小学数学传统学具的价值及运用

孙兴华

(东北师范大学 教育学部，吉林 长春 130024)

学具(Manipulative)是小学数学学习中不可或缺的一部分，小学生接触到的周围事物是以一定的数、形、量存在着，由于他们是6—12岁的儿童，认知发展具有特殊性，通过数学学具的操作能促进他们对数学概念的准确理解和表征。对于学具的研究不同的专家学者有不同的视角，本文聚焦小学数学学具中的传统学具，之所以选择这个视角进行探讨，是因为随着教室里白板的普及应用，虚拟学具变得更方便，也非常流行，因此，小学数学课堂上出现一些过度使用虚拟学具的现象，用信息技术制作的演示性内容代替学生的实践操作活动，让学生“用眼看”多于学生的“动手做”。虽然这些虚拟演示能为学生提供感知材料，再现事物的现象以及过程，但是，我们不能忽视学生动手操作传统学具的力量,操作的小方块、小棒和计数器,甚至是一些折叠的纸张，这些都能让学生将数学思想、符号与实物联系起来,从而促进他们更好地理解数学抽象概念。所以小学数学传统学具虽不具备现代化学具的高新技术，但其对学生数学学习的意义却是其他学具无法替代的。小学数学传统学具使用历史非常悠久，特别是一些常用的典型传统学具，经过实践证明，对学生数学概念的理解以及对学生数学学习非常重要。因此，本研究旨在探讨小学数学传统学具的起源与特点、使用价值和典型运用，以期为小学数学教师提供当下关于传统学具运用的思考。

一、 小学数学传统学具的起源与特点

自古以来，不同文明的人们就使用工具来解决日常数学问题。中国人很早就发明了用算筹、算盘计数和计算。古罗马人在计算板的基础上，用豆子或石头，在沙子或木头、石头、金属等制成的槽上移动来进行计算，这种算盘称为沟算盘。古代亚洲西南部地区的人使用计数板，即在木制或粘土托盘上覆盖一层薄薄的沙子，在上面画符号，来清点存货或者其他需要计算的东西。南美的玛雅人和墨西哥的印地安人也都有一种计数工具，即将玉米粒串在绳子或金属丝上，然后横跨在木制框架上。印加人有自己独特的计数工具，即用打结的绳子做成的称作quipu的工具。直到19世纪，教育系统才开始在学校使用学具操作学习。裴斯泰洛齐(Pestalozzi)提倡实物教学，在算术教学中，他制作了著名的“算术箱”，箱内是各种形体的实物。福禄贝尔(Froebel)为儿童设计了一套“恩物(gift)”，以帮助他们识别和欣赏理解自然界中的万物。蒙台梭利(Montessori)进一步强调了学具在教育中的重要性，并设计了许多学具来帮助学龄前儿童和小学生学习数学。自20世纪初以来，在小学数学教学中，学具被认为是必不可少的。自古代用绳结、石头和算盘作为计数和计算工具发明以来，今天似乎有一个共识，就是为了解决小学数学教育的抽象性，提出的教学策略在某种程度上都与学生动手操作实物学具有关。蒙台梭利一直倡导使用具体实物操作学具进行教学，以各类教具为基础，通过孩子们自行操作学具来理解抽象的数学概念。古氏积木的发明者比利时教师乔治·奎逊纳(George Cuisenaire)将彩色古氏积木应用在分数和四则运算等数学内容的学习中。七巧板不仅是中国传统智力玩具，还是学习图形内容重要的学具。

许多学者对数学实物操作学具进行了描述阐释，莫耶(Moyer)认为学具是学生可以触摸和移动的具体模型,是被设计出来用于表示抽象数学概念的实物，能将抽象的数学思想具体化、清晰化。(1)Moyer, P. S. . Are We Having Fun Yet? How Teachers Use Manipulatives to Teach Mathematics. Educational Studies in Mathematics. 2001,47(2), pp.175-197.史密斯(Smith)将学具定义为使学生积极参与数学学习的实物，学生可以触摸、移动、重组或以其他方式进行处理，在这个过程中充分调动多种感官，获得综合体验。(2)Smith, S. S. . Early Childhood Mathematics (4th ed.). Boston: Pearson Education Using Manipulatives.( 2009-10-09). http://www.teachervision.fen.com/prodev/teachigmethods/48934.html.博甘、哈珀和惠特梅尔(Boggan, Harper，Whitmire)提出数学学具是一种实物，可以让学生参与数学实践学习的教学工具，学生借助学习工具积极地动手操作，探索数学思想。(3)Boggan M, Harper S, Whitmire A. .Using Manipulatives to Teach Elementary Mathematics.Journal of Instructional Pedagogies.2010，(3),pp.1-6.从上述比较有代表性的观点可以看出，学具具有可以被触碰、移动、重组的特点,有些是基于数学学习内容设计出来的模型，目的是使学生通过学具来理解特定的数学概念，为其提供一种基于操作活动经验来学习概念的方法。学具作为一种教学资源用于辅导学生学习，从古至今经历了漫长的历史演变过程，其形式虽然发生了很大变化，但学具与学生的生活实际密切相关，架起了一座人与知识之间的沟通桥梁。

二、 小学数学传统学具的使用价值体现

研究表明，数学课堂中使用学具是极为必要的，当学生通过积极的过程获取知识时，学习就会得到加强，学具是在数学教学中提供积极有效的、有吸引力的课程的关键(4)Fennema, E.H. . Manipulative in the Classroom .The Arithmetic Teacher.1973，20(5), pp.350-352.。

第一，传统学具的使用有助于学生以联系的方式理解数学思想。研究发现，学具是帮助学生以更有意义的方式思考和推理的重要工具(5)Stein, M. K. &Bovalino, J. W. .Manipulatives: One Piece of the Puzzle. Mathematics Teaching in Middle School.2001， 6(6),pp.356-359.。学生在寻找解决方案的过程中，学具作为操作的材料为学生解决问题提供了具体的模型。学生通过类似于小方块、小棒、计数器等学具，亲自体验，使抽象的概念具体化，学具操作为学生提供了构建抽象概念的实物模型方法，锻炼了学生的数学思维技能，为数学思想的形成打下良好基础，使学生学会以联系的方式理解数学思想。比如，“数的认识”中对位值概念的关系性理解，学生主要通过下面三个主要活动进行建构(如图1所示)：一是十为基底的概念，使用有意义的标准与等值的群去呈现数量，如用小方块以十为群呈现25；二是口头命名，结合前面的呈现口述表达，如二十五，2个十和5个一；三是写数，即写下数的名称，如25。其中最重要的是建立以十为基底或群的想法，这个概念对于小学低年级学生是非常抽象的，需要借助操作学具，小方块或小棒的操作能让学生感知10个是一组，计数器中一列中的10个算珠能交换成相邻左边一列的1个算珠，进一步发现计数单位“十”和“一”之间的关系，即10个一是1个十，然后再结合表达和写数，以多元表征的方式促进学生对位值概念的理解。学生数学思维的发展是以知识整合为前提和基础的，而学具是帮助学生有效进行知识整合的手段和途径。为了深入理解数学思想，学生需要以多种不同的方式整合和连接各种概念。一些关于数学概念的想法或多或少存在于学生的大脑中，实物学具的操作能帮助他们更清晰地建构对概念的思考，然后将这些思考与数学符号、术语联系起来，从而有助于学生形成基本的数学思想。

图1

图2

第三，很多国家的《数学课程标准》都关注学具的使用，这其中也包括传统学具。比如美国《州共同核心数学标准》(NGA&CCSSO，2010)建议使用代表性模型作为数学教学中的重要操作工具，代表性模型可以是动手操作和虚拟学具，以及画图等(9)NGA&CCSSO.Common Core State Standards.(2005-06-01)http://www.corestandards.org.。其中动手操作就包括基10组块、数字磁贴、奎逊纳棒、双面计数器、时钟模型等这些传统学具的使用。新加坡修订的《小学数学教学大纲》(2016年)总目标中指出，学生应发展和应用数学概念所需要的过程性技能；要求学生在数学学习和应用中有效利用不同的数学学具，强调学生数学学习的过程性，充分利用学具进行数学学习(10)Ministry of Education Singapore. Mathematics Syllabus Primary.(2012-04-20)https://www.moe.gov.sg/docs/default-source/document/education/syllabuses/sciences/files/mathematics_syllabus_primary_1_to_6.pdf.。其中不同的学具包括生活中常见的物品，也包括各式各样的传统学具。加拿大安大略省《数学课程标准》提出发展学生选择合适学具的能力，并运用学具完成数学学习任务和解决问题(11)Ontario Ministry of Education. (2005a). The Ontario curriculum grades 1-8: Mathematics revised.(2005-06-01)http://www.edu.gov.on.ca/eng/curriculum/elementary/math18curr.pdf.。这里的学具包括具体的实物、图片和类似于古氏积木这样的传统学具。我国的《数学课程标准(2011版)》在实施建议部分明确提到环境与工具，建议教师应当努力开发制作简便实用的教具和学具。这些课程标准的建议都表明，充分关注学具的使用，对小学生数学学习会产生积极的影响，在小学数学教学中提供给学生多种多样的学具开展探索活动，能使学生通过这些学具构建自己的认知模型，并内化抽象的数学概念。

上述研究与案例均表明，教师使用传统数学学具可以积极地影响学生的学习。教育性和直观性是传统数学学具两大本质特点，传统数学学具因其鲜明的特点，成为数学教育教学中一种重要的工具和教学资源。在教学过程中通过学具的操作使得抽象的知识被表征得更具体、生动、形象，尤其在小学阶段，传统数学学具的使用更能集中学生的注意力，既有利于学生的学习又有利于教学活动的开展。将传统数学学具以有意义的方式纳入数学课程，有助于学生更轻松地掌握概念，使教学更有效。总之，传统数学学具在数学课堂教学中具有重要价值，可以帮助学生深刻理解数学概念，建构学生的认知体系，形成整合性思维。

三、 小学数学传统学具的典型运用

很多小学数学传统学具在设计之初就强调多种感官的综合作用，使学生获得丰富的认知体验，这些典型的学具代表了数学学科思想和方法，能帮助学生理解特定的学科概念，并且这些学具已经商业化，很容易获得。因此，我们应尽可能有效、广泛地使用这些经典的学具来支持儿童的数学思维、推理和问题解决能力的发展。下面我们将梳理典型的国内外小学数学传统学具，来理解这些操作学具应用在哪些学习内容中。

(一) 数与代数领域传统学具的运用

下面几种都是学生可以操作的传统学具，每种学具都有其特殊的使用特性，能在不同方面帮助学生理解不同的数与代数的概念，探索与之相关的数学学习内容。

1. 小方块和小棒

自然数的认识中理解位值和十进制计算法是核心内容,如何让学生理解这些抽象的数概念，运用传统数学学具促进学生理解是非常有效的策略。最常用的就是小方块和小棒(见图3)，它们不仅具有直观、结构化和齐性的特点，而且便于操作且可以循环使用。最重要的是，学生能用这两种学具体会以10为基底分组，也就是10个为一群，理解10个一是1个十。在这个操作过程中，小方块和小棒分别表示一、十、百的具体数量是成比例的，相邻是10倍的关系。具体来说，一个小方块表示一，一个一个地数，十个就是一条，也就是1个十；十个十个地数，十条就是一板，也就是10个十是百,十个这样的板放在一起就构成一个立方体,10个百是一千。同理，一根小棒表示一，一捆小棒表示1个十，一大捆小棒表示10个十是百。虽然小方块和小棒都能帮助学生直观地认识数概念,认识相邻数位之间的十进制关系，但也能看出不同的使用优势，小方块是表达计数单位的模型，所以从体会更多计数单位来讲用小方块更适合。小棒在百以内数的认识中使用比较好，更易于学生操作，也能表达数量的分群组关系。

图3

2. 计数器

学生使用的计数器通常由计数珠、拱形穿珠杆构成，从左向右标有数位，和整数数位顺序表是一致的，每一数位上的珠子有10个，珠子前后能滑行，拔珠能表示数，也称位值算盘(见图4)。个位上的1个珠子就表示1个一，十位上的一颗珠子就表示1个十，百位上一颗珠子就表示1个百，以此类推。每个数位上都有10个珠子，要表示46，可以在十位上拨4个珠子，在个位上拨6个珠子，表示4个十和6个一，也就是46。这种计数器和小方块、小棒不同，同样是计数，但它是不成比例的学具，能保持数字的轨迹，由于带数位，能让学生体会位值思想和数位顺序。

图4

3. 双面计数器

这是国外小学数学常用的一个学具，见图5，就是两面不同颜色的小圆片，通常一面是红色，另一面是黄色，可以用来分类和计数，描述具有相反意义的量、理解正负数、解释0的含义，如表示温度在零度以上或以下等，也用来演示基本的数学运算、概率和估计概念。

图5

4. 天平称(平衡器)

这也是国外小学数学常用的一个学具，数平衡器是对相等的理解，可以用不同的方式来使用(见图6)。比如左边是4和6，右边是2和8，学生可以看到是平衡的。还可以识别两个表达式何时相等，如，表达式x+x+x和3x是等价的，因为不管x代表的是哪个数，它们都是相等的。

图6

5. 奎逊纳棒

这是由一位比利时的小学老师研制的，将彩色古氏积木应用在数学教学上，是国际上常用于算术内容的学具，由十种不同颜色及长度的积木构成，相同颜色的积木为相同的长度(见图7)。计数、排序、模式、代数推理、加法与减法、乘法与除法、分数、比和比例等内容的学习都可以用它作为操作学具。比如，在做运算时，学生根据题目，操作奎逊纳棒就能得出相应答案。再如这样的题，如果一个人1/6小时走1/2千米，求单位速度，学生也可以通过操作求出。

图7

(二) 图形与几何领域传统学具的运用

下面几种学具侧重于图形与几何领域，可以帮助学生理解二维平面图形和三维立体图形，利用这些学具也可以理解测量内容中的面积与体积，学生的数学思考在操作学具过程中会逐渐清晰起来，也会在具体操作中发展他们的视觉空间推理能力。

1. 几何钉板

学生在钉板上可以拉出不同位置、不同大小的图形，促进学生认识几何图形,理解几何图形的周长和面积。特别是能帮助学生识别平面图形的面积属性，理解面积的测量概念。如图8，在钉板上任意围一个图形,被围部分的大小就是这个图形的面积，数出所围部分占多少个小方格,它的面积就是多少。另外，在几何钉板上还可以表示图形面积的推导过程，比如把一个平行四边形转化成一个与其等底等高的长方形，然后比较它们之间的关系,再推导出平行四边形的面积公式。

图8

2. 七巧板

七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，也是学生认识几何图形和进行拼图活动的学具，能促进学生理解若干重要的几何图形逻辑关系(见图9)。七巧板中正方形和平行四边形各只有一个，其余为2大、1中、2小的三角形，所以，可以先看图形中比较特别的边角形状、大小情况来逐一拼起来。鼓励学生拼图，通过不同的拼法将这七块板组合成各种不同的图案，由于图案形象各不相同，七巧板可以拼成成千上万种图案。这个过程，可以让学生体会变换就能组合成各种丰富的形象，有利于培养学生的观察力、注意力、想象力和创造力。

图9

3. 正方形和立方体

这两种学具学生在学习面积与体积内容时经常会用到，很多教科书也有配套的学具。学生也可以用彩纸自制。学生把大小相同的正方形按行和列拼摆成长方形,能通过行和列的数量进行计算。学生通过立方体能识别立体图形的体积属性，理解体积的测量概念。边长为1个单位的立方体，称为单位立方体，可以用来测量体积。

综上所述，虽然数学传统学具能为学生提供操作体验，帮助他们建模，描述和探索数学，在教学中是一种有价值的工具，但需要教师指导学生如何运用，不能仅仅停留在操作获得活动经验的层面，还需要教师引导学生通过操作学具与数学表征、数学抽象之间建立起联系，使学生对数学概念的理解真正内化。另外，也不能因为学具使用有价值就过多使用，因为过度使用会分散学生对数学理解的注意力。学习工具仅仅出现在课堂中被使用是远远不够的，学具的选择和设计，以及何时使用，使用中需注意什么，都需要教师事先计划和安排，更需要精心准备。选择使用学具时要关注操作的系列阶段，一是通过学具能否生成学生的基本经验？二是能否用图示表征获得经验？进而能否用抽象的数学符号表征操作的内容？这样才保证学生在课堂上花费时间操作学具是有意义的。