浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用

周立树

摘要：分类讨论思想是高中数学教学中很重要的一个板块，在学习过程中随处可以见到分类讨论思想的应用。同时，现阶段高考数学中也增加了对于学生分类讨论思维的使用，考查其是否能够以更加全面的眼光、从不同的角度来看待问题，能够从各自的角度运用相同或者不同的方法解决这一特定条件下呈现出来的问题，并最终将所有答案有序地整合在一起。因此，高中数学教学过程中分类讨论思想的渗透是十分重要的一个环节。

关键词：高中数学；分类讨论思想；全面的角度

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）18-0109

一、分类讨论思想的具体含义

在高中数学的学习过程中，学生经常会遇到需要分类讨论的题目，这些题目的共同特点是需要用完整的思维来分析问题，考虑到所有可能会发生的情况。例如“当m=多少时，y=（m+3）x^（2m+1）+4x-5（x不等于0）是一次函数？”很明显，这道题目就是需要利用分类讨论的思想来解决。首先明确一次函数的定义是未知数的指数为一，而目前我们看到题目中给出的可以变化的量是（m+3）x^（2m+1），其他量已确定不能改动。（m+ 3）x^（2m+1）可以是常数项，可以是一次项，也可以是零，接下来我们需要分别对其进行分析。（2m+1）只能有两个取值，一个是0，一个是1，其他的取值都无法满足“该函数是一次函数”的限制条件。当（2m+1）等于0的时候，m的值为-1/2，此时（m+ 3）x^（2m+1）为一次项，函数为一次函数，符合题目的条件；当（2m+1）等于1的时候，m的取值為0，此时经过同类项合并函数也满足一次函数的条件；当（m+3）x^（2m+1）为0的时候，（m+3）的值为0，函数也是一次函数。从上面的分析中，我们可以看出，m的多个取值都可以满足题目中给出的条件，在解决这一个问题的过程中学生需要考虑到该函数是一次函数的条件是什么，并分别从所有的可能性出发进行讨论与探究，最终将满足问题的所有可能的答案整合出来。这就是分类思想在解决数学问题中的一个应用，由此可见，只有学生在学习过程中培养全局观念，用更加完整的思路思考答案的所有可能性，并在每一个条件之下有独立的思考能力，才能够将这一类问题完美地解答出来，才真正掌握了分类讨论思想的精髓所在，才算是学好了高中数学。

二、分类讨论思想的培养措施

为了更好地帮助学生建立分类讨论的思维，提升独立思考的能力与信息筛选与整合的能力，高中数学教师需要从以下几个方面着手。

1.夯实基础

分类讨论思想的基础是学生在遇到一个数学问题的时候能够考虑到可能发生的所有情况，这就要求学生专业知识水平过硬，对于公式定理的一些限制条件与适用范围有很深入的理解与记忆，这样才能够在遇到分类讨论问题的时候采用更加全面的思维。例如求解定义域的问题，常见的限制条件学生需要了然于心，如分母不能为0，根号下的数大于等于0等等。在解决概率统计问题的时候，学生也需要注意一些隐含条件，一些与现实情况不符的条件需要舍去。

为了更好地帮助学生夯实基础，在教学过程中教师就需要着重强调每一条公式的适用范围与限制条件，与学生一起探究每一个结论得出的前提是什么，如果条件发生了一定的变化是否还能得到同样的结论，如果结论随着条件而改变，又是怎样的关系。除此之外，教师也应该注重提升对于题目以及文字的理解能力，能够独立从所给的文字中提取出相关的信息，找到这句话中的重点是什么，条件是什么，结论是什么，附加条件又是什么，有哪些隐藏的信息等等。

2.培养独立思维

在将能够满足条件的所有可能情况考虑到位之后，学生就需要独立地将每一种情况在特定条件下的答案求解出来，这就需要学生能够具有一定的独立思考能力，而不会轻易地被其他条件所左右。例如上面的问题，在（m+3）x^（2m+1）是一次项，零项与常数项的条件下求解出来的m数值是不一样的，在每一个大类的条件下学生需要独立思考这一条途径实现的可能性。为了在平时教学的过程中实现学生独立思维的培养，教师需要在课堂上给予学生更多独立思考的机会，在小组讨论之前，教师应该首先组织学生单独思考，在有了一定的思考结果之后再进行小组内部的交流。同时，在学生向自己请教问题的过程中，教师应该以引导为主而不是直接传授给学生问题的答案，教师一步步带领学生在已给条件下探索出结果，让学生掌握解决问题的主动权，用自己的方式将问题解答出来。通过这样的形式，学生能够逐渐养成独立思考的意识与习惯，在遇到问题的时候首先想到的是自己找出解决办法而不是直接寻求他人帮助，就算是要求帮助他人也需要有一定的自己的看法与见解。

3.提升信息整合与筛选能力

在将每一种可能的情况都解决之后，学生需要对每一个结果进行筛选与分析，看看其是否符合这一个小类的条件，同时是否能够解决问题。这就需要学生具有筛选信息与整合信息的能力，对于每个求解出来的答案并不一定就是解决问题的答案，还要需要进行验证。例如运用三角形面积的函数公式求解出来的三角形面积的最大值所对应的高，在数学关系式中确实符合要求，但是可能放在图形中这个高并不能构成一个三角形。或者是最大值问题，运用导数求解出来函数的最大值可能并不在这个函数的定义域之内。这些情况都需要学生在解答完每一个小的情况之后进行筛选与总结。在平时的教学过程中，教师要给予学生更多的分类讨论题目进行训练，并帮助学生从各个环节进行突破。

分类讨论思想的教学在高中数学占有极大的比例，也是高中数学学科最为重要的思想之一，只有真正掌握分类讨论思想，才能算是真正学好了高中数学。教师需要在平时的教学中从各个角度注重学生能力的发展，引导学生掌握每一个环节的方法与技巧，最终掌握突破分类讨论问题的模式，从而提升学生的独立思维能力，帮助学生养成全局思维。

（作者单位：安徽省合肥市肥东县第二中学230000）