基于压缩感知的MIMO-OFDM系统自适应信道估计*

李姣军，蒋 扬，邱 天，左 迅，杨 凡

(重庆理工大学 电气与电子工程学院，重庆400054)

0 引 言

将多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)与频谱利用率高、抗多径干扰的正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)结合[1]可有效提高频谱利用率。随着天线数量的不断增长，热噪声对系统的影响变得微乎其微，发送给目标用户的信息对其他用户的干扰趋于消失[2-4]。为获取这些增益，基站(Base Station,BS)侧需要对发射的下行链路信道的传输信号做预编码处理，这就需要BS预先获得下行链路的信道状态信息。下行链路的信道信息获取越精确，做预编码得到的效果就越好，越能有效克服干扰和失真。为减少信道估计中导频使用开销，多数研究集中在时分双工模式下，利用上下行链路互易性避免导频开销偏大。然而，上下行链路的互易性并不严格成立，需要复杂的校准，且相干时间有限，依据互易性获得的下行链路信道状态信息(Channel State Information,CSI)准确度可能不高，难以满足基站侧预编码的要求[5]。为达到5G中对于用户体验速率的要求，超密集组网的趋势不可阻挡，为此不可避免在相邻小区使用非正交导频，其带来的干扰将严重影响信道估计准确性，限制MIMO-OFDM系统的性能，因此利用短导频进行下行链路信道估计成为当今的研究热点[6-8]。

在宽带通信系统中，信道多呈现稀疏性[9]，即信道具有很大的时延扩展，但其能量集中在少数路径上，其他路径能量很小。由于信道所具有的特性，故可以利用压缩感知技术，通过少量观测值得到良好的信道估计性能，且较于传统算法复杂度更低[10]。贪婪算法是压缩感知重建算法中一类常用算法，相较于凸优化方法，具有更低的复杂度，故而使用的更加广泛。正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)作为贪婪算法的代表算法，常用于对稀疏信道进行估计，但其在稀疏度较大时迭代时间长[11]。为减少算法迭代次数，文献[12]提出了一种变步长分段自适应匹配追踪(Variable Step Size Stagewise Adaptive Matching Pursuit，VSStAMP) 算法，以索引集原子个数来做阶段标识，在不同阶段使用变步长来扩展支撑集，以较快速度逼近真实稀疏度，但在稀疏度偏大时仍需较长的迭代时间。

针对上述问题，本文提出了一种幂函数稀疏度自适应匹配追踪(Power Sparsity Adaptive Matching Pursuit,PSAMP)算法，该算法由稀疏度预估计和追踪重构两部分构成。与传统信道估计算法相比，所提算法增加了幂函数试探进行预估计，减少了后续迭代次数，并引入回溯机制，保证了良好的信道估计性能。

1 系统模型

1.1 压缩感知基本理论

许多自然界的信号x∈N是可以被压缩的，即它们可以用稀疏信号表达出来，通常做法是将其在合适的域进行投影，这意味着x可以由N组基向量ψi(i=1,2,…,N)构成正交基字典ψ=[ψ1,ψ2,…,ψN]表示：

x=ψθ。

(1)

此时，若θ最多有K(K≪N)个非零元素，那么可以称信号x在ψ域的投影是具有K稀疏特性的。若设计一个观测矩阵Φ∈M×N，其与正交基字典相关性为零或最大限度小，用以观测信号x，则可以得到测量值y∈M，用公式表达即

y=Φx。

(2)

又由式(1)可得

y=Φx=Φψθ=ACSθ。

(3)

式中：ACS为一个M×N维的矩阵，称为感知矩阵。在已知y和ACS的前提下，可以利用l0范数意义下优化求解上述问题：

(4)

(1-δK)‖x‖2≤‖Φx‖2≤(1+δK)‖x‖2。

(5)

式中：参数δK∈(0,1)。式(4)的优化方程的求解是一个NP-hard问题，求解此类问题存在困难，需要做相应调整。文献[10]的研究表明，当观测矩阵Φ具有参数的δK∈(0,1)的RIP性质时，组合优化问题可以转换成求解最小化l1范数问题，两者可以得到同样的解。

(6)

1.2 MIMO-OFDM系统

考虑一个MIMO-OFDM系统，基站侧配置有Nt根天线，接收端天线配有Nr根，使用K个子载波，其结构框架如图1所示。

图1 MIMO-OFDM系统模型

假设系统传输模型为慢衰落频率选择性衰落信道，则可以看作在一个符号间隙内信道参数几乎不变。设插入导频数量为M，分别放置在k1,k2，…,kM上，则在接收端第j根天线上收到的导频为

(7)

(8)

则式(7)可以改写为

(9)

Yj=Φhj+Nj，

(10)

进一步写成

Y=Φh+N。

(11)

由于信道冲激响应h具有稀疏性，故可以应用压缩感知技术，利用接收信号Y和Φ重构出h。根据估计出的h，可以计算出发射端预编码的矩阵W。为方便得到预编码矩阵，令

[H11,…,H1Nt,H21,…,HNr Nt]，

则式(11)可以改写成

(12)

在采用迫零预编码的情况下，相应的加权矩阵可以表示成

W=H-1。

(13)

2 压缩感知重构算法

凭借压缩感知技术，可以在使用少量导频的情况下完成对稀疏信道h的估计，估计性能的好坏取决于导频放置方式和压缩感知重构算法的设计。本节主要考虑压缩感知重构算法的设计，分为稀疏度预估计和追踪重构两部分，其中导频位置放置方式为随机。首先给出算法的第一部分稀疏度预估方法，其思想是通过不断扩大支撑集进行匹配测试，获得的支撑集的势略小于原始信号真实稀疏度。

2.1 幂函数试探思路

由文献[13]可以给出下面预估计理论的命题：

由于上述结论是充分不必要的，因此实际使用时，通常使用其结论的逆否命题来判断对稀疏度的预估计值是否过估计。

由上述定理可以得到对稀疏度进行预估的方法：首先对K0取1，逐渐增加K0的值，直至上述不等式不成立为止。这样计算相较于传统算法可以快速得到一个稀疏度预估计值，但是逐次增加也会降低算法效率。本文引入分段思想，首先以幂函数进行试探，令步长自适应试探次数变化，这样设计可以快速逼近真实稀疏度。幂函数的基本形式如下所示：

Ki+1=Ki+「ib⎤×s。

(14)

式中：i=1,2,…,n为阶段试探次数；起始步长为s；b为控制搜索步长参数，通常设置为0.5～0.7，这样设计能在保证精度的同时以较快的速度扩大支撑集来逼近信号真实稀疏度，从而得到一个粗略估计稀疏度值，再通过小步长逐渐逼近得到准确的稀疏度估计值。

2.2 算法步骤

算法的流程图如图2 所示。

图2 算法流程图

整体算法步骤如下：

输入：感知矩阵A=XPWP，接收到的导频信号yP，标识阈值参数μ，原子筛选参数α

Step1 初始化：初始稀疏度估计值K0=1，初始索引支撑集Γ0=∅，迭代步长s，迭代次数n=1，初始试探次数i=1。

Step2 获取索引集：Γ0=max(|ATyP|,K0)，即从|A*yP|选出前K0个最大值索引存入Γ0。

Step6 计算gn=ATrn-1，获取索引集Jn=max(|gn|,2×card(Γn-1))，card(·)表示集合元素个数，即从|gn|选出前card(Γn-1)个最大元素对应的索引构成集合。

2.3 算法可行性说明

算法将对稀疏度的预估计分为两个过程，粗略试探过程和精细试探过程。在粗略试探过程，利用幂函数始终增长但增长速率缓慢的特性进行粗略搜索，得到一个粗略的稀疏度估计值；在精细试探过程，以小步长扩大支撑集进行精细搜索，可以保证获得准确的稀疏度预估值。稀疏度预估计为后面的重构提供了可靠的先验信息，提高了算法效率，避免了传统算法对步长的依赖。

根据计算得到最相关的2k个原子构成初始预选集，然后通过回溯剔除不理想原子，改善了估计结果，在保证算法重建精度的同时提高了算法抗噪性能。

在候选集无法达到要求时，需要引进新的原子进行重估，传统做法是通过原子筛选，再引进L个最相关的原子，随着支撑集的增大，排序靠后的候选原子为不理想的原子概率也增大，引入这些原子会影响重建效果。为尽量引入理想原子提高重建精度，采用弱选择原则，通过设置合适阈值来控制选择原子数量，筛选出大于一定相关性的原子加入支撑集。已有实验表明[14]，弱匹配参数α在[0.4，0.8]之间取值时可以兼顾算法性能和运算速度。

3 实验与分析

为比较所提改进的P-SAMP算法与OMP算法、VSStAMP算法及SASP算法在点对点MIMO-OFDM系统下行链路的信道估计的性能，本文进行了仿真，验证所提算法在MIMO-OFDM的下行信道估计中的优势。仿真实验所使用的环境为AMD Ryzen 2600X CPU@3.6 GHz,16 GB RAM,Matlab 2018a。假设MIMO-OFDM的天线方案为4×4，即收发天线数目皆为4根，仿真时MIMO-OFDM系统采用16QAM调制，子载波数为512,信道长度为60，并假设系统经历的是慢衰落，即信道在一个或者多个周期内保持稳定。为了简便，导频放置方式为随机放置。本节仿真中，各算法的迭代停止条件均设为‖rn‖2<ε，其中‖rn‖2代表当前阶段的残差，ε取噪声功率。采用归一化均方误差(Normalized Mean Square Error，NMSE)来衡量估计性能：

(15)

3.1 初始参数的确定

算法首先要对真实稀疏度K进行预估，得到一个略小于K的估计值K0，因此对δK值的选取十分重要。选取合适的δK会使估计出的K0非常靠近真实稀疏度K，以减少迭代次数提升算法效率。通过实验方法考察约束等距常量δK对稀疏度预估计的影响，在0.25～0.4之间每隔0.05取一个值。图3比较了K=20条件下不同δK值对稀疏度K的预估，可以看出，δK=0.35时稀疏度预估计的效果最好。同时，对δK取0.35仿真5 000次，得到预估计的K0的平均值为14.581 9，比较接近真实稀疏度K，因此以后的仿真都选取δK=0.35。在粗略试探过程阶段，选取合适的搜索步长参数b也十分重要，合适的b值能提高试探速度，因此需要考虑参数b对算法重建时间的影响。由表1可以看出，当b=0.6时，单次平均运行时间最短，故在以后的仿真都取b=0.6。

图3 稀疏度预估计

搜索步长参数b单次平均运行时间/ms0.55.290.64.930.75.17

接下来通过实验的方法考查阈值参数α对信号重建性能的影响。α在0.4～0.7 之间每隔0.1取一个值，仿真结果如图4所示，可见当α= 0.7时，信号的重建恢复率最好，因此之后的仿真都取α= 0.7。

图4 不同阈值参数α下PSAMP算法的重建恢复率

3.2 性能比较

图5对比了三种算法在不同信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)下的NMSE性能表现，这里使用的导频数为32。图中OMP算法效果不好是因为稀疏度未作为先验信息输入时，迭代次数不定，且其没有回溯机制，无法剔除选中的不理想原子，致使算法结果不好；VSStAMP算法引入了变步长思想，过估和欠估的概率下降，但扩充候选集时未引入回溯思想，容易引入大量不理想的原子，影响算法精度；本文提出的PSAMP算法首先对稀疏度进行了预估计，提高了算法效率，同时在第二阶段采用回溯机制，得到了更好的信道估计性能。由对比结果可知，VSStAMP和PSAMP算法在0～5 dB信噪比之间时相比OMP有10 dB左右的优势，且随着信噪比的增加优势依旧保持；在0～3 dB下，所提算法性能略低于VSStAMP算法。这是由于PSAMP算法在低信噪比下预估计易出现过估计的情况，进而导致估计结果不佳。在信噪比大于10 dB以后，三种算法的性能均随着SNR的增大而提高，VSStAMP算法相较OMP算法有4 dB左右的优势，PSAMP算法的NMSE曲线比VSStAMP低3 dB左右，本文提出的PSAMP算法优于其他算法。

图5 OMP算法、VSStAMP算法和PSAMP算法在不同信噪比下的均方误差

在移动通信系统中，接收端收到的信号通常因受到信道的影响而失真，因而需要进行信道估计来均衡信道带来的影响。因此，比较准确的信道估计能降低系统的误码率。图6给出了导频数为32时，所采用的三种算法在不同信噪比下的误比特率性能。从仿真结果可以看出，PSAMP算法和VSStAMP算法相较于OMP算法有明显优势，本文提出的PSAMP算法相较于VSStAMP算法在0～10 dB信噪比区间性能相近，但随着信噪比的增加，为系统带来的性能改善逐渐明显，有更低的误比特率性能；三种算法的曲线在高信噪比处都出现了不光滑的现象，这是对导频符号选取为随机导致的，后续的研究将对导频符号的选取进行优化。

图6 OMP、VSStAMP和PSAMP算法在不同信噪比下的误比特率

表2所示的是不同信道估计算法的单次平均运行时间。由表2可知，OMP 算法的运行时间最短，但在稀疏度未知的情况下估计性能较差；本文所提的PSAMP算法和文献[12]的VSStAMP算法因存在回溯机制，因而运行时间比OMP算法的运行时间长。本文提出的PSAMP算法在重构之前设计了一种幂函数预估计过程，使得后续重构阶段可以更快地逼近真实稀疏度，因此算法的运行时间低于VSStAMP 算法。

表2 不同信道估计算法单次平均运行时间

4 结束语

超密集组网不可避免在相邻小区使用非正交导频，其带来的干扰将严重影响信道估计的准确性。针对该问题，本文提出了一种使用短导频的幂函数稀疏度自适应匹配追踪(PSAMP)算法，实验仿真验证了其有效性。

本文利用压缩感知技术对稀疏信道支撑集进行追踪时，对导频符号选取为随机，尽管它可以与大部分正交基字典保持着不相关，但是仍存在小概率相关性较大，影响数据的传输。故在实际应用中，不能在每次数据传输之前随机选取导频符号，应在系统设计的阶段就将对导频符号固定下来，这对压缩感知技术在实际中的运用具有重大的意义。