谈如何借“求联”助“倍”的概念有效形成

宋春霞　马宁

数学概念是客观事物的空间形式与数量关系的本质特征在人的思维中的反映。它既是一种观念形态也是一种思维形式，这些观念形态是从客观现实中抽象出来的。数学概念既是学习数学知识的基础，也是运算能力、思维能力、空间观念等学科核心素养形成的前提条件。“倍的认识”是两个数之间的关系由“差比”拓展到“倍比”，是小学阶段一个重要的数学概念。该概念的教学理应成为核心素养视野下教师教学关注的焦点。下面谈谈在“倍的认识”教学中，如何借助“求联”的方法，在数学课堂教学中沟通知识之间的联系，构建新的知识体系。

一、读懂教材，明晰知识脉络

读懂教材是教师的基本功。读懂教材是了解文本内容、理解文本内涵、明晰知识脉络的过程。读懂教材也是分析教材的过程，通过对教材的分析，理解“倍”的概念本质。

首先，明确文本内容，知道本课教学内容涵盖哪些知识点？“倍的认识”是人教版三年级上册的教学内容。若选取B作为标准，那么A里面有几个标准，我们就说“A是B的几倍”。所以“几个几”是建构“倍的认识”的基础，是两个量比较的结果由“差比”到“倍比”的拓展。

其次，明晰知识脉络，了解这个教学内容的基础是什么？它将为后续的哪个知识作铺垫？在小学数学体系中处于什么位置？

对于两个量之间的关系，小学数学教材是按照由“差比”到“倍比”再到“分数”，最后延展到“百分数”的顺序推进的，两个量之间从差比转到倍比是一个拓展，而倍与分数、百分数、比之间则是相通的，关键在于教师如何引导学生在辨析中准确发现他们之间的“同”。

二、前后贯通，构建知识网络

小学生的知识基础、认知水平、生活经验等存在差异，只有读懂学生，教师才能准确地确定教学起点。读懂学生后再审视教材、设计教学时，教师便能从学生的视角分析教材，按照学生的思维方式预设，充分展现学生的认知历程。教学“倍的认识”前，教师需要清楚地了解这个教学内容的基础是什么？

（一）分析学情，明晰从哪来

学生在一年级下学期已经掌握了用差比的方法表示两个数量比较的结果。二年级上册乘法口诀的教学材料中对“几个几”的认识是按照“找→摆→画”的呈现顺序，从借助图形直观表现到逐步过渡到用数轴、汉字笔画等抽象表达，如“木、森、森林”的笔画数问题。对于“比一个数的几倍多（少）几”，在二年级已经出现原型，通过以形助数的方式帮助学生理解了“乘加”“乘减”就是先求几个几，再加或减去不足1份的那个数。

（二）分析教材，了解在哪出发

前测问题是：你听说过“倍”吗？你怎么理解？试着举例说一说。我们一起走进学生，看看学生的前测卷。学生一：我听说过倍，如12÷6=2，2是倍数，我认为倍数是除法算式中的商。学生二：我也听说过倍，10是5的倍数;4是2的倍数。学生三：两个数量间有可能存在倍，例如10朵花是5朵花的2倍。

从前测卷中了解到，学生们听说过倍，认为倍数在除法里，倍是两个量之间的关系。通过前测卷得出结论：学生对两个数的比较最熟悉的就是比多少，也有少部分学生有倍比的经验，教师通过提问及时找准学生的认知起点，同时让学生明白数量之间除了相差关系之外还有倍数关系，开门见山地引入本节课的主题，为学生进一步学习作好准备。

三、课堂教学实施策略

小学数学中的概念教学应该遵循学生的认知规律，并且要符合小学数学概念思维的特征，经历理解—掌握—运用—形成概念的过程。基于对课标、学情和教材的深入解读，结合三年级小学生的认知特征，我们通过以下三个层次促进课堂教学。

（一）引入“倍”的概念，思维方法上求联

概念的引入是概念教学的起步。它是培养和激发学生学习兴趣，调动其学习积极性的必要环节，直接关系着学生对这一概念的认识、理解和掌握。在导入部分，笔者专注于思考如何把新知识的学习和现有经验相互联系。

活动1：重现“原型”，产生概念。从主题图中搜集的两种萝卜数量的比较入手分析，教师提出问题：“对比两种萝卜的数量，你有什么发现？”唤醒学生已有知识和生活经验，激活学生的“原型”认知。在对比过程中，引领学生理解两个数量之间的比较除了可以一个一个地比，还可以一组一组地比。理解“倍也是比较两个数量关系的一种方法”，同时渗透一一对应的思想，初步感知可用相差关系及倍数关系表示两个数量比较的结果。

活动2：在形式转换中体验本质。用小棒替代主题图中的萝卜后，让学生思考：“现在它们的关系还是3倍吗？”让学生体会到“情境、图形等不同的表征形式，对倍的本质意义并没有影响”。

（二）丰富“倍”的概念，表征方式上求联

活动1：经历操作，创作一个“2倍”关系的图。画图能有效外显学生对概念的理解情况。通过“创作一个‘2倍关系”的画图活动，直观形象地展示出两个数量之间的倍比关系，使学生感受到在比较倍数关系时要明确是谁和谁比，体验到倍数不变时，总数随着标准数的变化而变化，帮助学生在求同中完善对“倍”的认识。

活动2：体悟变化，创作一个喜欢的倍数。第一次“画一画”可让学生自主确定倍数，思考后再画出。学生在第一次“画一画”中经历体验到当标准不变时，总数随着倍数的变化而变化，同时教师要通过追问：“10倍行吗？100倍行吗？1000倍呢？”引导学生体验到倍的数量的无限性。

学生在经历了第一次操作体验之后，可以安排第二次“画一画”，之后全班交流，根据学生的汇报，教师提问：“第二行数量保持不变，为什么两行之间的倍数关系却在变化？”一石激起千层浪，该问题引发学生的认知冲突，带着困惑感受“标准”的重要性，从而对“倍”的认识更加深刻。同时，学生还可以体验到当总数保持不变时，标准的个数变化能够引起倍数的变化。对于“谁是谁的1倍”这个难题也设置环节予以解决，引导学生正确理解：当A和B两个量相同时，既可以说A是B的1倍，也可以说B是A的1倍。

经历两次“画一画”的过程后，学生感悟到倍的本质是两个数量在比较，选取其中一个量作为标准，再看另一个量中包含了几个标准就是它的几倍。由此帮助学生深度理解倍的含义，并建立起数学模型，同时初步渗透了正、反比例的思想。

（三）建构“倍”的模型，学习内容上求联

活动1：提供变式，体验本质。呈现第1组材料，让学生在第1组素材中的三个量之间找寻倍数关系，提高对倍的概念的灵活应用。再次让学生感受到“倍”是在两个量相比较中产生的。通过“9”在“9是3的3倍，18是9的2倍”中的切换， 感悟到“9”是个多重角色：既可作标准量也可作比较量，从而引导学生有序思考。

还可以变式练习：如果没有图，只有这三种圆的数量，如何知道两种不同颜色的圆中谁是谁的几倍？一种圆的几倍是多少？如此设计也为后面学习“倍的解決问题”作了铺垫。

第2组素材是从长方形到线段的抽象过程，既可以培养学生的图形意识，也为学习有关倍的解决问题作好铺垫。因为长方形可以表示1个物体，如1棵树、1辆汽车……也可以表示一个整体，如6棵树、60辆汽车……让学生初步体会从一道题发展到一类题。

第3组变式素材是无序排列的8朵紫花、4朵黄花。学生通过观察发现，必须将无序排列的两类物体先进行整理，其实在整理的过程中学生就已经自觉地将实物比较转化为数之间的比较了。

活动2：呈现反例，凸显本质。如果更改紫花的数量，再添2朵紫花，使图中的黄花与紫花之间不存在整数倍的关系，这是一个倍数的“错误结构”模型。首先让学生找一找两者之间的关系，学生因为有乘加、乘减的知识基础，能说出紫花的朵数比黄花的2倍多2个（也可以说为3倍少2个），与二年级学习的乘加、乘减问题无缝对接。适时追问：“怎么变化，就能使紫花的个数正好是黄花的2倍（3倍）呢？”鼓励学生进行逆向思维。

这个反例根据倍的概念的本质，以问题进行驱使，鼓励学生通过思辨错误来加深对“倍”的认识和理解。

（责任编辑  吴淑媛）