2021年全国新高考Ⅰ卷解几压轴题的解法探究及试题溯源*

广东省中山市实验中学 (528404) 杨沛娟广东省中山市濠头中学 (528437) 张 宇

*本文系广东教育学会教师继续教育学会2020年度规划课题《基于提升高中青年数学教师听评课能力的实践研究》(课题编号：2020gh070),广东教育研究院规划课题《基于STEM教育理念下图形计算器在高中数学教学中的实践与研究》(课题编号：GDJY-2020-Ab-259),中山市市级科研立项一般课题《基于GeoGeBra在高中数学“可视化课堂导入”的实践与探究》(课题编号：B2020196)三个基金项目的阶段性成果.

1 试题呈现

(1)求C的方程；

2 试题分析

此题的解法较多，另一个比较简单的解法是利用参数方程，同样思路比较清晰，并且计算量小，是一个不错的解法.

3 试题解答

评注：用普通方程联立原方程组，运用韦达定理，最后得出斜率间的关系，优点是思路比较清晰，但计算量比较大.

∴k1+k2=0.

评注：此解法通过构造方程得出斜率间的关系，本质上和解法1是相同的.

评注：以上前两种解法都属于常规解法，解法1和解法2是用普通方程的方程，设直线的方程后，利用韦达定理.解法3用参数方程，可以看出，用参数方程计算量小很多.

评注：此解法运用向量的坐标运算，结合斜率的定义，思路清楚，运算量不大，是一种比较好的解法.

以上是几种常见的解法，此题其他解法还有，用代数法圆的定义及性质，复数法，双曲线的参数方程法，行列式法等，限于篇幅，此处从略.留给有兴趣的读者可以作为练习.

4 试题溯源

4.1 教材题源

在普通高中人教A版数学选修4-4坐标系与参数方程第38页例4及其变式探究.

设AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB，CD与椭圆长轴的交角为∠1，∠2,且∠1=∠2，证明：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

教材中例4 的类比探究题，把椭圆改为双曲线？抛物线呢？

4.2 高考题源

2.(2005年湖北高考理科试题)设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

(Ⅰ)确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；

(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

(Ⅰ)证明：点P在C上；

(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

(1)求C的方程；

(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

4.3 竞赛题源

1.(2009年江苏高中数学竞赛试题)设抛物线y2=2px及点P(1，1)，过点P的不重合的直线l1,l2与此抛物线分别交于点A,B,C,D，证明：A,B,C,D四点共圆的充要条件是直线l1,l2的倾斜角互补.

(1)确定λ的取值范围；

(2)试判断A,B,C,D四点是否共圆？并说明理由.

4 教学建议

在高考复习中，一定要加强三基的训练.帮助学生梳理教材知识结构，提炼结构版块；立足教材基本例题、习题，搞好变式研究，复习基础知识时要引导学生突出主干知识、抓住本学科各部分知识之间的联系和综合，形成知识之间的纵横联系的网络.

教师在教学中要选出最优秀的试题，最具典型性和最有价值的试题，讲题时渗透数学基本思想，让学生理解数学知识的本质，形成对知识的悟性，提高他们的数学思维品质及分析问题与解决问题的能力.

以数学思想方法的应用为例，函数与方程的思想、分类与整合的思想、转化与化归的思想等思想学生可谓耳熟能详，为什么考场上用不上？主要原因是平时教师生硬地将这些方法灌输给学生，学生食而不化，当然在考场上更不会熟练应用，所以重视数学思想方法的渗透和运用，要始终坚持指导学生自己进行数学思想和方法的提炼，让学生从思想上去揭示问题的本质.在解题后进行反思和提炼是成功的经验.发挥学生的主观能动性和教师的主导地位，要相信学生，要把思维还给学生，要让学生真正的成为学习的主人.同时督促学生抓好平时各个环节，比如审题要谨慎、推理要严密、表述要清楚、计算要准确等能力.