一类空气温度的随机微分方程模型

徐明明， 田德生

(湖北工业大学理学院， 湖北 武汉 430068)

对于温度问题的研究，主要有气象学和统计学两类方法。气象学的方法是通过对气象云图以及其他气象资料进行分析，综合太阳辐射、大气环流等因素进行分析预测。统计学的方法则通过收集历史数据，然后从这些数据中找出规律。统计学研究的常用方法和模型有最优子集回归，均生函数模型[2]等。随机微分方程自20世纪中叶发展起来到现在，其理论得到了快速发展，研究成果已经在金融、物理、生物、控制论、信息学等学科都有着广泛的应用，如金融经济学中的短期利率模型和二叉模型[1]、物理学中的布朗粒子逃逸问题等。本文拟研究全球气温的变化问题，根据气温变化的特点和大趋势，尝试建立相应的随机微分方程模型，并对其进行分析。

在1850年之前，地球的平均温度是相对稳定的。但在1860年之后，尤其是进入了工业社会以后，人类大量使用煤、石油等矿物燃料，排放出大量的CO2等温室气体。温室气体的排放是导致全球气候变暖的主要因素。从气象学的角度来说，温度的变化主要受太阳照射、地理位置、海拔高度等自然因素的影响，同时，气温也受到人类活动因素的影响，如近几十年温室气体的大量排放导致温度的持续上升，之后在各国的共同努力下低碳减排，尤其是联合国气候变化框架公约和《巴黎协定》等政策性文件的签订，使得全球气温的增长变慢。这说明全球气温的变化还是有规律可循的。

全球气温的频繁变化对生态环境和动植物的生存，乃至人类的生存都有较大的影响。在历史的长河中，全球气温就是一个时间序列，其变化既受到确定因素的影响(表现为增减趋势)，又受到不确定因素的影响(表现为随机的波动性)。这种表现在理论层面上，与随机微分方程解的表现有些相似。因此，本文通过研究全球气温变化特点，建立关于气温的随机微分方程模型。

1 预备知识

1.1 维纳过程和伊藤微积分

维纳过程是一个无后效性的独立增量过程，其在大于t时刻的概率特性只与t时刻所处的状态有关，而与t时刻之前的状态无关。维纳过程也称为布朗运动(Brown)过程。我们把满足以下条件的随机过程称为维纳过程或Brown运动：

1)B(0)=0；

2)B(t),t≥0是独立增量过程且具有平稳增量；

3)对于任意的t>0,B(t)是均值为0，方差为δ2t的正态随机分量。

特别地，当δ2=1时，我们称这个过程为标准维纳过程[3]或标准布朗运动。

引理1 (重对数律[4]) 对于维纳过程B(t)有

其中，sup表示上确界，a.s.表示几乎必然。

伊藤(Ito)微积分是由日本学者伊藤清在1951年首次提出的，其目的是通过引入伊藤微积分解决随机过程微积分问题。伊藤微分公式的计算规则如下：

dt·dt=dt·dB(t)=

dB(t)·dt=0,dB(t)·dB(t)=dt

考虑随机微分方程

dX(t)=f(t,X(t))dt+g(t,X(t))dB(t)

(1)

其中：f(x,y),g(x,y)是二元连续函数，B(t)是一维维纳过程。解的形式的随机过程如下：

此时方程的解X(t)称为Ito过程，或扩散过程。

引理2 (Ito公式[5])设ξ为Ito过程，即

dξ=b(t)ξdt+σ(t)ξdB(t)

如果实值函数h(t,x)对x二次连续可微。此时，η(t)=h(t,ε)也是Ito过程。有

(2)

且根据伊藤微分计算规则有(dξ)2=σ2(t)dt。

假设函数H(t)是一个左连续(适应的)局部的有界过程。令Δ>0,N=t/Δ,ti=iΔ,0≤i≤Δ，此时从0到时间t，函数H(t)关于维纳过程B(t)的Ito积分是一个随机变量

由随机微分方程的相关知识可证，该极限依概率收敛。且该随机变量的期望满足

1.2 平凡解的稳定性

考虑自治的随机微分方程问题[6]

(3)

其中b(x)，σ(x)是两个连续可微的函数，且满足线性增长条件。若同时满足条件|b(x)|+|σ(x)|

1.3 随机微分方程的数值计算

随机微分方程的数值计算方法有很多，其中比较经典的两种分别是Euler法和Milstein法。这里主要介绍一下最简单也是运用最广泛的Euler法。

对方程(1)的解在区间[t0,T]上进行离散化处理，然后利用Euler法构造方程(1)的连续解，其Euler显示迭代公式如下

X(tn+1)=X(tn)+f(tn,X(tn))(tn-tn-1)+g(tn,X(tn))(B(tn)-B(tn-1))

(4)

1.4 矩法估计

设总体ξ具有分布函数F(x,θ1,θ2,…,θk)，其中θ1,θ2,…,θk为未知参数，x1,x2,…,xn是取自总体ξ的一个样本，又假设该总体的k阶原点矩μk=Eξk存在，则有矩方程组

(5)

2 模型的建立与分析

2.1 气温变化的随机微分方程模型

世界各地的人类活动在不同时间段是不确定性的，导致全球气温改变的随机性。一般地，当前的气温值往往会影响下一时刻的温度变化。以T(t)表示t时刻的全球大气温度，这是一个时间序列。全球气温的变化只与当前时刻有关而与之前的时刻无关，即假设T(t)是一个维纳过程。因此，可用随机微分方程来描述全球气温模型。设f(t,T)表示人类活动量引起的温度T随时间t变化率，于是，可得如下的随机微分方程模型

(6)

其中：B(t)表示一维标准维纳过程；g(t,T)表示扩散系数。

2.2 气温变化的随机指数增长模型

收集1909年-2017年的全球平均温度数据，单位为作图1。

数据来源:美国宇航局戈达德研究所地球政策研究所图 1 1909年-2017年的全球平均温度

由图1可见，温度变化总体上呈现不断波动和增长势态。因此，结合式(6)，以下式来描述全球平均温度模型

(7)

式中：r表示内禀增长率,α表示噪声系数。记1909年为t=0时刻，该年的平均温度为T0,即

T(0)=T0

(8)

又记方程(7)满足初始条件(8)的解为T(t;T0)。

证明 方程(7)的系数连续可微且满足线性增长条件，因此方程(7)满足初始条件(8)的解T(t;T0)存在且唯一。

对于式(7)，由引理2Ito公式有

根据Ito微分计算规则，结合式(7)，可得

(9)

积分式(9)，并由初始条件(8)得

即

(10)

由式(10)可知，当T0>0时，恒有T(t;T0)>0,∀t>0。

证毕。

T(t;T0)的期望反映了全球平均温度的变化情况，其方差往往反映了温度的波动。下面分别讨论T(t;T0)的期望ET(t;T0)和方差VarT(t;T0)。

定理2 对于方程(7)，有

ET(t;T0)=T0exp(rt),VarT(t;T0)=

证明方程(7)的解可写为如下的随机过程

对该随机过程两边取期望，并结合引理3，有

等式两边对t求导可得

因此，对方程进一步求解可得

ET(t;T0)=T0exp(rt)

对T2(t;T0)由引理2Ito公式可得

dT2(t;T0)=(2r+α2)T2(t;T0)dt+2αT2(t;T0)dB(t)

其随机过程为

等式两边取期望有

同理，等式两边对t求导，再进一步求解可得

证毕。

考虑方程(7)的参数估计。令lnT(t;T0)=x(t)，记lnT0=x0。 则式(9)变为

(11)

对于Δt>0，以等距时间点列0,Δt,2Δt,…,nΔt。 离散化方程(11)可得

其中εi(i=1,2,…,n)是独立且均服从标准正态分布。因此由矩方程组(5)可设

解这个方程组，并且注意到有

因此

所以，有

其中，Ti表示第i(i=0,1,2,…,n)年的平均温度。

2.3 全球气温的随机阻滞增长模型

由定理2知，当t→∞时，有ET(t;T0)→∞(t→∞)， 即随着时间的推移，温度会无限增长。显然这与实际情况不符，因为自然资源毕竟有限，有限的环境条件会对温度的增长起到阻滞作用，全球温度的上升会逐渐变慢并最终会在某个温度附近波动。基于此，建立一个关于温度的随机阻滞增长模型

(12)

其中Tm表示环境容纳量，即自然资源，环境条件所能容纳的最高温度。根据引理2Ito公式有

再将式(12)代入，可得

(13)

仍记方程(12)满足初始条件(8)的解为T(t;T0)，对式(13)积分有

(14)

证明当初始值T0>0时，根据式(14)，显然有T(t;T0)>0。再对式(12)进行变形，有

(15)

则根据式(15)有T(t;T0)

证毕。

3 数值模拟

受到自然资源等各种客观因素的限制，环境容纳量的值是一定的，因此，借助R语言软件中的deSolve包对Tm值进行估计，得到的结果为Tm=16.6224。对于方程(12)其Euler显示迭代公式为

T(tn)=T(tn-1)+rT(tn-1)·

αT(tn-1)[B(tn)-B(tn-1)]

由此可以模拟得到含随机扰动项和不含随机扰动项的模型拟合效果(图2)。

图 2 模型拟合效果

图2中，直线表示不含随机扰动项的阻滞增长模型，曲线表示模型(11)所拟合的效果。由于内禀增长率r值较小，因此，不含随机扰动项的模型增长缓慢，在短期内图形呈直线增长。显然本文拟合的随机阻滞增长模型更加合理。

进一步，对全球平均温度进行了一定量的预测(图3)。

图 3 全球平均温度预测

由图3可以看出，在未来的很长一段时间内，全球平均温度还是会呈现缓慢、波动的上涨趋势。通过数据拟合得到的环境容纳量为16.6224℃，也就是说最终在上升了2℃左右温度将趋于稳定。温度首次达到这一数值的时间t=2395，也就是再过375年左右全球平均温度才会趋于稳定，达到环境容纳值。

全球平均气温上升2℃也是我们人类可以承受的极限。2015年11月30日在巴黎举办的联合国气候大会指出：如果到21世纪末，人类还无法将全球平均气温增幅控制在2℃以下，会导致海平面上升、森林火灾、水资源缺乏等一系列灾难性后果。这个结果也与2014年联合国政府间气候变化专门委员会(IPCC)在德国柏林发布的第五次评估报告的研究结果相同。这说明本文拟合出的环境容纳量的值是准确有效的。