压轴题进阶解析及拓展

杨天才

(重庆实验学校 400000)

压轴题某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为x.比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v0时，再以v0做匀速直线运动跑至终点，整个过程中球一直保持在球拍中心不动.比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ0，如图1所示.设球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g.求：

图1

(1)空气阻力大小与球速大小的比例系数k；

(2)在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；

(3)整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v0，而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件.

解题思路剖析问题(1)：(您在生活中观察到或参与过此项比赛吗？)分析乒乓球在过程中(1)(2)问的运动情况，你能画出它做直线运动的大致v-t图像吗？

解析乒乓球先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，其v-t图像如图2所示；

问题(2)：“球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比”意味着什么？

解析f=kv，比例系数k不变.

问题(3)：“不计球与球拍之间的摩擦”意味着什么？请作出乒乓球做匀速直线运动的受力分析图.

解析不计球与球拍之间的摩擦意味着乒乓球在匀速直线运动阶段只受三个力的作用，受力分析如图3所示.

问题(4)：求空气阻力大小与球速大小的比例系数k为多少？

解析根据(3)的受力分析，正交分解后由力的平衡条件列方程得：

N0sinθ0-f0=0N0cosθ0-mg=0f0=kv0

①

问题(5)：乒乓球匀加速运动阶段受力分析又怎样？求球拍倾角θ的正切随速度v变化的关系式？

解析受力分析如图4所示，正交分解，由牛顿第二定律列方程得：

Nsinθ-f=maNcosθ-mg=0f=kv

②

问题(6)：在球拍匀加速直线运动阶段，球拍的倾角如何变化才能保持乒乓球与球拍相对静止？

解析由方程②可知，倾角θ应逐渐增大；

问题(7)：如果某同学在匀速直线运动阶段未控制好球拍的倾角为θ0，而是θ0+β并保持不变，乒乓球还能相对球拍静止吗？乒乓球相对球拍(以球拍为参考系)做什么运动？乒乓球的运动形式怎样分解？

解析不能相对球拍静止，乒乓球相对球拍做匀加速直线运动，乒乓球实际做的是匀变速曲线运动，可分解为水平方向的匀速直线运动和沿球拍斜向下的匀加速直线运动；

问题(8)：问题(7)与问题(3)相比，乒乓球所受的三个力发生了哪些变化？

解析乒乓球的重力、空气阻力(不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化)均未发生变化，球拍的支持力大小和方向都发生了变化，如图5所示；

问题(9)：如何求解乒乓球在沿球拍方向运动的加速度？

解析受力分析如图5所示，以球拍方向为x轴正交分解，由牛顿第二定律列方程得：

mgsin(θ0+β)-f0cos(θ0+β)=ma′

解得：a′=gsinβ/cosθ0

③

问题(10)：如何求球拍匀加速直线运动阶段的位移？如何求解球拍在匀速直线运动阶段所用时间t？

④

问题(11)：乒乓球不从球拍上掉落的条件是什么？

⑤

问题(12)：求角β的正弦应满足的条件？

⑥

思维超越问题(13)：求乒乓球匀速直线运动阶段球拍对乒乓球做功的功率为多少？

解析球拍对乒乓球做功的功率

⑦

问题(14)：怎样简化问题(4)(5)？

解析由牛顿第二定律列方程得：

Nsinθ-f=ma

Ncosθ-mg=0f=kv

解得：mgtanθ-kv=ma.

将θ=θ0，a=0代入求出

⑧

问题(15)：怎样简化问题(8)？

⑨

问题(16)：实际竞赛过程中，乒乓球与球拍的摩擦力较小可忽略，但球在球拍上的移动引起的空气阻力变化不可忽略，分析球拍匀速运动阶段球相对球拍的运动形式？实际的值β比理论值大还是小？

解析在乒乓球相对球拍向下运动过程中，空气阻力逐渐增大，球做加速度减小的加速运动，由a′=gsinβ/cosθ0可知β比理论值小；

问题(17)：若乒乓球在球拍上相对运动时所受阻力仍满足f=kv，球拍中心与下边沿的距离r足够大，求乒乓球相对球拍运动的最大速度？

解析由a′=gsinβ/cosθ0-kv/m知，当a′=0时，速度达最大，且为vm=v0sinβ/sinθ0

⑩

点评这是一道与学生生活实际联系紧密的好题，它紧扣《课程标准》中强调的：“从学生已有的生活经验出发， 让学生亲身经历将实际问题抽象成物理模型并进行解释与应用的过程”.既有利于高校选拔人才的同时，还有利于课程改革的纵深推进，对推进素质教育起到很好的导向作用.