4～6岁幼儿有参照估数能力的发展特点

王晶 张俊

[摘 要] 估数能力是个体数概念发展的重要组成部分。本研究以南京市某幼儿园中班和大班共111名幼儿为研究对象，调查4～6岁幼儿有参照估数能力发展的特点。结果表明，大班幼儿有参照估数能力显著高于中班幼儿;幼儿有参照估数的精准性受到待估数量的影响，待估数量越大精准性越低;情景抽象程度对幼儿有参照估数精准性的影响不显著;幼儿使用的估数策略是影响其有参照估数精准性的重要因素，幼儿运用“参考量比较”策略时估数精准性较高，幼儿不明确或无法说出估数策略时精准性较低;待估数量与参考量越接近，使用“参考量比较”策略的幼儿越多。成人应注意引导幼儿认识到估数是一种解决日常生活问题的有效方法，从小数量入手开展适合幼儿的估数活动，并引导幼儿分享估数策略。

[关键词] 4～6岁幼儿;数量估计;有参照估数;估数策略

一、问题提出

数学作为一种技能在日常生活中被广泛运用，但数学在生活中的运用并不总是力争要得到一个精确的答案。现实生活中人们每天要面对大量的数和量方面的信息，很多时候特别是在一些特定情景中，需要运用数学相关知识和技能对数和量的信息进行模糊的、近似的处理，即估计。估计是日常生活中被广泛应用的一种技能，例如估计现场大概有多少人看比赛，估计完成家务大约需要多长时间。已有研究发现估计与其他数学能力具有密切的相关性，是一种灵活应用数学知识的适应性问题解决方式，这种问题解决方式正是当代数学教育的一个基本目标。[1]

估计按照操作任务的差异通常被划分为三个类别：数量估计（numerosity estimation）、测量估计（measurement estimation）和计算估计（computational estimation）。[2][3][4]其中测量估计简称估测，布莱特（Bright）将其定义为一种在不使用一般测量工具的情况下，根据某种方法推测出测量结果的心理加工过程。[5]计算估计简称估算，道克（Dowker）把计算估计定义为在不进行精确计算的情况下，对算术问题的近似答案做出一个合理的猜测。[6]数量估计简称估数，本研究结合已有研究对估数概念的界定，[7][8][9]将估数定义为在没有足够时间数出物体的数量，或要数的物体数量过大以及非静止的物体根本无法做出计数等情况下，通过一定的策略对实物集合给出一个近似的基数值。索德（Sowder）认为估算、估测和估数各需要不同的理解和技能，虽然估测和估数需要某些相关的技能，但估测是对连续量的估计，而估数是对离散量的估计，因此两者也是不同的。[10]

目前，美国、日本、英国和荷兰等国家已陆续将估计的相关内容纳入数学教育中，我国最早是在1999年教育部颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用修订版）》中正式强调了估计教学的重要性。但各国的数学课程目标设置中基本只强调了小学及以上年龄段的估计教学，并且由于该年龄阶段更注重儿童的计算能力，因此多为与估算相关的内容，与估测和估数相关的内容涉及较少。[11][12][13]由于估测和估算能力的发展需要建立在精准测量和计算的基础上，难度较大且不适用于幼儿阶段的数学教育。估数相对更容易被幼儿所掌握，尤其借助参考量进行估数能够丰富幼儿的估数策略，有效且快速地提高幼儿的估数能力。有参照估数能力的发展是幼儿估数从生疏向熟练转换的重要过程，因此本研究聚焦探究幼儿有参照估数能力的发展特点。

估数作为一种数量加工方式与精准计数不同，估数体现的是一种通過感性经验进行数量鉴别和判断的能力。已有研究证明，幼儿已具备初步的估数能力，并提出了要关注幼儿估数能力的发展和培养。[14][15][16][17]但目前国内外关于估数的研究主要集中在中小学阶段，包括对估数的数量表征方式、精准性、策略运用和教学等方面的研究。[18][19][20][21][22]关于幼儿估数和幼儿有参照估数的研究很少，也没有详细介绍幼儿估数时参考量的运用情况。已有研究中关于情景抽象程度的差异对幼儿有参照估数精准性的影响是否显著，还未形成统一结论，[23][24]有待研究者进一步探究，以期丰富该领域的研究，进而帮助幼儿园教师在更全面地了解幼儿估数能力发展特点的基础上，引导幼儿在日常生活中积累估数经验和解决相关问题。

二、研究方法

（一）研究对象

已有研究发现，有无参考量对小班幼儿的估数没有影响，中班幼儿才开始表现出对参考量的初步利用和把握。[25]因此本研究选取南京市某幼儿园两个中班和两个大班共111名幼儿作为研究对象。中班幼儿年龄4～5周岁，平均月龄为61.81个月（SD=3.36），男生31名，女生27名，共58名。大班幼儿年龄5～6周岁，平均月龄为74.45个月 （SD=3.72），男生32名，女生21名，共53名。

（二）测查工具

已有研究中关于估数情景的抽象程度对幼儿有参照估数的精准性是否有影响，还未形成统一的结论。[26][27]本研究参考已有研究所涉及的估数情景，选择从具体逐渐过渡到抽象的实物呈现方式、实物图片呈现方式和数点呈现方式作为探究幼儿有参照估数能力的三种情景，测查任务也因此分为三部分。三种情景下的待估数量均为：数量15、数量20、数量35、数量50，且不同情境和待估数量下提供的参考量均为数量10。

1. 实物呈现情景下幼儿有参照估数能力的测查。

根据赵振国已有相关研究中的估数测查工具改编而成。[28][29]测查材料是将直径为1.5 cm、边缘和中心厚度分别为0.2 cm和0.1 cm的黑色4孔纽扣，均匀地粘在厚度约为0.2 cm的A4纸张大小的白色纸板上，纽扣之间的间隔距离大致相等，随机排列成不同的圆形或椭圆形。

2. 实物图片呈现情景下幼儿有参照估数能力的测查。

根据本研究中实物呈现情景下有参照估数的测查工具改编而成。测查材料是用数码相机从正上方拍摄实物呈现情景下的测查材料（粘有不同数量纽扣的硬纸板），拍摄后统一处理为与A4纸张相同大小的图片，图片背景为白色，图片上的纽扣图案为黑色。

3. 数点呈现情景下幼儿有参照估数能力的测查。

根据本研究中实物呈现情景下有参照估数和实物图片呈现情景下有参照估数的测查工具改编而成。测查材料是用计算机在A4白色纸上打印黑色圆点，黑色圆点的大小、间隔及排列形式与实物呈现情景下的纽扣一致。

（三）测查程序

主试核对测查工具和材料，并将测查工具正面朝下摆放整齐，以免幼儿提前看到。带领幼儿到熟悉的教室，和幼儿建立融洽的关系。测查之初主试请幼儿先对参考量10进行估计，并通过点数来确认所提供的参考量确实是10。同时，为了避免情景呈现的先后顺序对幼儿有参照估数的结果产生影响，测查过程中按顺序轮换呈现实物、实物图片和数点情景的任务及相关材料，（如A幼儿呈现情景的顺序是：实物—实物图片—数点。B幼儿呈现情景的顺序就是：实物图片—数点—实物。C幼儿呈现情景的顺序则是：数点—实物—实物图片。依此类推）每种情景下的待估数量（15、20、35、50）各测查1次，即每种情景共测查4次。其中参考量10呈现3秒，待估数量15、20呈现4秒，待估数量35、50呈现5秒。

测查指导语如下（以数点情景为例）：“小朋友，请你不要数，来看看这里大概有多少个黑色圆点？”（主试拿出参考量，呈现3秒钟后收起，等待幼儿给出估计值）“那请你数一下这里有多少个黑色圆点？”（再次呈现参考量直至幼儿点数清楚）“小朋友，你看这里（手指在参考量上画一圈）是你刚才数过的黑色圆点，一共有10个，现在请你根据这些黑色圆点（手指在参考量上再画一圈），不要数，来看看这里（手指在待估数量上画一圈，并在X秒后收起）大概有多少个黑色圆点？”（幼儿给出答案后追问，并记录幼儿回答的内容）“你是怎么知道的呢？”

测查过程中主试将幼儿的基本信息、估数结果和所观察到的幼儿动作及语言记录下来，并根据表1对幼儿的有参照估数进行计分。三种情景下各有4个待估数量（也就是4个题目），只有幼儿进行“合理的估数”时才能计1分，其他情况均计0分。因此，每种情景的满分为4分，三种情景满分共12分。

主试在测查过程中要着重观察幼儿估数时的眼部、头部和手部动作，以及幼儿的语言，并追问幼儿所运用的策略，对幼儿的行为和语言进行客观地记录。虽然主试在测查过程中强调“不要数，来看看这里大概有多少颗纽扣”，并且通过控制待估数量呈现的时间使幼儿无法在短时间内完成点数，但依旧有很多幼儿快速点数了一部分数量后，根据所点数的数量进行估数，即“利用数数”策略。因此，本研究参考克里蒂斯（Crites）对估数策略的分类方法：不知道、眼球效应、基准比较、分解—重组、其他。[30]将“利用数数”这一策略从“其他”中提取出来，单独作为一类估数的重要策略进行统计，最终确定幼儿有参照估数的策略为6种：不知道、眼球效应、参考量比较、分解—重组、利用数数、其他。“不知道”是指幼儿不能对自己的估數给出相关的解释，如幼儿回答“我不知道”或选择沉默;“眼球效应”指的是幼儿通过眼部直觉对待估物体进行估数，如幼儿回答“我是看出来的”“看起来像XX”或伴有明显的眼部动作等;“参考量比较”是指幼儿将待估物体的数量与所给参考量或自己设定的参考量进行比较，如幼儿回答“这个比10多一点”“这个和刚才的差不多”等;“分解—重组”是指幼儿把待估物体分解成不同的部分，然后通过重新组合进行估数，如幼儿回答 “有4个10”“一共3排，每排10个”等;“利用数数”指幼儿通过点数一部分数量来估计整个集合的数量，如观察到幼儿头部和眼睛有明显的点数动作，或幼儿回答“我没有数完，一起好像有40个”;除此之外，当主试无法通过分析幼儿的动作和语言判断出所运用的具体策略时，则归入“其他”，如幼儿回答“我妈妈告诉我的”“猜/想/感觉出来的”（但没有具体说明是如何“猜/想/感觉出来的”）等。

整个测查由3名主试轮流进行。每次测查由1名主试单独负责，时间控制在10～15分钟。测查结束后，主试给幼儿发放小礼品，以表示对幼儿的鼓励和感谢，并将幼儿安全送回所在班级或教室。

（四）重测信度和评分者信度

1. 重测信度。

本研究通过对同一群参与者进行两次测查（间隔一个星期左右），分析两次测查的误差程度，考察测查工具是否具有重测信度。表2中的数据显示前测和后测结果在0.05水平上显著相关，即本研究具有较高的重测信度。

2. 评分者信度。

本研究的主试及评分者共有三人，为保证研究数据收集的客观性，本研究通过检验评分者A、B、C三者之间的评分是否一致，来衡量主试的评分者信度。

表3中的数据显示主试A、B、C三者评分结果之间的肯德尔和谐系数为0.992，经检验χ2=86.304>χ2（29）0.05=42.56;χ2=86.304>χ2（29）0.01=49.59，求得W值达到极显著水平，说明三名评分者评定的结果一致性很高。

（五）数据的处理

本研究运用SPSS对数据进行分析和汇总，首先对测查工具进行重测信度分析，再进行评分者信度分析，最后分析幼儿年龄、估数情景和待估数量对幼儿有参照估数发展水平的影响及策略运用的情况。

三、研究结果与分析

（一）三种情景下幼儿对不同数量进行合理估数的占比

本研究发现（见表4和表5），中班和大班幼儿三种情景下对数量15、20、35、50的有参照估数4个水平的百分比各不相同。中班46.6%的幼儿在三种情景下都能够对数量15进行合理的估数（水平4），伴随三种情景下待估数量的增大，能够进行合理估数的幼儿百分比呈现下降趋势。以实物情景为例，待估数量从15向50递增，合理估数的幼儿百分比则从46.6%下降至13.8%。估数情景的抽象程度越高，能够进行合理估数的幼儿总占比越少，数点情景下合理估数的幼儿总占比<实物图片情景下合理估数的幼儿总占比<实物情景下合理估数的幼儿总占比。

大班超过一半的幼儿在三种情境下能够对数量15和数量20进行合理的估数。与中班幼儿不同，大班幼儿没有表现出伴随待估数量的增大则能够进行合理估数的幼儿百分比下降的趋势，也没有发现估数情景的抽象程度越高则能够进行合理估数的幼儿总占比越少的趋势。由此可见，中班和大班幼儿三种情景下的有参照估数能力发展存在差异，中班幼儿的合理估数能力受待估数量大小和情景抽象程度的影响大于大班幼儿。

（二）年龄、情景、数量对幼儿有参照估数发展水平的影响

本研究对幼儿有参照估数能力的发展水平进行了数据收集和处理，并对数据进行2（年龄）×3（情景）×4（数量）的混合因素方差分析。数据显示（见表6），年龄的主效应显著，F（1，109）=21.38，P<0.0005，η2=0.16，大班幼儿（M=0.47，SE=0.04）有参照估数的发展水平显著高于中班幼儿（M=0.24， SD=0.03）。数量的主效应显著，F（3，327）=45.83，P<0.0005，η2=0.30，随着数量的增加，幼儿有参照估数的发展水平逐渐降低。对数量15的有参照估数发展水平（M=0.58，SE=0.04）显著大于对数量20（M=0.41，SE=0.03）、35（M=0.23，SE=0.03）、50（M=0.22，SE=0.03）的有参照估数发展水平，对数量20的有参照估数发展水平显著大于对数量35、50的有参照估数发展水平。但对数量35和50的有参照估数发展水平差异不显著，其他主效应和交互作用均不显著，Fs<2.18。

（三）幼儿有参照估数策略运用的特点

1. 中、大班幼儿的估数策略分析和比较。

本研究通过卡方检验，发现中班和大班幼儿在各种策略的运用上差异显著，χ2=115.41，P<0.0005。如表7所示，分别有26.4%的中班幼儿和19.2%的大班幼儿不能说出有参照估数时所运用的策略。中班幼儿幾种策略运用的百分比相差较大，其中“参考量比较”策略运用的最多，“分解—重组”和“利用数数”策略运用得很少。大班幼儿虽然也是“参考量比较”策略运用的最多，但几种策略运用的百分比相差较小。

2. 中、大班幼儿合理估数时的策略分析和比较。

本研究通过卡方检验发现中班和大班幼儿在合理估数情况下各种策略的运用差异显著，χ2= 46.99，P<0.0005。如表8所示，幼儿估数合理时运用策略“参考量比较”的占比与其他非参考量比较策略的占比差异明显，其中运用 “参考量比较”策略的幼儿最多，占比31.9%，而其他非参考量比较的策略占比相对较少，如“不知道”占比6.3%、“眼球效应”占比18.0%、“分解—重组”占比10.9%。除此之外，当幼儿不明确或无法说出估数策略时精准性较低。中班幼儿较多运用“眼球效应”“参考量比较”和“其他”策略，较少运用“不知道”“分解—重组”和“利用数数”策略。大班幼儿则较多运用“参考量比较”策略，其他的策略运用较少。

3. 幼儿有参照估数过程中对参考量的运用情况。

本研究的111名被试中共有50人在有参照估数过程中运用了参考量，占总人数的45.0%，其中中班有22人，大班有28人。本研究发现幼儿运用参考量进行估数主要有三种情况：“利用参考量进行比较”，指幼儿将待估物体的数量与参考量进行对比;“利用参考量进行分解—重组”，指幼儿将待估物体的数量按照参考量进行分解和重组;“回看参考量的眼球效应”，指幼儿在估数过程中伴有明显的观看参考量的眼部动作。其中“利用参考量进行比较”的幼儿最多，占比56.60%;“利用参考量进行分解—重组”的幼儿占比18.24%;“回看参考量的眼球效应”的幼儿占比25.16%。所有被试中有12名幼儿在运用参考量进行估数时，并不是只运用了三种策略中的某一种策略，而是同时运用了三种策略中的两种及以上。

本研究发现幼儿在运用参考量进行估数时，随着待估数量的增大，参考量的运用逐渐减少，对数量15、20、35、50进行估数时运用参考量的次数，占总体的百分比分别是44.7%、28.3%、14.5%、12.6%。除此之外，本研究还发现，不同幼儿在同样的有参照估数任务中会选择运用不同的策略，如实物呈现情景下对数量35的估数，有的幼儿运用“参考量比较”策略，有的幼儿则运用“分解—重组”策略。同一个幼儿在不同的估数任务中所使用的估数策略较一致，但也出现了根据情景呈现顺序先后和待估数量的不同而运用不同估数策略的情况，如幼儿A在所有的估数任务中大多运用“眼球效应”策略，但在实物呈现情景下对数量50进行估数时运用了“参考量比较”策略。

四、讨论

（一）幼儿有参照估数精准性的年龄特点

已有研究认为估数精准性受个体差异的影响较大，不同年龄阶段的幼儿具有不同水平的估数能力，幼儿的估数精准度随着年龄的增长而提高，[31][32][33][34][35]然而目前针对幼儿的有参照估数精准性的研究并不多。本研究通过对幼儿有参照估数的精准性测查发现，中班幼儿的有参照估数发展水平处于“合理估计”的比例为24.4%，大班则上升到47.1%。这种年龄差异不仅体现在不同的估数情景中，还体现在对不同数量进行估数的过程中。三种情景下，中、大班幼儿有参照估数的精准性均具有显著的差异，且三种情景下，大班幼儿的有参照估数精准性均高于中班。对不同数量的有参照估数，大班幼儿的精准性也均高于中班。

中、大班之所以在有参照估数精准性方面具有显著差异，一方面是因为幼儿有参照估数的能力与其数感、数概念和视觉空间认知能力等方面的发展息息相关，伴随年龄的增长，幼儿各方面及整体的数学能力逐渐增强，有参照估数的精准性也因此越来越高。另一方面，已有研究发现，幼儿估数的精准性与有效的估数策略运用之间存在正相关的关系。[36][37]本研究中所列出的“眼球效应”“参考量比较”“分解—重组”“利用数数”均属于有效的估数策略，估数时大班幼儿运用以上四种估数策略的占比为62.8%，高于中班幼儿的占比52.5%，因此大班比中班表现出较高的有参照估数发展水平。

（二）估数情景对幼儿有参照估数精准性的影响

本研究发现三种情景下幼儿有参照估数精准性的差异不显著，一方面由于中、大班幼儿均处于以具体形象思维为主的发展阶段，还未完成向抽象逻辑思维的过渡，因此在估数时不易受到情景抽象程度这一因素的干扰。另一方面，为了最大限度减少排列方式、待估物体差异等因素对幼儿有参照估数的干扰，本研究的测查工具与已有研究不同，以粘有黑色纽扣的白纸板作为实物呈现情景，以粘有黑色纽扣纸板的照片作为实物图片呈现情景，以计算机随机打印的黑色圆点作为数点呈现情景。虽然三者的抽象程度不同，但肉眼感知到的差异并不十分明显，这也是导致三种情景下幼儿有参照估数精准性差异不显著的原因之一。

除此之外，本研究还分别对中班和大班三种情景下有参照估数精准性的差异进行分析，发现大班幼儿的有参照估数精准性在三种情景两两之间的差异不显著，中班幼儿的有参照估数精准性在三种情景两两之间的差异边缘显著，且实物呈现情景总分的均值>实物图片呈现情景总分的均值>数点呈现情景总分的均值，即估数情景越抽象中班幼儿的有参照估数精准性越低，这符合幼儿思维发展从具体到抽象的特点。

（三）待估数量对幼儿有参照估数精准性的影响

本研究结果显示，幼儿对数量15、20、35、50的估数精准性差异显著，随着待估数量的增大，幼儿有参照估数的精准性递减，待估数量的大小是影响幼儿有参照估数精准性的重要因素。待估数量与参考量相差的大小也是影响幼儿有参照估数精准性的一个重要因素，待估数量与参考量相差越大，幼儿有参照估数的精准性就越低。这一结果与已有研究结果一致。[38][39]首先，因为随着待估数量的增大，幼儿所需处理的信息量会随之增加，进而延长估数的反应时间，由于测查时有回答时间的限制，所以幼儿在短时间内处理较大数量的估计，会比处理较小数量的估计更困难，进而影响了估数的精准度。其次，由于幼儿对小数量的感知经验比对大数量的感知经验更丰富，对小数量的感知能力也比对大数量的感知能力更强。最后，由于本研究提供的参考量是10，待估数量15、20、35、50与参考量的接近程度依次越来越低，因此幼儿将待估数量与参考量进行对比时，两者相差越小，越利于幼儿根据参考量进行估数，估数的精准性也就越高。

本研究在探究幼儿对数量15、20、35、50有参照估数精准性的两两之间的差异时，发现幼儿除了对数量35、50有参照估数精准性的差异不显著，对其他数量两两之间的差异均显著。一方面是因为数量50虽然比数量35大，与参考量的接近程度也更低，但数量50是参考量10的整倍数，而35不是参考量10的整倍数，在一定程度上会影响幼儿有参照估数的精准性。另一方面，由于数量50和35与其他待估数量相比是较大的数量，且两者相差不多，不利于幼儿精确分辨两者之间的差异，因此幼儿表现出的对数量35和50的有参照估数精准性差异不显著。这说明，数量大到一定程度之后，对估数精确性的影响便不再显著。

（四）幼儿有参照估数策略运用的特点

已有研究认为估数策略的运用会影响估数的精准性，在策略的选择方面虽有不同，但通常也具有共性。[40][41][42][43][44]本研究发现大多数幼儿在进行有参照估数时运用“参考量比较”“不知道”“其他”“眼球效应”的策略，较少有幼儿运用“分解—重组”和“利用数数”的策略。一方面是因为“分解—重组”策略的运用需要幼儿具备较强的“分与合”“整体与部分”等相关数学能力和经验，是一种较难的策略。另一方面，“利用数数”所涉及的点数能力虽然中班和大班幼儿已能够熟练掌握，但在测查时主试为了强调任务是“估数”而不是“数数”，会说“请你不要数，来看看这里有多少”，这在一定程度上会降低幼儿运用“利用数数”的策略的可能性。

本研究还发现幼儿有参照估数合理时，大多运用的是“参考量比较”策略，而当幼儿不明确或无法说出估数策略时，估数的准确率也随之下降。由于“参考量比较”策略需要幼儿在理解什么是参考量的基础上，利用参考量与待估数量进行对比来完成估数，所以这是一种较有效的估数策略，能够在一定程度上幫助幼儿精准估数。另外，幼儿在进行有参照估数时更善于将与参考量接近的待估数量与参考量进行对比，本研究为幼儿提供的参考量是10，待估数量15、20、35、50与参考量相差依次越来越多，研究结果显示幼儿对参考量的运用也越来越少。这说明待估数量与参考量差额的大与小，是影响幼儿有参照估数时是否运用参考量进行比较的关键因素。

五、教育建议

（一）引导幼儿认识到估数是一种解决日常生活问题的有效办法

数学因其结构的逻辑性、推理的严谨性和结论的精准性，作为一种技能在日常生活中被广泛运用，但数学在生活中的运用并不总是力争要得到一个精确的答案。很多时候我们面对大量的数和量方面的信息，短时间内无法快速给出一个精确的答案或无须精准计数时，可以通过估数对其进行模糊的、近似的处理。因此，引导幼儿认识到估数是一种解决日常生活问题的有效办法至关重要。例如，天空中有成群的鸟儿快速飞过，我们想知道鸟儿的数量却没办法数清楚时;到池塘边看鱼，想知道大概有多少条鱼却无法进行一一点数时。教师和家长都可以引导幼儿通过估数来解决这些问题，进而让幼儿认识到估数是解决日常生活中遇到的各种各样数学问题的有效方法之一。

（二）引导幼儿在日常生活中积累估数的相关经验

本研究发现，幼儿在进行估数时经常会联系到日常生活中的一些经验，例如“这些糖果好像和昨天那些豆子一样多”。估数源于生活，应该在生活中积累经验，再运用于生活之中。家长和教师是幼儿重要的教育者和引导者，幼儿估数经验的积累不仅可以在幼儿园的教学活动中进行，更需要在幼儿园及家庭的日常生活中进行。因此，建议教师和家长在了解幼儿估数经验的基础上，利用生活中常见的事和物为幼儿创设熟悉的估数情景，例如“猜猜看我们家的鞋柜里大概有多少双鞋？”“今天班级里大概来了多少客人老师？”帮助幼儿在日常生活中积累估数经验，进而不断提高估数能力和问题解决能力。

（三）开展多样的具有年龄适宜性的估数活动

本研究发现，不同年龄阶段的幼儿具有不同水平的有参照估数能力。中班幼儿处于估数能力发展的起步阶段，多数能够合理完成对数量15的有参照估数，少数能够合理完成对数量20、35和50的有参照估数，对估数概念和应用场景的理解还不完整。大班幼儿的有参照估数水平高于中班幼儿，大多数处于“合理估计”的水平，能够合理完成对数量15和20的有参照估数，少部分幼儿能够合理完成对数量35和50的有参照估数。因此，教师和家长在与幼儿进行相关互动时可以从小数量入手，引导幼儿先理解估数的定义和意义，在此基础上为幼儿提供多样的、丰富的估数情景和动手操作的材料，并逐步提高估数游戏的难度。

（四）鼓励幼儿关注参考量和分享估数策略

估数并不是没有规律地胡乱猜测，需要运用相应的估数策略。本研究发现，有效的估数策略能够提高估数的精准性，随着估计者年龄的增长，估数策略的选择也随之发生改变。参考量的提供能够丰富幼儿估数策略的选择和运用，进而影响估数能力的发展，少数的中班幼儿表现出对参照量的初步利用和把握，超过一半的大班幼儿能够运用参考量进行估数。因此，教师和家长日常与幼儿进行估数相关的互动时，可以引导其关注参考量，鼓励幼儿分享所运用的估数策略，进而提高合理估数的能力。例如：“你刚才是根据这个盒子里的15个橘子来猜这个筐里橘子的数量吗？可以告诉我你具体怎么猜的吗？”

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Abstract： Numerosity estimation is an important part of mathematical concepts. The study selected 111 children from K2 and K3 classes in a kindergarten in Nanjing to investigate the development characteristics of reference numerosity estimation of 4～6 years old children. Results showed that K3 children outperform K2 children significantly. The size of quantity significantly affects both ages： they perform at lower level with the quantity increased. The abstraction of situation has no significant effect on the accuracy of reference numerosity estimation while estimation strategies used by children have. Children using “benchmark comparison” are likely to get better results， but children who could not tell correctly their strategy often estimate wrong. Children tend to use “benchmark comparison” strategy when the size of estimated number is closer to reference number. Adults should guide children to realize that numerosity estimation is an effective way to solve problems in daily life. Children should start with small quantity in developmental appropriate activities organized by adults for them， and be encouraged to share their estimation strategies.

Key words： 4～6 years old children， numerosity estimation， reference numerosity estimation， numerosity estimation strategy