SO1=D1S11

(2)

其中，D1表达构件1的方位特征。R1表达了基本构件1轴线方向。γ1表达了构件1的位置。

图5 基本结构单元结构特征向量

单元中转动副是由齿轮与轴架或轴架与机架之间形成的可动连接，所以转动副的结构特征向量能够在齿轮或轴架的坐标系下表达，其结构特征模型建立方式与基本构件结构特征模型相同，在此不再赘述。单元的结构特征模型是单元中所有基本构件和转动副结构特征模型的综合。转动副结构特征向量表示为p，则单元的结构特征模型为：

(3)

3 基本结构单元的结构空间

齿轮产品不断朝着小型化、轻量化的趋势发展，其中轮系的结构空间是影响整个齿轮传动系统结构、重量的关键因素，所以构建轮系的结构空间尤为重要。本文所研究的结构空间是指能够包容基本结构单元的最小空间。轮系中全部单元的结构空间组成了轮系结构空间，每个单元的结构空间由运动和支承结构空间构成。运动结构空间由构件在工作过程中占据的空间构成，支承结构空间由支承转动副占据的空间构成。

单元的运动结构空间主要由单元内所有齿轮占据的运动结构空间相加获得。由于轴架运动与构件或支承的运动有重合的部分，暂不考虑轴架结构空间。齿轮运动结构空间由其运动和结构类型决定。单元内的齿轮可分为定轴和行星运动齿轮，也可分为圆柱和圆锥齿轮。

(1)定轴运动齿轮的运动结构空间

定轴齿轮绕着不动的回转轴线作旋转运动，其运动空间是齿轮自身结构所占据的空间，通过相应的构件特征向量得到其运动结构空间。

(a)圆柱齿轮 (b)圆锥齿轮图6 定轴运动齿轮的运动结构空间

如图6a所示，定轴运动圆柱齿轮运动空间可用其结构向量中Sx、Sy、Sz组成的3个向量的混合积求出：

(4)

如图6b中，定轴运动圆锥齿轮的运动结构空间为：

(5)

(2)行星运动齿轮的运动结构空间

行星运动齿轮运动空间为齿轮运动过程中所占据的空间，既包括齿轮自身所占据的空间，也包括齿轮扫掠到的空间，其形状与齿轮自身结构有关，一般为圆柱体空间或圆台空间。

(a)圆柱齿轮 (b)圆锥齿轮图7 行星运动齿轮的运动结构空间

所有构件运动结构空间通过“与”运算得到基本结构单元的运动结构空间。VMi为单元中构件i的运动空间，进而单元的运动空间是VM=VM1⊕VM2⊕…VMn。

单元支承结构空间是支承转动副所占据的三维空间。支承转动副的位置及个数共同影响着支承的结构空间。基本结构单元内，支承结构空间通常指两支承转动副间的距离。根据转动副特征状态方程，能够获得支承转动副所处的空间位置，从而得到支承结构空间。

综合以上分析，基本结构单元运动和支承结构空间共同组成了复杂轮系的基本结构单元的结构空间。

4 结论

(1)通过分析复杂轮系的组成特点，提出了一类复杂轮系基本结构单元的概念，并在基本运动链的基础上，获得了12种复杂轮系基本结构单元，实现了对复杂轮系的单元化分解。

(2)复杂轮系基本结构单元的结构特征模型有效地表达了基本结构单元的结构特征以及基本构件和转动副的方位特征变换关系。

(3)复杂轮系基本结构单元的结构空间描述了运动与支承结构空间。复杂轮系结构特征模型与结构空间为复杂轮系的结构方案分析、结构空间设计奠定了必要的理论基础。