建构模型：搭建数学与生活的桥梁

江苏省淮安市楚州中学 陈 熙

数学模型是用数学语言概括地描述现实世界中事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构，建构模型是学生必须具备的一种数学思想与能力，也是发展学生数学核心素养的必要条件。本文以培养学生的数学建模能力为切入点，主要围绕作出假设、结合应用、指导读图及学科综合这四个方向进行具体探讨，以引导学生能够运用数学思想、数学知识与技能去解决现实世界中的生活问题与实践问题，搭建起数学与生活之间的桥梁，拓展数学思维的广度，增加建模思维的厚度，真正为培养及提升学生的数学核心素养奠定坚实的基础。

一、作出假设，互换结构条件

数学模型的建立需要学生对现实问题进行深入细致的观察和分析，并能够灵活应用数学知识将其转化为数学问题，提炼出数学模型，最终应用数学模型去解决实际问题。在这个过程中，必不可少的一步就是模型假设，也就是学生在了解问题的实际背景，明确其实际意义的基础上，提出恰当的模型假设。

有了模型准备与模型假设之后，接下来的就是模型建立。这就要求学生在模型假设的基础上，能够运用数学工具来抽象和刻画数学变量、常量之间的数量关系，转化题目条件，建立起相应的数学结构与反映实际问题的数量关系。

二、结合应用，抽离数量关系

建构数学模型的实质就是把实际问题抽象为数学问题，可以具化为“实际问题—分析抽象—建立模型—数学问题”的操作程序。这就要求学生要具备一定的抽象能力，能够通过观察分析、猜测假设，提炼出实际问题的数学模型，抽离出最本质的数量关系，并应用数学模型来解决实际问题，这样可以加深学生对数学知识的理解以及数学方法的掌握，推进学生的知识结构与认知结构共同发展。

例如，我们在讲到函数模型的时候，经常会利用函数知识对实际生活中普遍存在的成本最低、利率最高、效益最好、产量最大等实际问题进行数学化分析，将实际问题抽象为数学问题，归纳与建构相应的目标函数，并通过求解函数模型来指导实际生活。除了指数函数模型以外，二次函数也是生活中非常常见的一种数学模型，可以帮助我们求解最优、最省之类的最值问题。比如：某商场以每件30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数m=162-3x，30 ≤x≤54。问题1：求销售利润y（元）与每件销售价x之间的函数关系式。问题2：要想得到最大利润，每件的售价定为多少合适？这就需要学生从中抽象出二次函数模型，并根据二次函数的性质去求解最值。

数学新课程标准指出：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”这实际上指的就是建立数学模型的过程。关于建模思想的渗透与强化，教师应该将其融入教学活动的全过程，让学生将学习数学知识的过程转化为建立模型、探究学习的知识建构过程，不断培养学生分析和解决实际问题的能力，促进学生建模思想的形成与运用。

三、指导读图，列出对应形式

可以说，数学建模思想的形成与建模能力的发展是一个综合性的过程，会涉及诸多数学思想的应用与数学能力的提升。高中数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系。因此，教师还要有针对性地指导与培养学生分析图像的能力，将“数”与“形”更好地结合起来。

以分段函数模型为例，题目是这样的：据气象中心观察和预测，发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（单位：h）的函数图像如下图所示，设t时刻沙尘暴所经过的路程为S（t）。

问题1：当t=10 时，求S（t）的值；问题2：求函数S（t）的解析式；问题3：若N城位于M地正南方向，且距M地750 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城？如果会，在沙尘暴发生后多长时间将侵袭到N城？如果不会，请说明理由。

数形结合这一数学思想在建构模型过程中的体现与应用较多。“数无形，少直观，形无数，难入微”，一语道出了数形结合的重要性。教师在引导学生利用数学工具解决实际问题的时候，要通过有效的教学策略，帮助学生树立起数形结合意识与建模意识，实现代数问题与几何问题之间的积极转化。

四、学科综合，创新思维过程

建构数学模型的最终落脚点就是培养学生的创造性思维能力。在建模活动过程中，学生能够综合不同学科的知识，灵活应用题目给出的条件，寻求解决问题的最佳方法和途径。在这个过程中，学生会经历猜测、假设、转换、构造等一系列数学思维活动，这都是学生产生创造性思维和发展创造能力的基础，有利于促进学生创新意识与创造能力的提升。

以上面提到的分段函数模型的数学题目为例，解题的关键是要学生分段分析速度、时间、路程之间的关系，这都与物理这门学科息息相关。学生在物理课上学习过V-t图像可以表示物体做匀速直线运动与匀加速直线运动，反映速度随时间变化的规律，图线斜率表示加速度的正负，点表示某一时刻的速度，与时间轴围成的面积表示物体通过的位移，任一时间段对应的位移大小，可以用直线与所对应的时间轴所包围的面积来表示，等等。这些都是我们解答这类数学题目时必须要有的知识储备，也是学生在数学建模过程中创新思维过程与解题思路的基础，体现出数学解题与其他学科结合起来的综合考查方法。

由此可见，在高中数学的教学过程中有计划、有意识地渗透数学建模思想，可以帮助学生不断提升数学建模能力与解题能力，具有积极的教学效用。因此，除了文中提到的作出假设、结合应用、指导读图及学科综合这几个方面以外，教师还要在具体的教学实践中不断思考与总结提升学生数学建模能力的更多元、更有效的教学策略，以此促进学生数学核心素养的培养与提升。

总而言之，数学建模不仅是学生必须具备的数学能力，也是一种非常重要的数学思想。对于高中阶段的学生来说，建模思想的渗透可以充分调动学生的主观能动性，让学生运用数学模型解决数学问题和实际问题，以此促进学生逐步形成和发展数学应用意识，推动学生高阶数学思维的发展与提升。