一类具有适型分数阶导数的分数阶微分方程m点边值问题的正解

赵 微

(大庆师范学院 数学科学学院, 黑龙江 大庆 163712)

近几十年来，关于分数阶微分方程边值问题的研究受到了许多学者的关注，详见文献[1-5].Tian[1]运用Leggett-Williams不动点定理，研究了一类Riemann-Liouvill分数阶微分方程边值问题，得到了多个正解存在的结果.王永庆等[2]运用锥拉伸与压缩不动点定理，研究了一类Riemann-Liouvill分数阶微分方程m点边值问题，得到了正解的存在性.Khali等[3]定义了一种新的分数阶导数定义，称为“适型分数阶导数”，Adbel等[4]进一步深入研究了这种适型分数阶导数的相关性质.董晓玉等[5]讨论了上面这种具有“适型分数阶导数”的两点分数阶微分方程边值问题，得到了相关问题正解的存在性.上述文献大多采用锥拉伸与锥压缩不动点定理或者Leggett-Williams解定理，得到了分数阶微分方程边值问题正解存在的结果.费祥历等[6]引入了一种新定义的泛函，其中凹泛函、凸泛函都满足这种泛函的定义.并在此基础上，建立了关于这种泛函形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理，推广或改进了己有的许多结果.如薛益民等[7]运用的范数形式的锥拉伸与压缩不动点定理，包含在这种新的泛函形式中.因此该定理的应用范围更广泛一些.

受上述文献的启发，本文研究如下m点适型分数阶导数定义下的分数阶微分方程边值问题：

Dvu(t)+h(t)f(u(t))=0, 0

(1)

u(0)=u′(0)=0

(2)

(3)

式中:Dv、Dα、Dαi是适型分数阶导数，0<αi<α≤2

1 准备工作

为方便起见，首先给出一些必要的定义和引理，推导出相应的分数阶微分方程的格林函数，并给出格林函数的一些性质.

定义1[5]连续函数f∶(0,+∞)→R的α∈(n,n+1]阶适型分数阶导数定义为

由适型分数阶导数的定义，可知α=1时，适型分数阶导数就是传统的一阶导数的定义.

定义2[5]连续函数f∶(0,+∞)→R的α∈(n,n+1]阶分数积分定义为

其中：In+1是n+1重积分算子.

引理1[5]设α∈(n,n+1]，u∈C(0,+∞)具有α阶适型分数阶导数，则

IαDαu(t)=u(t)+C0+C1t+…+Cntn

其中：Ci∈R,i=0,1,2,…,n.

引理2给定y∈C[0,1]，则关于问题Dvu(t)+y(t)=0，0

其中

证明由引理1，可得上述问题的通解如下:

根据式(2)可知，c0=c1=0.另一方面，参考文献[10]中Dα(tp)=ptp-α，则可从式(3)中得到

经过计算可得

于是有

引理3令G(t,s)为引理2中所给，这里称其为格林函数.则它满足：

证明1) 当0≤s≤t≤1时，

当0≤t≤s≤1时，

由k(ηi,s)≤1，则可得

为方便，做如下假设：

(H2)f∶[0,+∞)→[0,+∞)是连续的.

定义算子:

引理4设条件(H1),(H2)满足，则A∶P→P全连续.

证明由引理3及算子A的定义，有

且

则显然知A∶P→P全连续.如果A有不动点u≠0，则u是问题(1～3)的正解.

定义3(Property A)[6]称P上非负连续泛函ρ∶P→[0,+∞)满足PropertyA，如果

ρ(λx)<ρ(x)，∀x∈P{0}，λ∈[0,1)

显然，ρ(0)<ρ(x)，∀x∈P{0}.

注1由上述定义3可知，凹泛函、凸泛函、次线性泛函都满足Property A[6].因此这类定义的泛函范围更广一些.

2)ρ(Tx)≥ρ(x)且Tx≠x，∀x∈P∩∂Ω.

则必有i(T,P∩Ω,P)=0.

2 主要结论

定理1假设(H1,H2)满足，如果存在常数a和b，0

∀b2l≤u≤b2l-1

∀u≤a2l-1

则问题(1～3)至少存在一个正解.

证明根据定理条件，注意到u≤b2l-1，则有

令

于是ρ∶P→[0,+∞)是非负连续泛函且ρ(u)=0⟺u=0，当u∈P{0}时，

λ∈[0,1)

说明ρ满足PropertyA.

取Ω1={u∈C[0,1]|ρ(u)

因此，有

根据引理6可以得到

i(A,P∩Ω1,P)=0

(4)

如果u∈P∩Ω2，则有

假设A在P∩∂Ω2上没有不动点.

如果u∈P∩∂Ω2，根据引理3，有

根据引理5可知：

i(A,P∩Ω2,P)=1

(5)

由式(4)和式(5)易得

定理2假设(H1)，(H2)满足，如果存在常数a和b，0

∀u≤8b3l-1

∀8a3l≤u≤8a3l-1

则问题(1～3)至少存在一个正解.

证明根据定理条件，注意到

8b3l-1<8l2a3l-1=8a3l

令

于是ρ∶P→[0,+∞)是非负泛函且ρ(0)=0.

上述意味着ρ∶P→[0,+∞)是非负连续泛函.

进一步可以得到ρ(u)=0⟺u=0，且

∀u∈P{0}，λ∈[0,1)

说明ρ满足PropertyA.

假设A在P∩∂Ω1上没有不动点，则由引理5得

i(A,P∩Ω1,P)=1

(6)

再根据引理3有

假设A在P∩∂Ω2上没有不动点，则根据引理6有

i(A,P∩Ω2,P)=0

(7)

注2本文应用了两个不同的满足Property A的泛函.通过计算不动点指数，得到了适型分数阶微分方程边值问题(1～3)至少有一个正解存在的结果.值得指出的是，在定理1中所用的泛函既非凸泛函也非凹泛函，这类泛函较以往所用的范围更广.如薛益民等[10]运用的Guo-Krasnosel’skii’s不动点定理，是非负连续泛函，就包含在这种新定义的泛函中，也可以用本文中提到的这类新泛函不动点定理来证明解的存在性.

例1考虑如下的分数阶微分方程：