着眼位置关系探求与圆有关的取值范围问题

福建省厦门大学附属科技中学 (361000) 王 晶

在近几年的高考题中，经常出现探求与圆有关的取值范围问题，此类问题不但涉及许多圆的知识，也经常与其它解析几何知识联系在一起，有一定难度，解决问题的方法多数是抓住圆的性质，从分析相关位置入手，然后建立相关式子解题.本文着重探究位置关系，分析几个典型题目的求解，意欲从某个侧面说明一些方法，供读者朋友参考.

一、圆上的点与直线的位置关系

图1

评注：此处通过构造相关的几何图形，进行数形结合的分析，从几何直观中得出重要的结论，充分运用了相关圆的性质，使问题获得了简捷的解法.

二、圆外的点与圆的位置关系

例2 已知圆C：x2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x-y-2=0上，O为坐标原点，若圆C上存在点Q，使∠OPQ=30°，试求x0的取值范围.

评注：此处在充分研究了从圆外一点向圆作圆的切线的特殊性质后，得到了一个成功解题的不等式，即|OP|≤2，这是求出x0的取值范围的关键.

三、两个圆上动点的位置关系

点评：通过对向量问题化简处理后，将问题转化为两个已知圆上的动点的位置关系了，从而两圆的连心线的长度关系就是解决问题的主要手段.

四、直线与圆的位置关系

例4 已知⊙O：x2+y2=1，若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，求实数k的取值范围.

评注：在分析其几何条件时，发现了两点间的距离问题，再由动点P在直线上，就将题目转化为圆与直线的位置关系问题，从而就能用圆心到直线的距离公式解题.

五、圆与圆的位置关系

例5 已知A(-2,0),B(2,0),点P在圆(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)上,满足PA2+PB2=40，若这样的点P有两个，求半径r的取值范围.

解析：设P(x,y)，由PA2+PB2=40得[(x+2)2+y2]+[(x-2)2+y2]=40，化简得x2+y2=16，它是以原点为圆心，半径为4的圆，因为满足条件的P点有两个，即此圆与已知圆相交，又易得两圆的连心线长为5，于是有|r-4|<5

评注：在题目中虽然没有给出两个圆的关系，但通过设点、列式、化简就清楚的显示出是两圆的位置关系问题了，因此对问题的深刻分析、进一步的探索是破题关键，很有必要.

六、转化为其它的位置关系

评注：在解题中抓住了|PA|=|QA|，得出P、Q在以点A为圆心的一个圆上，这样就又得到了一个二元方程，为后面建立含参数的不等式继而求出参数范围创造了重要条件.