在小学数学《方程的意义》教学中应把握的四个“跨越”

钟建萍

【摘要】方程作为一种重要的数学思想方法，它对丰富学生解决问题的策略、提高解决问题的能力、发展数学素养有着非常重要的意义，这节课不仅要真正地帮助学生认识到方程的本质，还要帮助学生实现从算术思维到代数思维的跨越，帮助学生稳定简易方程的模型特征。

【关键词】小学数学;意义;代数思维;方程价值;方程模型

一、从以数状物到以符状数的“跨越”

《方程的意义》这节课首次引入方程的概念，在教学中，教师有必要对学生的符号意识进一步培养，明白符号引入的合理性和必要性，笔者是这么设计的：

首先，让学生用数学式子表示天平上相等物体的重量关系。

师：同学们，你们会使用天平来秤物品吗？

生：会，一边放物体，一边放砝码，如果天平平衡，砝码的重量就是物体的重量。

师：从这个天平中，你知道了什么？

生：我知道了两个鸡蛋的重量等于那一个砝码的重量。

师：说得真好，现在，我标出天平上物体的质量，你能用数学式子来表示出它们的关系吗？

生：50+50=100。

在了解天平原理的基础上，让学生用式子表示天平上已知物体的重量情况，使学生明白天平左边的物体重量与右边物体重量相等时可以用等式表示，明白可以用一个数学式子表示生活中的物体之间的关系。目的是从学生熟悉的天平平衡的直观情境入手，经历从自然语言描述事件到用数学语言描述等量关系的过程，实现从左右两边物体等值到具体数量等值的转变，发展“以数状物”的抽象意识;体会等号左右两边的数或算式表示两个相等的量，它们的地位是均等的，突破原有等号作为表示运算结果时出现的符号的认识，使学生在具体情境中认识等式，促进学生进一步理解等量关系。接着，让学生用数学式子表示天平上不相等的物体的重量关系。

教学中，出现天平两边物体重量不相等的情况，这不仅是认识方程的一个必须了解的知识，更是为了让学生明白不仅可以用等式表示物体间的质量关系，还可以用不等式来表示，丰富学生以数状物的意识。

师：如果我把砝码换成苹果，你能用式来子来表示它们之间的关系吗？

生：50+50>70。

师：为什么这时候不用等于号了呢？

生：因为天平不平衡了，说明两边的质量并不相等，左边往下沉，说明左边比右边大，应用大于号。

师：刚才我们知道了空杯子的重量是100克，装满水后，现在天平是这样的，你知道了什么？

生1：我知道了一杯水的质量小于300克。

生2：我还知道水的质量小于200克。

这里的目的是通过对不平衡的实际情境的数学化表达，进一步发展学生用数学语言去表达现实生活情境的能力，同时，借助情境明确等式和不等式的区别，并丰富对数量之间关系的认识，进一步培养学生“以数状物”的抽象意识，明白用“数”可以表示物体的质量，用“数与符号”则可以表示物体之间不同的关系。最后，让学生用带有符号或字母的式子去表示天平上物体的重量关系。

随着教学的进行，天平上出现的部分物体不再知晓具体的重量，学生根据以前所学的知识自然而然地想到用符号或字母来表示未知的量，进而获得方程的基本式子。

用字母和符号表示数及其运算或关系是代数的基本特征。以天平情境为导线，把情境中的数量关系用数学语言表达，并逐步符号化，引入用含有未知数的式子表达等式和不等式，发展学生“以符状数”的抽象意识，为建構方程概念提供基础，并初步体会符号化思想发展的历程及用含有未知数的式子描述数量关系的方程思想。

本节课中，不仅是对学生符号意识的培养，同时更要关注学生对数的抽象发展为对量的抽象，让学生不仅关注“数”本身，更要把眼界放宽，拓展到关注“量”及“数量关系”，只有把握到等量关系，学生的数学思维才能朝着更好的方向发展。

二、从逆向思考到正向思考的“跨越”

方程的意义是什么？很多教师都会从概念“含有末知数的等式叫方程”入手，紧紧抓住“含有未知数”和“等式”两个关键词帮助学生理解掌握概念。遗憾的是，有些教师自身就没有真正理解“意义”本身的含义，“意义”包含两层意思：1.语言文字或其它信号所表示的内容;2.价值;作用。显然，仅仅从概念入手理解方程的意义，只是解释清楚了语言文字所表示的内容，但并没有突显“方程”的价值——顺着题目的意思列式比逆着题目的意思列式更容易。只有让学生体会到这一价值，才能促进学生从逆向思考到正向思考的思维转变，从而在解决复杂的问题时能够正确解答。

为了更好地让学生体会到方程的价值，笔者设计了难度不同的四道题算式，让学生感受方程的价值。

（1）

（2）

（3）爸爸今年36岁，比小明年龄的4倍少4岁，小明今年多少岁？

（4）把一个数先乘0.3，再除以0.2，接着加上1.4再减0.9，结果是13.7，这个数是多少？

前两小题比较简单，很难使学生体会到方程的优越性。但是，从这两道简单的题目中，可以使学生知道可以采用列方程的形式解决问题，从中体会列方程式的一般方法。

对于第三小题，学生仍然比较习惯用算术方法，题目中给出的条件是“少4”，按一般的经验“少4”应该是减4，所以，不少学生的列式是错误的，此时，引导学生进行比较，借助线段图帮助理解，爸爸的年龄并不是小明的4倍，所以不能用36除以4，而应该加上4后再除以4。但是，这种逆向思维的题目理解起来总是有难度，重点要引导他们顺着题目的意思去列方程，经过比较，使用学生初步体会方程的优越性。

最后出示更为复杂的第四小题时，有前面的经验，大部分学生直接列方程，又快又准，此时，笔者又反问学生，为什么不用算术方法解决问题了，学生有感而发说出方程的优越性，从而达到教学目的。

让学生从生活情境中抽象出数学表达思维是横向数学化，在数学世界里需要通过纵向数学化认识概念的本质特征。描述现实世界中数量关系的式子有多种，让学生从常见的关系式中明确概念的内涵与外延，自主建构起对概念本质特征的认识。同时，在生活情境中深刻体会方程能够顺向表达思维的价值是笔者这样设计的目的所在。

学生的数学思维发展具有一定的阶段性，从最初的简单顺向思维逐步到会逆向思考，这是学生的必经之路，当正常顺向思考行不通，逆向思考又出现困难的时候，视未知的数为已知量，用符号或字母来表示，再由逆向思考转向正向思考成了重要的教学点，本节课就是要完成这一思维的转变，从而进一步培养学生思维的灵活性。

三、从算术思维向代数思维的“跨越”

从算术思维向代数思维的跨越，是学生认知规律的一次飞跃。吴正宪在讲《方程的意义》的时候就反问过两个问题：学生会辨别方程的样子，那就是认识方程了吗？学生能很流利说出方程的定义就是理解了方程了吗？

的确，建立方程的思想需要一个漫长的体验、理解的过程。如何帮助学生建立好这个数学模型？如何让学生学会将未知数和已知数同等对待，实现从算术思维向代数思维的转变？在方程的意义的教学中，例题和练习通过“润物细无声”的方式将算术思维引向代数思维。

算式“50+50=100”可以表示出平天的平衡状态，当把左边已知数换成未知质量的杯子时，天瓶依然保持平衡，学生很容易能确定杯子的质量，并能用语言来表示它们之间的关系，但此时，学生一般还想不到用未知数来表示杯子的质量，所以也无法用一个式子来表示它们的关系。当在杯中加入适量的水，天平出现了不平衡的状态，如何用一个式子来表示这种状态呢？此时学生才深刻地体会到需要有表示“水的质量”的事物，学生自然面然地会想到用方框、圆圈、三角形等符号或字母来表示“水的质量”，因势利导，我们把这个未知的数叫做“未知数”。有了代表未知数的符号或字母，学生很自然地将未知的数当成了已知数来用，且发现完全可以用一个含有未知数的式子表示出天平的状态100+x>100，有了这个铺垫作基础，学生就有了对方程认知的基础。

在练习中，教材很巧妙地把每本书的价格标为x元，大多学生也就很自然地钻进了设好的“套”中，列式为3x=2.4，如果在这里，不标出书的单价，学生也能列式解答，但根据学生的经验，他们都会列出算术式：2.4÷3=0.8，这样就达不到我们培养学生代数思维的目的了。所以，在本节内容中，所有的未知数都是用了确定的字母或符号来表示，这样做的目的就是帮助学生从算术思维走向代数思维。

四、从情境分类到模型稳定的“跨越”

对于小学五年级的小学生来说，他们能清楚地根据题型情境背景进行分类，如在教材中出现过的图形、文字、线段等各种不同情境的题目，学生能够根据原有的知识逐一理解，并能用语言进行表达，因为他们有一个共同的特点，有两组可以表示相等关系的数量。当他们根据顺向思考的顺序用式子表达出来以后，学生会惊奇地发现，无论情境如何变化，它都能抽象出相同的模型：含有末知数的等式。通过看一看、说一说、比一比……促进学生实现从情境分类到稳定模型的跨越。

《方程的意义》这一内容，承载了编者很多的意图，要真正理解方程的意义，不仅要把握概念表述，更要感悟到方程的价值，才能实现学生思考方式的转变，从而稳定学生心中的方程模型。教师只有做到真正读懂教材中的每一幅图，理解到编者意图，才能更好地把握教学目标，进行深入有效的教学。

参考文献：

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[2]金群英.代数思维在小学数学教学中的渗透与培养[J].小学教学设计，2021（8）：44-46.

[3]吴雅静，朱水萍.从算术思维向代数思维过渡的教学策略[J].戏剧之家，2020（3）：140-141.

[3]吴正宪，张莉，黄先智.教學无痕大爱无垠——“方程的意义”教学实录与评析 [J].教学月刊（小学版）数学，2013（7）.

责任编辑  温铁雄