时滞独立状态下离散控制系统的稳定性分析

孙 凤 琪

(吉林师范大学数学学院，吉林 四平 136000)

离散系统是实际问题中普遍存在的一类控制系统.为确保在控制上达到较高的精度，需将时滞、不确定性因素对离散系统的影响考虑进去，很多学者在离散时滞不确定系统的稳定性分析方面做了一些研究[1-3].尤其对于时滞依赖情形，参数的增加能够有效降低系统的保守性，但提高了矩阵不等式条件的复杂性和求解难度.由于时滞独立情形的稳定性判据简洁易于操作，有时控制效果往往还会优于时滞依赖情形[4].用结果的保守性来换取控制效果的简洁性和可行性，控制效果各有所能.在离散时滞依赖方面诸多研究已见诸文献[5-10]，而对于含有奇异摄动不确定时滞离散这类综合控制控制系统，时滞独立的稳定性分析上成果不多，尚需补充完善.

因此，本文对该系统通过设计新的Lyapunov函数，利用相关引理、线性矩阵不等式方法以及新的差分不等式等交叉项界定技术，进行时滞独立的稳定性研究，对所得结论进行推广.最后利用数值算例来验证结论可行性、方法有效性以及相比于文献的控制效果的优越性.

考虑如下时滞奇异摄动不确定性离散控制系统：

(1)

其中F(k)∈Ri×j是范数有界的不确定系统模型参数矩阵，满足

FT(k)F(k)≤I.

(2)

其他系统矩阵和相关条件均与文献[8]的系统(4.1)相同.

1 主要结论

(3)

(4)

证明设计新的Lyapunov泛函如下：

其中Q为对称正定矩阵，即QT=Q>0，则V(k)为正定的.将V(k)沿着系统(1)向前差分，并由文献[9]引理3，存在适当维数的矩阵P，对称阵N和R，使得

-(-xT(k))[(A+ΔA)TZT(ε)Z(ε)(B+ΔB)]x(k-d(k))≤

则ΔV(k)≤ηT(k)G(ε)η(k).其中：

(5)

为求出定理1中未知的参数变量，需要将不确定性从(5)式中消去，利用文献[9]引理2，以及Schur补引理进行化简，类似于文献[8]中定理2，可得如下线性矩阵不等式条件判定定理：

其中E(ε)，Z(ε)，A，B，D，Ea，Eb同上.

将含有时滞上下界的正定项在Lyapunov-Krasovskii函数中去掉，得到以上定理结论.相比于时滞依赖稳定性判据，虽未考虑时滞取值范围，但简洁可行，对任何时滞都可行，这是时滞独立的稳定性判据的优越性所在.

将系统(1)除去不确定性F(k)，可易得以下推论：

其中E(ε)，Z(ε)，ΔA，ΔB，A，B同上.

2 算例

对带有惯性环节的电力系统问题，建模成如下非标准情形的离散时滞奇异摄动不确定控制系统：

其中：

Z4=14.084 3，Z5=-18.346，γ=7.962 1.

可见，∀ε∈(0，6.152 3]，系统(1)渐近稳定.

表1 算例稳定性数据分析

本算例说明了本文所得结论的优越性和可行性，进一步体现出在某种程度上，时滞独立的稳定性效果更好.

3 结语

(1) 本文是在文献[8]基础上的后续理论研究，其创新点在于，对比较复杂的离散控制综合系统进行了时滞独立情形下的稳定性研究，突显了时滞独立的理论特性及其优越点，可以为相关时滞独立状态下的鲁棒控制问题研究提供理论参考.

(2) 基于连续的时滞系统中普遍涉及输入时滞，而在离散的时滞系统中也存在输入时滞的问题.因此，对于怎样解决输入时滞与离散系统之间的关系是需要进一步完善研究的课题.