在解决问题中培养学生数感

杨文通

《数学课程标准（2011年版）》指出：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”数感包括：理解数的意义，能用多种方法来表示数，能在具体情境中把握数的相对大小关系，能用数来表达和交流信息，能为解决问题而选择适当的算法，能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释等方面。数感是数学核心素养的重要内容，对一个人的学习和生活都有着极其重要的价值。数感的培养不是一蹴而就的事情，需要系统的、长时间的学习与练习，不能理解为在第一学段中数一数、读一读、比一比、算一算就能完成教学，要加强生活与数学的联系，让学生在解决实际问题中提高数感，尤其是在第二学段的例题和习题中，“藏”着不少数感教学的“点”，教师应在教学中不失时机的加以利用。

片断一：根据数量之间的大小关系培养数感

例如在教学人教版六年级上册第一单元“分数乘法”例9时，先用课件出示例题：“人心脏的跳动次数随年龄而变化。青少年心跳每分钟约75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多。婴儿每分钟心跳约多少次？”

师：不列式计算，猜一猜婴儿每分钟心跳的次数。

生1：猜不出来。

师：题目中哪句话能看出两种数量之间的大小关系？请把它勾出来。

生：婴儿每分钟心跳的次数比青少年多。

师：现在你能根据这个大小关系猜出来吗？

生：婴儿每分钟心跳超过75次。

思考：一个关键句子：“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多”就能清楚地看出两种量谁大谁小，进而得出“婴儿每分钟心跳超过75次”的结论。通过查找关键句、关键字词，感悟数量大小，对培养学生的数感有很大帮助。

片断二：解剖数量之间的倍比关系优化数感

例如在教学人教版三年级上册第五单元“倍的认识”例3时，出示例题：军棋的价钱是8元，象棋的价钱是军棋的4倍，象棋的价钱是多少元？

学生读题后，教师引导学生思考。

师：你能猜出军棋和象棋谁的价钱多一些吗？

生1：列式算出来比较一下就知道了。

师：要是不列式计算呢？

生2：象棋的价钱是军棋的4倍，也就是象棋的价钱有4个军棋的价钱这样多。

生3：军棋的价钱是8元，象棋的价钱就会大于8元。

又如在教学人教版六年級上册第一单元“分数乘法”练习一第8题时，先让学生读题：据统计，2011世界人均占有耕地面积为2500平方米，我国人均耕地面积仅占世界人均耕地面积的。我国人均耕地面积是多少平方米？

教师引导学生思考。

师：不列式计算，你们知道我国人均耕地面积是多少平方米在哪个范围吗？

生1：不列式计算，就没法知道。

师：这道题中哪个信息最关键？找出来，再读一遍。

生2：“我国人均耕地面积仅占世界人均耕地面积的”最关键。

师：如何理解这句话？

生3：如果把世界人均耕地面积看作5份的话，我国人均耕地面积就是2份，所以我国人均耕地面积小于世界人均耕地面积，也就是我国人均耕地面积小于2500平方米。

思考：题目中数量关系有时不是很明显，需要教师引导学生进行反复读后“解剖”，明晰数量之间的关系，对题意的理解就会更加深刻，促进学生对问题的解决，优化学生数感。

片断三：明晰数量之间的包含关系发展数感

例如在教学人教版六年级上册第三单元“分数除法”例6时，课件出示例题：在一次班级篮球比赛中，四（2）班全场得分42分，下半场得分只有上半场得分的一半。

学生读题后，教师引导学生思考。

师：上半场分数和下半场分数有什么关系？

生1：上半场分数比下半场分数多，因为下半场得分只有上半场的一半。

生2：上半场分数和下半场分数共计42分，因为全场得分是42分。

思考：题中既有数量之间的大小关系，又有全场比赛分为上半场和下半场的包含关系，学生理清了这些关系，解决这个问题就不再是难事。经过同类型题目的反复练习，培养学生分析数量的意识和习惯，发展学生的数感。

片断四：巧用生成资源提升数感

在学习平均数后的一次数学测试中，一组8人的得分如下：85、84、79、83、69、81、54、72;二组7人的得分如下：93、95、86、98、87、89、90。让学生观察两组数据后思考：如何能知道哪一组数学成绩好一些？

生1：先算出各组的总分再除以各组的总人数就能得到各组的平均分，平均分高的组数学成绩就好一些。

师：如果不计算，有别的办法吗？

学生小组讨论后得出结论。

生2：第一组最高分85分，最低分54，平均分大于54而小于85;第二组最高分98分，最低分86分，平均分大于86而小于98。所以第二组的数学成绩好一些。

生3：第二组的最低分比第一组的最高分还高，所以第二组的数学成绩好一些。

思考：在对比如此强烈的两组数据中，很容易看出第二组的数学成绩好一些，但利用这些生成资源的重要目的是要让学生明白：在各个数不相等的一组数据中，平均数是大于最小数而小于最大数的，也可用这个结论来检验求一组数据平均数的结果，提升对于平均数的感悟。

片断五：结合特殊例题内化数感

例如在教学人教版六年级上册第三单元“分数除法”例7时，出示例题：修一条路，一队单独修12天能修完，二队单独修18天能修完，如果两队合修，多少天能修完？

师：同学们，不列式计算，猜猜如果两队合修，多少天能修完？

生1：因为是合修，所以12+18=30天能修完。

生2：因为是两队合修，所以还要除以2，15天能修完。

师：我们再思考，有没有可能是18天或12天呢？

生3：不可能。18天的话二队单独能修完，12的话一队单独能修完，用不着合修。

师：因为是两队合修，每队修一半，用时就是18天或12天的一半呢？也就是9天或6天。

生4：不对，首先这题不应该有两个答案，其次如果两队单独修都要18天，那么合修9天完成;如果两队单独修都要12天，那么合修6天完成;而实际是一队比二队修得快，合修应该是多天6天而小于9天。

师：分析得很正确，现在我们得到的不是一个确定的数，而是一个范围，这个范围有什么用呢？

生：可以用来检验我们接下来计算的结果是否正确。

思考：在一些看似没有数感培养“点”的例题中，深入挖掘，合理利用，“浪费”一点时间进行数感的培养，促进学生对问题的解决，是一件“划算”的事。

总之，培养学生数感不能急于求成，也不能贻误时机。教师要利用好教材中的例题和习题，利用好生成资源，抓住每一个教学契机，精心设计教学，持久分类渗透，养成数感分析的习惯，丰富学生数感分析的方法，于无形中培养学生的数感，助力学生数学核心素养的提高。