基于比例风险模型的船舶状态机会维修策略

李冀晖，黄锦敬，韦发清

（湛江科技学院，广东 湛江 524094）

目前，船舶维修主要以事后维修和定期维修为主。针对一些易于监测的关键部件辅以状态维修的检修模式，这容易造成维修过度或维修不足等问题，对船舶运行的安全性和经济性造成不利影响。针对船舶维修，国内外学者进行大量研究，鲁金明等[1]建立以任务可用度及系统可靠度为约束，最低维修费用为优化目标的船舶最佳维修周期模型；张刚等[2]研究基于PMS 模型的船舶设备维修保养策略，综合考虑维修时间、费用和可靠性的关系；江晓俐[3]针对船体结构维修问题，提出使用半Markov过程优化维修方案，使船舶单位时间营运成本降至最低；Si 等[4]采用连续Markov 链描述工作状态对部件退化的影响，研究部件剩余寿命分布，提出计算剩余寿命的蒙特卡洛仿真算法；杨立乾等[5]构建船舶关键部件的Gamma 退化过程模型，制定船舶关键部件的状态维修策略，该策略能显著降低船舶关键部件的维修费用；杜党波等[6]针对复杂设备的线性和非线性叠加的退化问题，提出一种基于维纳过程的带随机参数和确定参数的混合退化模型，并采用Kalman 滤波技术和极大似然估计方法对模型中的随机参数和确定参数进行求解；孙林凯等[7]研究维修次数对维修周期的影响，建立周期可变的船舶设备预防性维修模型，并用MATLAB 分析维修周期的的变化规律。这些学者从不同角度对船舶关键部件的状态变化和寿命规律进行建模，并得到相应的维修决策方案，但从部件的综合状态进行定性和定量分析入手，研究其寿命规律比较少见。

比例风险模型（proportional hazard model，PHM）能将部件的状态信息融合到寿命模型中，从而能更准确评估部件的寿命规律[8]。周志才等[9]针对船舶柴油机维修问题，采用威布尔比例风险模型描述系统状态信息和失效率的关系，构建了视情维修决策模型；文献[10-15]分别在不同领域构建基于设备状态信息的比例风险模型，得到各自设备的维修策略。这些学者研究比例风险模型在不同设备领域的应用，但对船舶部件的维修，尤其是船舶关键部件的状态机会维修则很少见诸报道。

本研究将比例风险模型应用到船舶维修上，首先根据船舶部件的运行时间、检修历史、家族质量史、运行环境、工作载荷和状态信息等，利用层次分析法得到各因素的权重，进而计算出船舶部件的状态指数，再结合部件的寿命数据估计出模型参数；同时引入机会维修思想，以减少部件拆装等停工费用，以船舶关键部件的可靠度阀值为约束，建立船舶关键部件的状态机会维修决策模型，以期为船舶关键部件的预防性检修优化提供决策参考。

1 比例风险模型的建立及其协变量的确定

1.1 比例风险模型

比例风险模型能准确表达部件寿命与状态参数、工作载荷、外部环境、家族质量和维修历史等因素之间的关系，各因素在模型中以乘积的形式表示，称为协变量[16]。比例风险模型的基本形式为

式(1)中h0(t)为基本风险率函数，只与时间有关；exp[γZ(t)]为协变量函数，Z(t)为t时刻的协变量，表示该时刻的设备状态，γ是协变量的系数。由于威布尔分布广泛适用于描述各种机械设备和部件的寿命分布，故采用威布尔分布作为基本风险函数，其表达式为

式(2)中β和η分别为威布尔分布的形状参数和尺度参数。将其代入式(1)，可得到威布尔比例风险模型

从式(3)可看出，风险率除了与威布尔分布有关外，还与协变量Z(t)有关，即与协变量函数exp（γZ(t)）成比例关系。在同一时刻，协变量不同，风险率也不同。新部件和多次维修过的部件同时投入运行一段时间后，由于不完全维修会造成部件故障率递增和役龄递减[17]，故多次维修过的部件风险率更高。在恶劣环境中运行比在平顺环境中运行风险率更高，超负荷运转比在额定载荷以内运转风险率更高等。所有这些因素都属于风险模型的协变量，因此如何计算确定协变量成了关键。

1.2 协变量的确定

协变量实际上属于设备或部件的整体运行状态信息，这类信息有很多，需要合理、准确评估才能进行有效决策。目前，研究基于设备状态的风险率时，主流方法有两种：一是基于设备健康指数的反演方法[18]，二是基于设备缺陷指数和寿命数据拟合出风险率函数[19-20]。两种方法分别从不同方向对设备风险率做出描述，不管是哪种方法都需要对设备的结构原理、历史事件和运行状态等进行准确和深入了解。根据船舶设备管理员的经验和工程师的意见，综合考虑各方面因素，确定船舶设备协变量分别由内外部环境、检修记录、家族质量史、缺陷记录和状态数据组成，记为Zi(t)(I=1,2,…,5)。即船舶设备协变量表示为式(4)中，γi为对应协变量分量的权重。为对各协变量分量的权重进行合理分配，采用具有主客观分析方法优点的层次分析法进行权重计算[17]。

为便于评估，将船舶设备协变量的取值映射到0～ 1 之间，取值越接近0 表示设备状态越健康，取值越接近1 表示设备状态越差，协变量取值及其对应设备状态的关系（表1）。

表1 设备状态与协变量的对应关系Table 1 Correspondence between device state and covariate

各定性指标根据船舶的运行状况、维修情况、自身质量，同时参照《船舶修理标准及技术要求》结合专家打分法确定，表2—5 分别为各定性指标的取值标准。

表2 内外部环境取值标准Table 2 Value standard internal and external environment

状态数据为实时反映设备运行的状态信息，如部件振动值、噪声、油液状况、温度和压力等，属于定量指标，需要根据下式计算转化为指标值。

式(5)中，ximax表示该指标允许取值的上界，ximin表示该指标的最小值，xi表示该指标的当前值。

表3 检修记录取值标准Table 3 Value standard of maintenance record

表4 缺陷记录取值标准Table 4 Value standard of defect record

表5 家族质量史取值标准Table 5 Value standard of family quality history

1.3 模型参数估计

威布尔比例风险模型（式(3)）还需估计3 个未知参数β、η和γ才能最终确定。由于船舶部件在使用中有相当部分是在尚未发生故障就被换下，寿命数据中存在截尾数据，而极大似然估计在处理不完全数据样本时具有明显的优势，故采用极大似然估计法求模型参数。似然函数的一般形式[21]为

式(6)中，r为失效数据个数，n为寿命数据的总数，n－r为截尾数据个数，ti为部件i的失效时刻，tj为部件j的截尾时刻，Z(ti)为部件i在ti时刻的协变量，Z(tj)为部件j在tj时刻的协变量，f（t i,Z（ti））为部件i在ti时刻的概率密度函数，R（t j,Z（tj））为部件j在tj时刻的可靠度。由可靠性知识，得

由1.2 节可知，在各协变量中，检修记录和家族质量史在部件的维修周期开始时即已确定，故每个检测间隔期内不变，而缺陷记录、内外部环境和状态数据有可能发生变化，故协变量Z(t)不是连续值，而是离散值。在每个检测周期内，协变量主要有5 种变化趋势（图1）：1）各协变量基本无变动，为一恒定值；2）内外部环境逐渐恶化或状态值缓慢增加，协变量逐渐增大；3）内外部环境逐渐好转或状态值缓慢减小，协变量逐渐减小；4）在某个时刻部件突然发生缺陷或内外部环境突然恶化，协变量阶跃升高；5）在某个时刻内外部环境突然好转，协变量阶跃降低。

图1 协变量的5 种变化趋势Fig.1 Five trends of covariate change

由协变量的5 种变化趋势可知，由于阶跃和渐变性的存在，每个检测间隔期内的协变量，如果取两个检测点中任一个检测值都会造成较大误差，而取两个检测点的平均值则可较好地消除误差，即第r个检测间隔期内协变量为

联合式(8)和(9)，可得到可靠度的累积表达式为

式(10)中，k为部件失效或截止时间前的检测次数，tj为部件j失效或截止时间，tji为部件j第i次检测时间，将式(7)、(10)代入式(6)，并两边取对数得

式(11)中，kj为部件j在失效或截止时间前的检测次数。对数似然函数lnL(β,η,γ)与似然函数L(β,η,γ)具有同样的增减性，对数似然函数取得最大值时的β*、η*和γ*也是似然函数的最大值点。在此采用具有快速收敛性的牛顿法进行求解[22]。首先将式(11)分别对β、η和γ求偏导数，令

再对一阶偏导数求二阶偏导数，得到Hesse 矩阵如下：

用牛顿法构造迭代公式：

式(14)中，k为迭代次数，当k=0 时，β0、η0和γ0为初始值，设定初始值后由迭代公式即可求出参数估计值。

2 基于状态的机会维修决策

2.1 机会维修策略

在制定维修决策时，首先确定维修要达到的目标，通常是要求部件达到最大可用度、最小维修费用率或安全性等目标。对于关键部件，一旦发生故障会产生严重后果，所以首要考虑安全性，即保证部件可靠度在最低可靠度要求值以上。满足下式

式(15)中，Rp为最低可靠度要求，当部件可靠度小于Rp时即进行预防性维修。由于对船舶部件进行预防性维修时会产生停机损失费、固定维修成本以及机会损失成本，为减少这类损失，尽可能将多个部件进行集中维修，在有部件做预防性维修时，可对可靠度符合下式的其他部件进行适当的机会维修。

式(16)中，Ro为部件的机会维修可靠度阀值。基于状态的机会维修决策过程如图2。

图2 状态机会维修决策流程Fig.2 Status opportunity maintenance decision process

2.2 船舶关键部件维修费用率

在船舶关键部件的状态机会维修过程中，如出现非预期故障，则对部件进行故障维修，在观察周期内，部件i总维修费用为

式(17)中，C0为固定维修费用，Cif为部件i的故障维修费用，Cip为部件i的预防性维修费用，Mif为部件i在观察周期内的故障维修次数，Mip为部件i在观察周期内的预防性维修次数，Mio为部件i在观察周期内的机会维修次数。

在观察周期内，船舶关键部件的总维修费用率为

式(18)中，Z为船舶关键部件的总维修费用率（单位：元/ d），Ti为部件i各维修间隔期总和，n为船舶关键部件总数，Ri(t)为部件i在时刻t的可靠度，Rip为部件i的最低可靠度要求。

3 实例分析与讨论

3.1 船舶关键部件参数

利用调研某船舶维修公司得到的船舶维修数据，对某型船舶主传动系统的齿轮箱、尾轴前轴承和后轴承3 个关键部件进行分析，其中齿轮箱装有温度计，部分安装有振动传感器，水润滑轴承的水冷却系统管路装有压力表作为监测仪器，实时监测各部件的工作状态。通过对各部件状态数据、维修记录、运行工况等信息收集整理后，运用1.2 节方法计算各部件寿命时间点的协变量，先利用层次分析法计算得到各部件协变量权重分配（表6），再应用式(4)计算得到部件各时刻的协变量。其中各部件寿命或监测终点与相应协变量数据见表7—9。

表6 各部件协变量权重Table 6 Weight of the covariates of each component

表7 齿轮箱寿命及协变量Table 7 Gearbox life and covariates

表8 尾轴前轴承寿命及协变量Table 8 Tailshaft front bearing life and covariates

表9 尾轴后轴承寿命及协变量Table 9 Tailshaft rear bearing life and covariates

可看出，部件在各个时间点都有相对应的协变量，故障时间较早的部件协变量也相应较大，表示其安全隐患较大，寿命较短，反之亦然。根据式(14)，利用MATLAB R2016a 编程仿真，得到三个部件的参数估计值（表10）。

表10 各部件参数估计值Table 10 Estimated parameters of each component

3.2 船舶关键部件机会维修策略

齿轮箱、尾轴前轴承和后轴承属于船舶主传动系统的关键部件，其安全性有较高要求，其最低可靠度要求分别为0.80、0.75、0.75，设定机会维修可靠度阀值后可按第2 节介绍的方法对各部件进行预防性机会维修。本研究利用一组部件寿命和状态数据为例进行说明，各部件可靠度变化趋势见图3—5。

图3 齿轮箱可靠度变化Fig.3 Gearbox reliability variation diagram

由可靠度的累积表达式(10)可知，依次记录各监测时间点的协变量即可求得部件在各监测点的可靠度，当某部件可靠度降低到接近其最低可靠度要求时，可适当缩短监测周期。本研究中，在船舶运行到277 d 时，尾轴后轴承可靠度降低到预防性维修可靠度阀值处（图5）；同时，尾轴前轴承可靠度处于其机会维修区间（图4），为减少部件装拆等固定维修成本和停机次数，可将前轴承和后轴承一起进行维修；而齿轮箱的可靠度处于机会维修可靠度阀值上方（图3），故无需维修。

图4 前轴承可靠度变化Fig.4 Front bearing reliability variation diagram

图5 后轴承可靠度变化Fig.5 Rear bearing reliability variation diagram

3.3 船舶关键部件维修策略对比

为比较不同维修策略的优劣，将本研究模型与船舶关键部件传统预防性维修策略、状态预防维修策略和协变量只考虑状态数据的机会维修策略进行对比，分别编号1—4，优化各维修策略在观察周期内的总维修费用率。表11 为某船舶修造公司同型号船的各部件单次维修平均费用。

表11 船舶关键部件的维修费用Table 11 Maintenance costs of ship’s key parts元

以调研收集到的数据作为分析对象，假定各部件按顺序依次进行维修或更换，以结束时间最短的部件寿命累加为观察周期，本研究后轴承的累加寿命为最短，当第12 个轴承进行维修后不再进行观察。其中，传统预防性维修策略以定期维修或更新为主，辅以故障修的方式，其维修周期在维修费用率最小化后可得。状态预防维修策略只考虑各部件的单独维修，以部件最低可靠度为阀值，对各部件进行预防性维修[23]，而不考虑不同部件维修之间的经济相关性，即机会维修。而协变量只考虑状态数据的机会维修的策略，协变量只计算可观察到的仪表上的状态数据，如温度、振动、压力等，不考虑家族质量和维修记录等前期数据，具体计算方法可参考文献[13-14]。表12 为各维修策略的优化结果，表中各维修次数为系统总维修次数。

表12 各维修策略的优化结果Table 12 Optimization results of each maintenance strategy

传统预防性维修根据各部件的整体寿命规律执行定周期维修，缺乏对具体部件状态的考虑，容易造成对较健康部件的过度维修，而对前期缺陷较严重的部件又不能及时维修。状态预防维修策略不考虑部件间的机会维修，容易造成固定维修费用和停机损失的增加。而协变量只考虑状态数据的机会维修策略，容易对部件前期状态较差的部件欠考虑，所以其预防性维修次数相对较少，而故障维修次数反而偏多。

本研究建立的状态机会维修模型，其协变量考虑多个因素，故能更好地反映部件具体状态和整体寿命规律，从而能有效避免维修过剩和维修不足。而部件之间的机会维修可节约固定维修成本和停机次数，提高船舶的在线运营率。

4 结论

1）充分考虑检修记录、家族质量史、缺陷记录、内外部环境和状态信息对船舶关键部件的寿命影响，运用具有主客观分析方法优点的层次分析法计算各指标的权重。同时研究协变量在每个检测周期的变化规律，选取每个检测周期首尾两个检测点的协变量平均值作为该周期的协变量。在此基础上建立兼顾部件寿命规律和个体状态的比例风险模型，最后用极大似然估计法估计模型的3 个未知参数。

2）由部件寿命周期各检测点的协变量，运用可靠度的累积表达式容易计算出部件在各检测点的可靠度。根据各部件的最低可靠度要求，设定机会维修可靠度阀值，通过对比各部件的可靠度变化关系，引入状态机会维修策略，可以降低船舶的固定维修费用和停机损失。以船舶齿轮箱、尾轴前轴承和后轴承为例，对比分析了四种维修策略，结果表明，本文提出的模型与其余三种维修策略相比，分别可以节省9.4%、4.1%、3.4%的维修费用。本研究建立的比例风险模型，其协变量的计算具有一定的主观性，较大程度上依赖于决策者的经验和技术水平，今后的研究可从建立更科学和客观的协变量分析计算方法着手，提升模型的易用性。