PT对称腔阵列体系中失谐对单光子散射的影响分析

吴 曼，朱红波

(东北师范大学物理学院，吉林 长春 130024)

近年来，PT对称性及与其相关的动力学特征引起了广泛关注[1-4]，例如单光子的散射问题[2].量子力学中的PT对称性很难通过实验证实[5-9]，但PT对称的光学系统，却可以通过在光学中采用相等的增益和耗散来实现[10].具有PT对称性的一维耦合腔阵列体系中的单光子传输展示了丰富的特点[11-16].研究光子在耦合谐振器低维阵列中的传播对实现全光量子器件起着关键作用[17-20].

本文的研究对象为具有PT对称性的一维无限长耦合腔阵列.调制体系内腔间耦合强度时，讨论在腔模失谐情况下单光子散射行为的改变.对比腔模共振情况下的单光子散射，分析失谐对单光子传输的影响.在制备一个原子在阵列中时，研究了单光子散射的变化.

1 PT对称腔阵列体系模型

体系模型如图1所示，这是一个具有PT对称性的一维无限长耦合腔阵列体系，其中体系的散射核部分由9个腔组成(虚线框部分)，并设置-4腔为耗散腔，4腔为增益腔.

图1 散射核设计为9个腔的PT对称耦合腔阵列

体系的哈密顿量为

(1)

把单激发子空间的本征波函数表达为

(2)

将(2)式代入定态薛定谔方程H|ψk〉=Ek|ψk〉中，可以得到本征值为Ek=ω+2ξcosk，同时单光子在各腔中传播的几率幅之间的关系为：

ω1Uk(-4)+ξ[Uk(-3)+Uk(-5)]-iγUk(-4)=EkUk(-4)；
ω1Uk(-3)+ξ[Uk(-2)+Uk(-4)]=EkUk(-3)；
ω1Uk(-2)+ξ[Uk(-1)+Uk(-3)]=EkUk(-2)；
ω1Uk(-1)+ξ[Uk(0)+Uk(-2)]=EkUk(-1)；
ω1Uk(0)+ξ[Uk(1)+Uk(-1)]=EkUk(0)；
ω1Uk(1)+ξ[Uk(0)+Uk(2)]=EkUk(1)；
ω1Uk(2)+ξ[Uk(1)+Uk(3)]=EkUk(2)；
ω1Uk(3)+ξ[Uk(2)+Uk(4)]=EkUk(3)；
ω1Uk(4)+ξ[Uk(3)+Uk(5)]+iγUk(4)=EkUk(4).

(3)

结合单光子从左侧入射时，对应的概率幅表达式为

(4)

结合式(3)、(4)式得到反射系数rL以及透射系数tL的表达式，反射率和透射率为

在文献[21]中，分析了各因素对单光子传输的影响以及引起的全反射现象等.本文主要探究当散射核腔模频率与两侧腔场腔模频率不同，同时调制腔之间耦合强度的大小，即失谐情况下单光子散射行为的变化.

2 失谐对PT对称腔阵列体系单光子散射的影响

2.1 失谐对单光子散射的影响

定义阵列的散射核之外腔的频率为ω，散射核的各腔频率为ω1，频率差值为失谐δ=ω-ω1.在相同的频率失谐条件下，腔之间的耦合强度不同时，光子的反射和透射有很大不同.例如当频率差δ较小，同时耦合强度不属于弱耦合范畴时，大失谐条件不一定满足.只有当耦合强度相比δ很小时，大失谐动力学才满足，已经有很多近似的动力学解析工作分析了在核外与核内腔间频率失谐取一定值时，单光子的散射和透射与耦合强度之间的关系.

具有频率失谐的单光子散射图如图2所示(增益(耗散)率为0.02，固定波矢为π/8，频率失谐量分别取为1.5(红)和1.7(蓝))，以腔间耦合强度ξ为横坐标，取一定的失谐量δ=ω-ω1，分析具有固定波矢光子的反射和透射行为.

(a)光子的反射率 (b)光子的透射率

为清晰起见，列出图2的具体参数，如表1所示.

表1 图2对应的参数

图2分别为失谐状态下的单光子反射和透射率图像.由图2可以看出，增大频率失谐，反射率与透射率图像均向左平移，但变化趋势基本保持不变.因此可以得出失谐大小的改变并不影响反射率与透射率图像变化趋势，但可以通过调节频率失谐来实现反射率与透射率图像的水平迁移.当频率失谐增大时，满足相同的失谐条件的耦合强度ξ的值可以相对增大，或者对耦合强度要求条件会放宽.体现为无论对反射还是透射来说，当频率的失谐改变时，图像均同向平移.

同时可以看出，随着失谐的增加，能够实现全反射零透射的区域变宽.随着耦合强度的增加，反射率的峰值逐渐增大，透射率的峰值基本保持不变.当耦合强度增加到一定值时，反射率与透射率均不改变.

2.2 正负失谐对单光子散射的影响

正负失谐就是说对于一个δ=ω-ω1来说，可以调制相反的失谐量，也就是ω-ω1=-δ.可以对比一下刚好相反的频率失谐的影响.正负失谐对单光子散射的影响见图3，其中增益(耗散)率为0.02，固定波矢为π/8，频率失谐量分别为2.5(红)和-2.5(紫).正负失谐对单光子散射行为的影响见图4，其中耦合强度ξ取定，不同波矢的光的反射和透射不同.增益(耗散)率取0.1，固定耦合强度ξ=2，频率失谐量分别为0.5(黄)和-0.5(蓝).

(a)光子的反射 (b)光子的透射

(a)光子的反射 (b)光子的透射

将图3和4的参数进行对比，如表2所示.图3是以耦合强度ξ为横坐标，正负失谐的反射率透射率图像.当失谐大小相同时，正负失谐的反射透射行为完全对称.图4是以波矢量为横坐标，正负失谐的反射率透射率图像.当失谐大小相同时，正负失谐的散射行为不再对称.正失谐时反射率与透射率的峰值均略大于负失谐时的峰值.说明一维无限长耦合腔阵列中的散射核就像一个光子开关，适当的调控散射核的参数可以控制单光子在一维耦合腔阵列中的传输行为.

表2 图3和图4对应的参数

对比频率失谐刚好相反时，分析了耦合强度单光子散射的影响以及不同波矢的单光子散射.结果显示，单光子散射与耦合强度和光的波矢密切相关.这些讨论都基于整个阵列的腔的耦合均一，也就是说散射核的耦合与核外两个半无限长阵列的耦合强度完全相同.与之前的工作采取类似的调制方式[21]，我们设计散射核内部腔之间和核外的腔之间程度不同时，分析失谐情况下光子的反射和透射特点.

2.3 调制散射核的耦合强度对单光子散射的影响

本节分析了散射核内部腔之间耦合强度与核外腔间耦合强度不同时，对比二者频率共振与失谐两种情况下的反射率和透射率行为.也就是分析耦合强度不一致时，单光子散射行为随波矢量的变化情况以及改变散射核耦合强度对单光子散射的影响.因为需要调制散射核的耦合强度，所以将散射核两侧阵列的腔之间耦合强度用β表示，β固定为2，本征值方程变为Ek=ω+2βcosk

相同的频率失谐δ=ω-ω1=0.5，不同的散射核耦合强度下的单光子散射见图5，其中增益(耗散)率为0.1，频率失谐量为0.5，散射核耦合强度为2(红)和1(紫).共振时改变散射核的耦合系数，单光子散射行为的变化图像见图6，其中增益(耗散)率为0.1，频率失谐量为δ=ω-ω1=0，散射核耦合强度为2(蓝)和1(黄).频率共振时，减小散射核的耦合系数，在波矢k=0附近，反射率与透射率峰值明显增大，但反射率为0的区域变窄.说明共振状态下，腔间耦合作用减弱，单光子散射性能增强.

失谐状态下，减小散射核的耦合强度，反射率与透射率的峰值增加，但比共振时增加的少.说明失谐可以从一定程度上抑制耦合作用，减弱所产生的散射性能.从动力学分析来说，当频率失谐减小，同时耦合强度减弱时，整个失谐条件不一定会加强，也就是单纯耦合减弱所带来的必然效应不太强.这是本文考虑频率失谐的同时必须结合耦合强度来进行分析的主要原因.共振时，除了在相变点附近，其他位置均为全透射零反射.但由于失谐的存在，单光子出现了反射行为，但反射能力较透射能力弱.图5和6对应的参数见表3.

(a)光子的反射率 (b)光子的透射率

(a)光子的反射率 (b)光子的透射率.

颜色增益率γ两侧腔的耦合强度失谐δ=ω-ω1散射核耦合强度红线0.120.52紫线0.120.51蓝线0.120.02黄线0.120.01

2.4 失谐时增益/耗散对单光子散射的影响

本文的散射核部分存在增益和耗散，探讨了保持耦合强度不变，改变增益与耗散的程度，频率失谐和共振情况下单光子的散射的规律.分析增益/耗散对单光子散射的影响，整个腔阵列的邻腔耦合强度统一为2.频率失谐与共振时增益对单光子的反射与透射的影响见图7，其中保持耦合强度不变，改变增益(耗散)率和频率失谐.图7对应参数见表4.

表4 图7对应的参数

图7(a)和(b)为频率失谐时改变散射核增益(耗散)率的单光子的反射和透射率.图7(c)和(d)为频率共振时改变散射核的增益(耗散)率的单光子反射和透射率.共振时，增大散射核的增益(耗散)率，反射率透射率的峰值明显增加.可见共振状态下，增益(耗散)率增大，单光子散射性能增强.并且共振状态下单光子透射具有波矢对称性.失谐状态下，增大散射核的增益(耗散)率，反射率的峰值增加，但增加不明显，透射率基本保持不变.说明失谐状态可以从一定程度上抑制增益增强所产生的散射性能.

(a)光子反射率，频率失谐δ=0.5，增益(耗散)率γ=0.13(红)，γ=0.1(紫)；(b)光子透射率，频率失谐δ=0.5，增益(耗散)率γ=0.13(红)，γ=0.1(紫)；(c)光子反射率，增益(耗散)率γ=0.13(蓝)，γ=0.1(黄)；(d)光子透射率.增益(耗散)率γ=0.13(蓝)，γ=0.1(黄)

3 总结

本文在散射核与两侧阵列腔之间频率失谐情形下，研究了单光子在具有PT对称性的一维无限长腔阵列中的传播，并与频率共振条件下的单光子散射行为进行了对比.

对于固定波矢的光来说，频率失谐会造成反射与透射图像随着耦合强度的平移.这是与动力学失谐条件相符的.同时，随着失谐增加，在耦合强度域里全反射区域会变宽.而正失谐时反射率与透射率的峰值均略大于负失谐时的峰值.这说明一维无限长耦合腔阵列中的散射核就像一个光子开关，适当的调制散射核的参数可以控制单光子在一维耦合腔阵列中的传输行为.同时可以改变增益/耗散腔的位置进行协助调控.调整散射核内与核外阵列腔内的耦合强度，观察到光的反射率随散射核内耦合强度减弱而增大的特点.在频率失谐情况下，增大散射核的增益(耗散)率，光的反射会发生较小的增强.

失谐对单光子反射透射行为的影响分析可以帮助我们更好地调控单光子在一维耦合腔的传输过程，为量子开关的实现提供科学帮助.可以预见，当在这个阵列中制备一个或多个原子时，体系会展示出更丰富的动力学，以及有更广泛的应用.