分析实验中有效数字的运算法则

赵新颖 危 晴 曹奇光 袁 騉

(北京电子科技职业学院，北京 100176)

确定了数值的有效数字位数，并按照修约原则修约后，还要对有效数字进行运算。运算法则主要有加减法、乘除法和连续运算法则。

1 运算法则

1.1 加减法

以小数点后有效数字位数最少的数值为依据，对其他数值的有效数字进行修约后，再进行运算。如：0.0243、7.1058、70.06、164.2和1000的连续加和运算，需要以小数点后有效位数最少的164.2为依据，对其他数据进行保留1位小数的修约，再进行加和运算，结果为1241.4。也可以164.2为依据，对其他数据进行保留两位小数的修约，加和运算后结果为1241.39；再以164.2为依据进行修约得到1241.4。二者结果完全一致。值得注意的是0.0243，如果保留1位小数修约结果为0.0，则记为0.0，说明该数值对运算误差没有影响(表1)。减法、加减混合运算也遵循该法则。

表1 有效数字加减法运算分析

1.2 乘除法

以所有参与运算的数值中相对误差最大的数值为依据，确定有效数字的位数，然后对其他数值进行有效数字修约，再进行运算。如：0.0243、7.1058、70.06、164.2和1000的乘除法运算(0.0243×7.1058×70.06×1000÷164.2)。

首先，分别计算所有数值的绝对误差和相对误差。如：7.1058的有效数字为5位，可能产生的绝对误差为小数点之后第四位，即±0.0001，则相对误差为：[(±0.0001)÷7.1058×100%=(±0.001)%]。

然后，将所有数值按照相对误差由大到小排列：0.0243、1000、164.2、70.06、7.1058。

第三，选择相对误差最大数值确定有效数字保留位数，并以此为依据对其他数值进行有效数字修约。如：0.0243的相对误差为(± 0.41)，在上述5个数值中最大，以它为依据确定有效数字保留3位，其他数值修约后为1000、164、70.1、7.11；或者多保留一位有效数字，即4位有效数字，其他数值修约后为1000、164.2、70.06、7.106。

最后，进行计算。保留3位有效数字修约后运算为(0.0243×7.11×70.1×1000÷164=73.8)结果为73.8；保留4位有效数字修约后运算为(0.0243×7.106×70.06×1000÷164.2=73.68)，然后再以0.0243为依据，进行有效数字修约，结果为73.7，两种修约方式结果相差0.1(表2)。

表2 有效数字乘除法运算误差分析表

1.3 四则运算

在实际操作中，数据量往往很大，需要计算器(机)进行连续的“四则运算”。有效数字应该按照连续运算法则进行，即在过程中不考虑有效数字位数问题，直接将数值输入，得到结果时再考虑有效数字问题。例如：[0.0243 × 7.1058 × 70.06 × 1000 ÷ 164.2 -(0.0243 + 70.06-7.1058)]，利用四则运算中乘除法后和加减法运算法则，分别按照习惯多保留一位有效数字修约，按照四则运算得到(73.68-62.978 = 10.702)；此时，应以加减法运算法则为准，保留小数点后两位有效数字得到结果为10.70。如果将所有数值直接输入计算器(机)，则得到10.69583651887942，此时有效数则的修约原则依旧要参考上述计算步骤，结果仍为10.70。两种运算方法的结果一致。

1.4 特别提醒

在进行加减法运算时候，会出现首位数数位增加或者减少的情况，造成有效数字的位数不好判定，如(50.11 + 49.93 = 100.04)或(50.11 - 49.93 = 0.18)。此时，有效数字位数即为结算结果所示。但是，乘除法运算则不会存在上述现象，计算结果有效数字位数清晰，如(50.11×49.93 = 2.502 × 10-3)或(50.11÷49.93 = 1.004)。

2 极限数值的修约

按照进舍原则对实际值进行第1次修约，获得报出值。和修约值相比，报出值需多保留一位有效数字。需要注意的是：第一，按照修约规则报出值和修约值为0时，均需要以<0.1表示，即二者均不能为0；第二，1000等无法记录有效数字的数据，报出值和修约值均不变；第三，当出现当报出值最右的非零数字为5时，应在数值后面加(+)或(-)或不加符号，以分别表明实际值是否进行过进舍。如：报出值为16.5(+)，表示实际值大于16.5；报出值为16.5(-)，表示实际值小于16.5；报出值为16.5，表示实际值等于16.5。当报出值到修约值时，报出值中拟舍弃数字的最左一位数字为5且后面无数字或皆为零时，数值后面有(+)号者则进一，数值后面有(-)号者舍去(表3)。

表3 极限数值的修约(到个数位)