旋涡声散射的空间尺度特性数值研究*

王益民 马瑞轩 武从海 罗勇 张树海†

1) (中国空气动力研究与发展中心,空气动力学国家重点实验室,绵阳 621000)

2) (中国空气动力研究与发展中心,计算空气动力研究所,绵阳 621000)

3) (中国空气动力研究与发展中心,气动噪声控制重点实验室,绵阳 621000)

旋涡对声波的散射问题是声波在复杂流场中传播的基本问题,在声源定位、声目标识别及探测、远场噪声预测等方面具有重要的学术研究价值和工程应用价值,如飞行器的尾涡识别、探测及测距,湍流剪切流中声目标预测,声学风洞试验中声学测量和声源定位等.声波穿过旋涡时会产生非线性散射现象,其物理机理主要与声波波长和旋涡半径的长度尺度比相关.本文采用高阶精度高分辨率线性紧致格式,通过求解二维非定常Euler 方程,数值模拟了平面声波穿过静止等熵涡的物理问题.通过引入声散射截面法,分析了不同声波波长与旋涡半径的长度尺度比对声波脉动压强、声散射有效声压以及声散射能量的影响规律.研究表明:随着声波波长与旋涡半径的长度尺度比逐渐增加,旋涡流场对声场的影响逐渐减弱,声散射有效声压影响区域先逐渐增大随后逐渐减小,声散射能量最大值呈现4 种不同的变化阶段.

1 引言

旋涡对声波的散射问题是声波在复杂流场中传播的基本问题,在声源定位、声目标识别及探测、远场噪声预测等方面具有重要的学术价值和工程应用价值,在大气声学、水声学、气动声学中都有广泛应用,如飞行器的尾涡识别、探测及测距,湍流剪切流中声目标预测,声学风洞试验中声学测量和声源定位等.近场声源向远场辐射的声波须穿越以旋涡为主导的非均匀流场,声波会发生折射、散射等现象,统称为广义散射[1].

在航空声学风洞试验中,当气流吹过试验段中的模型时,会产生噪声.为了避免传声器阵列对流场演变产生影响和自噪声的产生,一般将其置于气流之外.当模型产生的气动噪声到达流场外的传声器阵列时,风洞出口形成的剪切射流会对声波产生折射、散射等干扰,精确定位声源需要对传声器阵列所测声信号进行校正,系统掌握声波穿过旋涡主导复杂流场的传播规律是研究声信号校正方法的重要支撑.

1957 年,Ribner[2]和Miles[3]分别采用几何声学方法对声波穿过两种不同流速流体形成的交界面时发生反射、全反射、折射等现象进行了分析,发现声波入射角、反射角以及折射角都与流体马赫数相关.后来,Amiet[4,5]和Schlinker[6]发现平行剪切流动的厚度对声波穿过平行剪切流动的折射效应影响较小,可以忽略,并采用理论分析方法研究了声波穿过剪切层的折射特性,给出了声波校正公式,该公式已经成为现在风洞试验中普遍采用的噪声校正方法.但Amiet 等采用的是理想的平行剪切层,与实际情况有着明显的偏差.实际剪切层是一个随时空演化的涡层,其强度、结构和厚度随时间和空间而变化.随后很多学者[7−24]尝试对其进行改进,改进方式主要分为两种思路;一是从传统声学方法和剪切层形成的多种因素(风速、扩张角、厚度、强度)入手来完善Amiet 理论,二是以Candel,Colonius 为代表的学者[15,16]希望从旋涡声散射机理研究中找到剪切层修正的理论依据.

第一种思路偏向于工程应用.张雪等[7]采用线化欧拉方程(linearlised Euler equations[8],LEE)计算了二维高斯脉冲声波穿过无厚度剪切层的声场,并对Amiet 理论进行了验证.张军等[9]通过声学风洞试验对比分析了4 种不同剪切层修正方法,发现当气流马赫数Ma≤0.3,测量角 40°≤Θn≤140° 的条件下,各种方法和Amiet[4,5]方法对声波相位修正的精度误差小于1%.张军等[10]提出了一种适用于空间弯曲剪切层的三维剪切层相位修正方法,扩展了剪切层相位修正的应用范围,但是这类基于几何声学的修正方法只适用于高频声波.倪章松等[11]对开口风洞剪切层的参数影响和流场特性进行了深入研究,发现开口风洞剪切层的轴向速度剖面强自相似.王李璨等[12−14]采用LEE 数值模拟了声波穿过自相似风洞剪切层的声场,并对剪切层的厚度、扩张角和强度对声传播和声源定位进行了系统研究,随后发展了一套三维剪切层修正方法,并运用到了三维热射流剪切层中声波传播、声源定位与修正问题的研究中[14].但LEE 方法有其自身的局限性,LEE 忽略了背景流场与声波的非线性作用,特别是在温度较高的热射流中可能会影响最终结果的精度.

第二种思路更注重于理论研究.1979 年,Candel[15]首次采用数值计算的手段研究了旋涡声散射问题,数值求解了近似抛物方程,并且提出对于声波穿过剪切层的研究应该以声波与单个旋涡相互作 用的机 制为基 础.1980 年,Schlinker 和Amiet[6]对声波穿过剪切流动的散射效应进行了实验研究,发现声波垂直于开口射流中心轴线时,散射影响最小.1994 年,Colonius 等[16]采用数值模拟和声比拟理论,系统研究了声波穿过旋涡的散射特征,比较了观测位置和旋涡强度对声散射的影响,指出了传统声比拟理论的局限性,发现对于紧致涡,声比拟理论是有效的,而对于非紧致涡,声比拟理论结果与DNS 结果存在很大差异.2004 年,Symons 等[17]采用LEE 模拟了低频声波在大气湍流中传播发生散射的现象,但是缺乏对高频声波的声散射特性方面的研究.文献[18−21]采用点声源替代了经典的平面声波模型,研究了Rankine 涡对长波声散射的影响,得到了与前人一致的结果.2012 年,Cheinet 等[22]采用二阶中心差分格式,通过求解LEE 数值模拟了声波穿过马赫数Ma≤0.125 的涡流场.但是为了获得高分辨率的散射声场,二阶格式所需网格规模比高阶格式大很多.Ke等[23]采用高阶WENO(weighted essentially nonoscillatory)格式数值模拟了声波穿过单个静止旋涡、静止旋涡对和运动旋涡对的情况,发现当低频声波穿过低马赫数的涡流场时,散射声场才满足随距离呈“ 1/r”衰减的规律.最 近,Clair 和Gabard[24]采用LEE研究了运动旋涡声散射的频谱展宽特性以及与波长的关系,并采用Helmholtz数对声波与旋涡的尺度进行了分类,但是关于声波波长与旋涡声散射的影响机制仍停留在定性关系.

尽管旋涡声散射问题已经研究了几十年,但是关于声波波长对旋涡声散射的影响研究很少,并且理论和实验研究难以获得不同声波波长穿过旋涡后的散射声场,同时现有的数值模拟大多采用LEE,忽略了不同波长的声波与旋涡的非线性耦合作用.因此,本文借助高精度高分辨率线性紧致格式来求解非定常Euler 方程,并引入声散射截面方法对声散射能量进行定量分析,重点研究声波波长与旋涡涡核半径的长度尺度比对旋涡声散射的影响规律.首先通过高阶精度高分辨数值方法模拟不同声波波长的平面声波穿过静止等熵涡,获得高分辨率的散射声场,并验证数值方法的有效性;其次,对比分析脉动压强和散射有效声压与声波波长的关系;然后,使用声散射截面法计算声散射能量,对比分析声散射能量与观测半径的关系;最后给出了声散射能量最大值随声波波长的变化规律.

2 理论方法

2.1 控制方程

大多数文献采用LEE 求解旋涡声散射问题,然而当声波波长远小于旋涡半径时,声波与旋涡相互作用会产生非线性耦合效应,此时LEE 会失效.本文采用二维Euler 方程进行旋涡声散射计算,其守恒形式为

其中,U为守恒变量,具体形式为

其中,ρ是流体介质密度,u和v分别是x和y方向上的速度分量,E是单位体积的总能量,定义为

式中,p是流体介质的压强;γ是比热比,对于空气γ的值可取为1.40;F和G分别为x和y方向的无黏流通矢量,表达式为

2.2 数值方法

声学脉动量和流体动力学量之间数量级的差异很大,一般在4 个数量级以上[1],所以计算气动声学问题需要数值格式具有高精度、高分辨率、低色散和低耗散等特性.本文采用六阶线性中心紧致格式[25−27],具体形式为

为了减小计算量,选用三对角形式,故各系数为

由于中心格式没有数值耗散,长时间计算不稳定,需引入空间滤波法.本文采用Lele 的空间紧致滤波[25],具体形式为

本文选取八阶精度的空间紧致滤波格式,则N4,详细参数可以参考文献[27].

时间推进采用四阶Runge-Kutta 方法[28],具体形式为

2.3 物理模型

物理模型如图1 所示,一个波长为λ的平面声波从左往右穿越一个涡核半径为Rc的等熵涡,在Rc处速度达到最大,为,此时环量为.计算域包括物理域和缓冲层[29].其中,物理域是边长为的正方形区域.缓冲层为图1 中灰色区域,x方向宽度为.另外半径为r的虚线环线表示观测声散射环线.

图1 平面声波穿过旋涡的示意图Fig.1.Schematic diagram of acoustic wave propagating through a vortex.

2.3.1 声波初始条件

平面声波采用单频正弦形式,无量纲形式为

其中,ρa,ua,va,pa分别表示平面声波的密度 脉动、x方向速度分量、y方向速度分量、脉动压强;ε是声波幅值;是角频率,其定义为

其中,c∞是声速,f是声波频率,定义为

2.3.2 旋涡初始条件

静止等熵涡[30,31]的初始条件:

速度初始分布为

涡量的初始分布为

密度和压强的初始分布为

其中,无量纲化采用无穷远处的密度ρ∞、声速c∞、压强p∞,且满足,γ=1.4.旋涡强度为,r是旋涡半径,其定义为

其中 (xv,yv) 是旋涡的中心.

2.3.3 缓冲层

添加缓冲层是为了抑制边界处的声波反射和避免从边界外引入伪波,保证物理域计算结果是纯净无污染的.本问题中,声波反射主要发生在出口边界处,而入口边界和上、下边界处基本无反射,故在出口边界处添加缓冲层,其具体形式为

其中,

其中,x(i) 是x方向网格节点i上的坐标值,xout是缓冲层开始处的坐标值,Lx是x方向边界处的坐标值.Uv是旋涡流场的初始值,是一个定常的空间分布量.另外系数σ的大小根据需要来选取,一般取0.1.

2.3.4 声散射计算方法

声波穿过旋涡发生散射,散射的压强分量定义[23]为

其中,p(x,y,t) 是声波与旋涡相互作用的瞬时流场压强.pa(x,y,t) 是对应声波在没有旋涡的自由空间中传播的瞬时脉动压强,是一个随时间变化的非定常量.pv(x,y,t) 是对应旋涡(本文为静止等熵涡)的压强,是一个确定的压强分布.(x,y,t) 是声波与旋涡相互作用发生散射的瞬时脉动压强.ε是入射声波的幅值,psc(x,y,t) 是声波与旋涡相互作用发生散射的脉动压强(x,y,t) 与入射声波幅值ε的比值,即采用入射声波幅值ε进行无量纲化.

通常采用散射脉动压强的均方根prms代表旋涡对声波散射的强弱,定义[23]为

其中,dt是计算时间步长,T是统计总时间.即,在一个给定的时间T内,对散射瞬时压强psc(x,y,t)的平方取时间平均的均方根值,称之为散射有效声压prms(x,y).平面声波穿过旋涡发生散射达到周期性后开始进行数据统计,为了减小随机性误差,本文在流场达到周期性稳定后再记录20 个周期来计算散射有效声压prms(x,y).

在Colonius 等[16]、Clair 和Gabard[24]的研究中,仅采用某个固定半径处圆周上的散射有效声压prms(x,y) 来表示散射的强弱以及空间分布情况,难以直观地比较不同情况下的散射强度.为了进一步比较分析不同声波波长对旋涡声散射的影响机制,本文引入声散射截面(acoustical scattering crosssection,ASCS)方法[32−34].声散射截面是一种分析声散射能谱的方法,一般应用在三维流场结构或物体对声波的散射现象分析中,例如声呐、水下遥测、海洋声学、声空化和医疗及工业超声波等.为了分析二维旋涡声散射能谱,其定义为

即以旋涡中心为圆心,在观测半径r的圆周上,对散射有效声压prms(x,y) 的平方进行积分,得到该半径r圆周上的声散射能量.

2.4 数值验证

为了验证计算结果的可靠性,本文采用Colonius 等[16]和Clair[24]的算例进行数值计算,并与文献数据进行对比验证.

无量纲计算设定c∞1,ρ∞1,Rc1,旋涡强度为Mv0.125,平面声波波长λ4Rc.声学脉动量和流体力学量一般相差4—5 个量级,为了使平面声波处于线性扰动区,声波压强幅值大小为ε10−5p∞.为了保证旋涡计算的精细程度,一般在一个旋涡核半径Rc之内有8—10 个点;为了保证平面声波的分辨率,一个波长λ之内有20 个点,故 ∆x∆ymin{Rc/10,λ/20}.当声散射稳定后,开始统计声波脉动,并持续20 个周期,时间步长满足c∞∆t/∆x0.1.

旋涡强度Mv0.125,核半径Rc1 的静止等熵涡的初始分布情况如图2 所示.

图2 静止等熵涡初始分布 (a) 密度;(b) 速度;(c) 压强;(d) 涡量Fig.2.Initial distribution of stationary isentropic vortices:(a) density;(b) velocity;(c)pressure;(d) vorticity.

数值计算结果与Colonius[16]和Clair[24]的结果对比如图3 所示.数值计算结果与Clair[24]和Colonius[16]中结果符合很好.这证明了本文数值计算结果的可靠性.

图3 散射有效声压在半径为 r =8Rc 圆周上的分布及其与文献[16,24]的对比Fig.3.The distribution of root-mean-square pressure of scattered wave on a circle with radius 8 Rc (comparison between numerical results and that of reference[16,24]).

3 数值结果与分析

为了更好地说明旋涡声散射与声波波长与旋涡半径的长度尺度比的关系,定义声波波长与旋涡半径的长度尺度比为rL,

通过改变长度尺度比rL的大小来研究声波波长对旋涡声散射的影响情况.

3.1 脉动压强与声波波长的关系

研究声波脉动压强与长度尺度比rL的变化情况,可以更深入了解长度尺度比rL对声场的影响情况.声波脉动压强定义为

其中,(x,y,t) 是声波与旋涡相互作用后,减去旋涡背景流场后的声波脉动量,p′(x,y,t) 是将声波脉动量(x,y,t) 与入射声波幅值ε的比值.

图4 给出了声波脉动压强云图随着长度尺度比rL大小的变化情况,图中黑色圆表示旋涡的涡核位置情况,声波脉动压强取值范围为 [ −1.0,1.0].从图4 可以看出,当rL0.1 时,旋涡左侧的声波脉动压强几乎没改变,在旋涡右后方出现了大片“空白”的低脉动区域,近似于没有声波的“真空地带”,而声波被挤压到了“真空地带”的上下两侧,在上方形成了一个三角区,内部具有一定结构;在下方形成了一条类似于压缩波的粗线.当rL0.5和rL1.0 时,真空地带在逐渐减小,上下两侧向内展开.特别是当rL>5.0 时,声波脉动压强几乎不发生改变,波阵面呈初始的垂直于x轴的直线.因此,随着长度尺度比rL的增大,旋涡流场对声场的影响逐渐减小.

图4 声波脉动压强随长度尺度比 rL 的变化云图 (a) rL=0.1 ;(b) rL=0.5 ;(c) rL=1.0 ;(d) rL=5.0 ;(e) rL=10.0 ;(f) rL=20.0Fig.4.The contour of the change of acoustic wave pressure with the length-scale ratio rL : (a) rL=0.1 ; (b) rL=0.5 ;(c) rL=1.0 ;(d) rL=5.0 ;(e) rL=10.0 ;(f) rL=20.0.

在复杂流动中,旋涡流场的非均匀性会导致声场分布和传播性质的显著变化以及绕射和散射[35].平面声波波阵面穿过旋涡后,由于旋涡的非均匀分布会在旋涡后方上下两侧形成两个主干涉条带和多个次级干涉条带,且干涉条带整体形状呈半弧形,这说明越靠近旋涡涡核,散射越强.本文中的旋涡均为逆时针旋转,且当rL0.5 和rL1.0 时涡核内部的声波波阵面由竖直变为逆时针旋转了一个角度,且从左向右,角度逐步增大,这也说明旋涡内的速度对声波波阵面产生了一定的偏折.

3.2 散射有效声压与声波波长的关系

图5 给出了散射有效声压prms随着长度尺度比rL的变化情况,图中黑色圆表示旋涡的涡核位置,散射有效声压prms的取值范围为 [ 0,3.0].从图5 可以看出,声散射基本发生在旋涡右后方.当rL0.1 时,在旋涡位置处有清晰的回纹结构,并在右上方一定倾角处呈三角形排列着多个红色的“尖峰”.当rL0.5 和rL1.0 时,相比于rL0.1,旋涡附近结构消失了,右上角只剩下一个减弱的红色“尖峰”,位置更接近于旋涡边缘.当rL5.0 时,红色“尖峰”包裹着旋涡正上方,且在右下方也产生了另一个近似对称的红色“尖峰”,后方的影响区域分开,并向两侧扩展.当rL10.0 时,红色“尖峰”进入到旋涡内侧且处于右下角,并且影响区域呈蝴蝶状.当rL20.0 时,影响区域再次大幅减小,只在旋涡涡核位置还有微弱影响.此外,随着长度尺度比rL的增大,红色“尖峰”的值从2.5 左右降到了0.1 左右.

为了进一步考察散射有效声压随长度尺度比rL的变化情况,选取观测半径为r8Rc圆周上的散射有效声压分布进行分析比较,如图6 所示.可以看出,当rL0.1 时存在多个波峰波谷,随着长度尺度比rL的增大,波峰数量减少;当rL4.0 和rL5.0 时,角度在 [ −90◦,90◦] 范围有两个高波峰,角度在 [ −180◦,−90◦] 和 [ 90◦,180◦] 范围内有两个即将突起的小波峰;当rL10.0 和rL2 0.0 时,直接出现4 个不同高度的波峰,并且随着长度尺度比rL增大,[ −90◦,90◦] 角度范围内的波峰高度逐渐减小,而 [ −180◦,−90◦] 和 [ 90◦,180◦] 范围内 波峰高度逐渐增大.另外,峰值最高的两个波峰都在 0◦附近,并且当rL0.1 和rL0.5 时最高 波峰在 0◦右侧,而rL>1.0 时最高波峰在 0◦左侧.因此,随着长度尺度比rL增大,最高波峰从 0◦右侧转变到左侧,即最高波峰从旋涡右上方转变到了右下方(如图5所示).

图5 散射有效声压prms随长度尺度比rL 的变化云图 (a) rL=0.1 ;(b) rL=0.5 ;(c) rL=1.0 ;(d) rL=5.0 ;(e) rL=10.0 ;(f) rL=20.0Fig.5.The contour of the change of the root-mean-square of scattering pressure with the length-scale ratio rL :(a) rL=0.1 ;(b) rL=0.5 ;(c) rL=1.0 ;(d) rL=5.0 ;(e) rL=10.0 ;(f) rL=20.0.

图6 散射有效声压在半径为 r =8Rc 圆周上的分布 (a) 全局图;(b) 局部放大图1;(c) 局部放大图2Fig.6.The distribution of root-mean-square pressure of scattered wave on a circle with radius 8 Rc :(a) Global;(b) zoomed 1;(c) zoomed 2.

为了研究散射有效声压最大值随着长度尺度比rL的变化,本文统计了散射有效声压最大值及其位置半径和角度随长度尺度比rL的变化情况,如图7 所示.可以看出,当rL≤1.0 时,散射有效声压最大值的大小及位置变化剧烈.当rL>1.0 时,散射有效声压最大值prmsmax逐渐减小,如图7(a)所示.对于散射有效声压取最大值时的观测半径R,当rL∈[1.0,6.7] 时,R(prmsmax) 在 2.0 左 右; 当rL≥6.8 时,R(prmsmax) 在0.5 左右.对于散射有效声压取最大值时位置点的角度θ,当rL≤5.9 时,θ(prmsmax)∈[20◦,60◦] ;当rL≥6.0 时,θ(prmsmax)∈[−80◦,−40◦],并且当rL≥7.5 时,θ(prmsmax)−63.6◦保持不变(如图5 中rL10.0 和rL20.0).

图7 散射有效声压最大值随长度尺度比的变化曲线 (a) 散射有效声压最大值;(b) 散射有效声压最大值点的半径;(c) 散射有效声压最大值点的角度Fig.7.The curve of the root-mean-square pressure of scattered wave with rL value:(a) prmsmax ;(b) R (prmsmax) ;(c) θ (prmsmax).

3.3 声散射能量与声波波长的关系

本节采用声散射截面法计算了声散射能量随观测半径R的变化情况,结果如图8 所示.可以看出,当rL∈[0.1,5] 时,声散射截面Σ的值随观测半径R先增大,后减小,随后趋近于某个值保持不变.特别是当rL0.1 时,声散射截面Σ在随观测半径R增大过程中出现了两次小的波动(如图8(a)所示),第一次是近似正弦波动变化,在R0.3 处到达波峰,随后在R0.4 处到达波谷.第二次是以R0.78 为中心的近似立方抛物线增长的变化.当rL0.2 时,总散射截面Σ在随观测半径R增大过程中出现近似正弦波动变化(类似rL0.1 的第一次波动),在R0.66 处到达波峰,随后在R0.8处到达波谷.当rL∈[6,30] 时,总散射截面值Σ(R0.5) 随着尺度比rL的增大而增大,原来Σ(R2.0) 左右处的峰值随着尺度比rL的增大而减小(如图8(c)所示),并且在rL10.0,rL20.0和rL30.0 时,总散射 截面峰 值Σ(R0.5) 呈 平方倍数增长.

图8 声散射能量 Σ 随观测半径 R 的变化曲线 (a) rL ∈(0.1, 1.0) ;(b) rL ∈(2.0, 5.0) ;(c) rL ∈(6.0, 30.0)Fig.8.The curve of acoustical scattering cross-section with observed radius: (a) rL ∈(0.1, 1.0) ; (b) rL ∈(2.0, 5.0) ;(c) rL ∈(6.0, 30.0).

为了研究发生声散射最强时的位置和能量变化情况,统计了图8 中每条曲线的峰值Σmax及所在的观测半径R与长度尺度比rL的变化关系,如图9 所示.在文献[15−23]中,声波散射随着波长的增大而减小,但我们的计算中高频声波与旋涡的相互作用具有较强非线性.随着长度尺度比rL的增大,散射截面最大值Σmax的变化情况呈现了4 个阶段的变化(如图9(a)中的I,II,III,IV4 个阶段),采用分段有理函数拟合,得到:

图9 声散射能量随 尺度 比的变化曲线 (a) Σmax ;(b)R(Σmax)Fig.9.The curve of acoustical scattering cross-section with rL value:(a) Σmax ;(b) R (Σmax).

其中,yi(i1,2,3,4) 表示声散射截面最大值Σmax,x表示长度尺度比rL.图9(a)中黑色圆点表示数值计算结果,红色曲线是上述4 条分段拟合曲线.从图9(a)可以看出,拟合曲线与数值计算结果完全符合.

从(23)式可以看出,在第I 阶段,散射截面最大值Σmax与长度尺度比rL立方的倒数成正比;在第II,III,IV 阶段,散射截面最大值Σmax与长度尺度比rL平方的倒数成正比,如下式:

图9(b)给出了散射能量在不同长度尺度比rL中取最大值时的观测半径R,其随着长度尺度比rL的变化情况.当rL≤1.25 时,观测半径R出现了图9(a)中类似的波动,但并不是直接相关;当rL∈[1.25,9.6]时,观测半径R基本在2.2 附近;当rL≥9.7 时,观测半径R直接跳到了0.5 处.这是由于总散射截面值Σ(R0.5) 处在逐渐增大,恰好在观测半径R9.7 处超过总散射截面值Σ(R2.3),与图8(c)的结果一致.

3.4 物理机理的初步讨论

根据吴介之[35,36]关于波涡相互作用的研究结果,“波与涡之所以能相互作用,是因为涡中本来就有波,或者有形成波的条件.换言之,波涡相互作用的核心是涡流中不稳定波的受迫激发和入射波与不稳定波之间的耦合”.声波是一种纵波,对外的表现为膨胀过程,对流场而言,则是一种微弱的强迫扰动.因此平面声波从开始接触到穿越旋涡的整个过程,入射声波刺激旋涡向外辐射不稳定波.不稳定波与入射声波会发生线性叠加和非线性耦合两种作用,最终表现为散射波形态,如图4 中的干涉条带.

对于本问题,同一个旋涡,同一振幅的声波,唯一的变量就是声波的波长.对于物理图像来说,声波波长变化给人最直观的感受是波阵面的密集程度,如图4 所示.特别是声波波长越小,在旋涡涡核内声波波数越多,如图4(a)—(c)中有多个声波,而图4(d)—(f)中一个整周期声波都没有.另外声波以声速传播,相同时间传播的距离是一个常值,波长越小,单位时间通过旋涡的整周期声波越多,如图10 所示.

图10 声波幅值随时间的变化曲线Fig.10.The variation of acoustic wave amplitude with time.

分别采用长度为4 的三个波形(λ1,2,4)穿过涡核半径为1 的旋涡,得到散射压强分布,如图11 所示.长度为4 时,具有4 个λ1 的完整波形,2 个λ2 的完整波形,1 个λ4 的完整波形.从图11 可以看出,当λ1 时,声散射压强最强;即相同时间情况下,波长越小,声波穿过旋涡后的散射压强越大.

图11 声散射压强云图 (a) λ=1 ;(b) λ=2 ;(c) λ=4Fig.11.The contour of sound scattering pressure:(a) λ=1 ;(b) λ=2 ;(c) λ=4.

另外,波长越小,角频率ω¯2πc∞/λ越大,声波幅值变化越快,即作用在旋涡的强迫扰动变化越快,受激辐射的不稳定波也越强.然而,波长越小,单个波长的声波波阵面越容易被破坏,如图4(a)中涡核内部的波阵面直接断裂向后偏移,而图4(b)和图4(c)涡核内部声波波阵面仅仅是偏折一定角度.此时强不稳定波与结构遭到破坏的波阵面在向后传播的过程中,发生了强非线性作用,使得后方的干涉条带向两侧偏折角度大,直接导致旋涡正后方的空白区域,且产生很多细小的结构,如图4(a)中旋涡后方的散射图像.总的来说,声波波长越小,旋涡受激产生的不稳定波越强,声波波阵面越容易被旋涡破坏,随后二者的强非线性作用导致旋涡后方的散射图像越复杂.如图4 所示,当声波波长逐渐增大,涡核内部声波波阵面从断裂到偏折角度,直至未发生改变,对应着旋涡后方干涉条带从两侧逐渐向内靠拢,直到后面未发生改变.

散射有效声压表示的是散射波变化的一种累积效应,凸显的是波动变化强弱的空间位置.当声波波长较小时(如图5(a)—(d)),波动持续最强的空间点处于旋涡涡核后方,且波长越大,越靠近涡核边界.当声波波长较大时(如图5(e)和图5(f)),波动持续最强的空间点处于涡核内部右下方.详细分布可以参考图7(b),当rL≥6.8≈2.2π 时,声波与旋涡相互作用最强是在旋涡 0.5Rc处;当rL≥1.0时,声波与旋涡相互作用最强是在旋涡 2Rc处;当rL<1.0 时,声波波阵面的破坏程度不一,形成细小结构与强不稳定的非线性作用,无法形成一个近似稳定的最强相互作用区间,所以最强相互作用点在来回振荡.

散射能量随长度尺度比变化整体呈现的是一种下降趋势(如图9 所示),但当rL<1.0 时内部反复振荡,同散射有效声压的变化类似,当然具体的物理机理还需要进一步的研究阐释.

4 结论

本文对正弦声波与静止等熵涡相互作用进行了数值模拟.通过改变旋涡左侧入射声波的波长,研究了不同波长的声波对旋涡声散射的影响规律,得到了以下结论.

1)声波穿过旋涡发生散射现象,旋涡前方声场基本不受影响,声波波阵面保持完好;在旋涡正后方声场略偏下位置会形成真空区域,以及上下两侧会形成两个主干涉条带和多个次级干涉条带.随着声波波长增大,声散射逐渐减弱,旋涡对声场的影响逐渐减小.

2)声散射有效声压影响区域主要集中在旋涡后方,随着长度尺度比增大,影响逐渐增大且向上游扩展,随后影响区域逐渐减小到旋涡附近.当长度尺度比rL≥6 时,声散射有效声压最大处位置从旋涡右上方跳转到右下方.

3)声波波长变化对声散射能量影响分为三部分:当长度尺度比rL∈[0.3,6] 时,声散射能量随观测半径的增大,先增大,再减小,最后基本保持不变;当长度尺度比rL<0.3 时,在声散射能量增大的过程中还有一定的波动;当长度尺度比rL>6时,在观测半径R0.5 处声散射能量与长度尺度比呈平方增长,而观测半径R2 左右处声散射能量逐渐下降.声散射能量最大值随长度尺度比的增大,呈现出4 个不同阶段.

需要注意的是,本文只研究了二维无黏静止等熵涡这一模型问题,没有考虑旋涡的运动形式.事实上,运动旋涡可以分解为绕轴心自旋和位移运动两种模态,所以运动旋涡相对于静止旋涡本质上增加了位移运动模态.只需为旋涡添加速度和运动轨迹就可以研究旋涡位移运动对散射声场的影响,尤其是位移引起的多普勒效应.同时,本文所述的方法没有考虑黏性对旋涡声散射的影响,因此该方法只适用于无黏或黏性很小的声散射数值计算,如运动旋涡声散射、固体壁面(圆柱体、矩形块)散射等数值计算.对于考虑黏性的影响,需将控制方程由Euler 方程改为Navier-Stokes 方程.